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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第7节 二项式定理(理)

时间:2015-07-29

第十章

第七节

一、选择题 1.(2013· 衡水模拟)(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为( A.-1 C .1 [答案] B [解析] 展开式中所有各项系数的和为(2- 1)8=1,其中 x4 项的系数为 1,∴选 B. 2. (2014· 甘肃省三诊)已知 a 为执行如图所示的程序框图输出的结果, 则二项式(a x- 的展开式中含 x2 项的系数是( ) 1 6 ) x B .0 D.2 )

A.192 C.96 [答案] D [解析] 由程序框图可知,a=2,∴(2 x-

B.32 D.-192

1 6 6-r 1 r ) 中的通项 Tr+1=(-1)rCr ( ) =(- 6(2 x) x x

3-r 1)r26-rCr ,令 3-r=2,∴r=1,∴x2 的系数为-25×6=-192. 6x

3.(2014· 烟台模拟)在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7 的展开式中,x4 的系数是( A.25 C.45 [答案] D B.35 D.55

)

6 4 4 7 [解析] 二项式(1+x)5 中 x4 的系数为 C4 5,二项式(1+x) 中 x 的系数为 C6,二项式(1+x) 5 6 7 4 4 4 4 5 中 x4 的系数为 C4 7,故(1+x) +(1+x) +(1+x) 的展开式中 x 的系数为 C5+C6+C7=C8-1=

55,故选 D.
-1-

4.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 C.11 [答案] A [解析] 本题考查二项展开式的应用. B .1 D.12

)

2012 2011 2 2011 512012=(52-1)2012=C0 -C1 +C2012 522010+…+C2011 +C2012 201252 2012 52 2012 ×52×(-1) 2012

×(-1)2012,若想被 13 整除需加 12,∴a=12. 2 + 5. (2014· 海南省六校联盟联考)使得(3x2+ 3)n(n∈N )的展开式中含有常数项的最小的 n= x ( ) A.3 C .6 [答案] B
2 n-r 2 r 2n-5r [解析] Tr+1=Cr · ( 3) =2r3n-rCr ,当 r=2 时,n=5,故选 B. n(3x ) nx x

B .5 D.10

6.(2013· 广东江门调研)二项式(ax- 的值为( A.3 7 C .3 或 3 [答案] C [解析] 二项式(ax-
2 T2=C1 3(ax) (-

33 3 ) 的展开式的第二项的系数为- ,则?a-2x2dx 6 2 ?

) 7 B. 3 10 D.3 或- 3

33 ) 的展开式的第二项为 6

3 3 )=- a2x2, 6 2

∴a2=1,即 a=± 1. 1 7 1 1 1 则?- x2dx= x3|- = , 1-2x2dx= x3|1 =3,故选 C. 3 -2 3 ? 3 -2 ? ?

?-2

二、填空题 1 7.(2015· 深圳市五校联考)若二项式( +2 x)n(n∈N*)的展开式中的第 5 项是常数项,则 n x =________. [答案] 6
-2-

1 1 n-4 4 6-n [解析] 二项式( +2 x)n(n∈N*)的展开式中的第 5 项是 C4 (2 x)4=C4 ,∴6 n( ) n×2 ×x x x -n=0,∴n=6. 1 8.(2013· 湖南师大附中月考)(x- )6 的展开式中,系数最大的项为第________项. x [答案] 3 或 5 [解析] 1 (x- )6 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异,又中间项的二项式系数最 x

大,中间项为第 4 项其系数为负,则第 3,5 项系数最大. 1 n 9.(2014· 辽宁省协作校联考)已知(x+ ) 的展开式中前三项的系数成等差数列,则 n= 2 x ________. [答案] 8 1 1 1 2 1 2 0 2 [解析] 展开式中前三项系数分别为 C0 n, Cn, Cn,由题意得 n=Cn+ Cn,∴n -9n+8 2 4 4 =0,解得 n=8. 10.(2014· 山西重点中学四校联考)如果(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,那么 a1+a2 +…+a6 的值等于________. [答案] 0 [解析] 令 x=1 得 a0+a1+a2+…+a6=(2-1)6=1,又 a0=1,∴a1+a2+…+a6=0.

一、选择题 11.(2014· 天津南开区二模)若(x- A.4 C.12 [答案] C
n- 2 [解析] T3=C2 (-1)2· ( nx

11 n ) 的展开式中第三项系数等于 6,则 n 等于( 11 B .8 D.16

)

11 2 C2 n ) ,由题意知 =6,解得 n=12. 11 11

12.(2013· 新课标Ⅰ理,9)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x +y)2m
+1

展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( B .6 D.8

)

A.5 C .7 [答案] B

-3-

m [解析] 由题意可知,a=Cm 2m,b=C2m+1,

?2m?! ?2m+1?! 又∵13a=7b,∴13· =7· , m!m! m!?m+1?! 即 13 2m+1 = .解得 m=6.故选 B. 7 m+1

3 13.(2013· 南昌一模)( y+ x)5 展开式的第三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状 为( )

[答案] D 1 3 5-2 [解析] 由题意得 C2 ( x)2=10,∴xy=1,x>0,y>0,∴y= ,x>0.故选 D. 5( y) x 14.若(x+y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且 x+y=1,xy<0,则 x 的取值范围是( 1 A.(-∞, ) 5 4 C.(-∞,- ] 5 [答案] D [解析]
1 9 9-1 2 9

) 4 B.[ ,+∞) 5 D.(1,+∞)

二 项 式 (x + y)9 的 展 开 式 的 通 项 是 Tr + 1 = C r x9 - r· yr. 依 题 意 有 9 ·
9-2

x · y≤C · x ?C · ?x+y=1, ?xy<0.

· y2,

8 ? ?1-x?-4x7· ?1-x?2≤0, ?x · 由此得? 由此解得 x>1,即 x 的取值 ?x?1-x?<0. ?

范围是(1,+∞),选 D. 15.(2014· 哈三中二模)已知二项式(2x- 项的二项式系数之和为( )
-4-

1 n ) 展开式中的第 5 项为常数项,则展开式中各 x

A.1 C.64 [答案] C
n-4 [解析] T5=C4 · (- n(2x)

B.32 D.128

1 4 n-6 ) =2n-4C4 为常数项, ∴n=6, ∴二项式系数之和为 26=64. nx x

二、填空题 π 16.(2014· 天津河西区一模)已知 a=∫ 0(-cosx)dx,则二项 2 a 式(x2+ )5 的展开式中 x 的系数为________. x [答案] -10 [解析] 本题考查二项式定理与定积分的综合应用,属容易题. π π a=∫ 0(-cosx)dx=-sinx| 0=-1, 2 2 1 2 2 1 3 ∴(x2- )5 展开式中含 x 的项为 T4=C3 ( )· (-1)3=-10. 5(x ) · x x 17.(2013· 陕西榆林期末)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则 a2+a4+…+a12 =________. [答案] 364 [解析] 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=36; 令 x=-1,则 a0-a1+a2-…+a12=1, 36+1 ∴a0+a2+a4+…+a12= ; 2 令 x=0,则 a0=1, 36+1 ∴a2+a4+…+a12= -1=364. 2 2 18.(2015· 天津和平区二模)若二项式(x2- )n 的展开式中第 5 项是常数项,则中间项的系 x 数为________. [答案] -160
2(n-r) 2n-3r [解析] Tr+1=Cr (-1)r· 2r · x-r=(-1)r· 2rCr , nx nx

当 r=4 时,2n-3r=0,则 n=6,
3 3 ∴中间项为第 4 项,其系数为 T4=C3 2 =-160. 6(-1) ·

-5-


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