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2016年高考新课标数学专题复习 复数

时间:2016-03-08


2016 年高考新课标数学专题复习复数
知识点复习: 1. 复数的有关概念 形如______________的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足_________,

a 叫做_________, b 叫做________,复数集记作_______________________。
2. 复数的分类 复数 a ? bi(a, b ? R) 是实数的充要条件是_________;是纯虚数的充要条件是__________. 3. 复数相等 两个复数 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,若 z1 ? z2 ,则____________。 4. 共轭复数 如果两个复数实部________,而虚部___________,则这两个复数互为_____________,即复数 z ? a ? bi 的 共轭复数为 z =_________。 5. 复数的代数运算 对于 i 有 i4n=______,i4n+1=_____,i4n+2=_____,i4n+3=_____(n∈Z). 已知两个复数 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则 z1±z2=______________, z1·z2=_______________ ,

z1 a ? bi ? ? ________________. z2 c ? di
特别地,若 z=a+bi,则 z· z =a2+b2.

1

高考考点: 一、复数的概念 1. 虚数单位 i (1) 它的平方等于 ?1 ,即 i ? ?1 ;
2

(2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合 律. (3) i 的乘方: i
4n

? 1,i4n?1 ? i,i4n?2 ? ?1,i4n?3 ? ? i, n ? N* ,它们不超出 b i 的形式.
2 2

真题回顾-1 设 m ? R , m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________ 真题回顾-2 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = .

2. 复数的定义 形如 a ? b i(a, b ? R) 的数叫做复数, a , b 分别叫做复数的实部与虚部 真题回顾-3 若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 A、-4 4 (B)- 5 (C)4 4 (D) 5 ( )

3. 复数相等 a ? b i ? c ? d i ,即 a ? c, b ? d ,那么这两个复数相等 4. 共轭复数

z ? a? b i 时, z ? a ? b i .

性质: z ? z ; z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; z1 ? z 2 ? z1 ? z1 ; (

z1 z2

)?

z1 z2

( z 2 ? 0);

真题回顾-4 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是()

x
(A) A (B) B (C) C (D) D
_

A B O

C
y

真题回顾-5 设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若,z ? zi + 2 = 2z,则 z = (A) 1+i (B) 1 ? i (C) ?1+i (D) ?1-i
2

D

二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里,点 z 的横坐标是 a ,纵坐标是 b ,复数 z ? a ? b i 可用点 Z (a, b) 来表示,这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴为实轴,y 轴出去原点的部分称为虚轴. 真题回顾-6,在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 ) D. 第四象限

真题回顾-7,已知复数的共轭复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 真题回顾-8 若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)

真题回顾-9,在复平面内,复数 2. 复数的坐标表示

2i 对应的点的坐标为。 1? i

点 Z ( a, b)

真题回顾-10,复数 z ? i ? ?1 ? i ? i为虚数单位 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 3. 复数的向量表示 4. 复数的模 C.第三象限 D.第四象限

?

?

)

向量 OZ .

??? ?

在复平面内,复数 z ? a ? b i 对应点 Z (a, b) ,点 Z 到原点的距离 OZ 叫做复数 z 的模,记作 z .由定 义知, z ?

??? ?

a 2 ? b2 .
2

真题回顾-11,设 z ? (2 ? i) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为. 真题回顾-12,已知复数 z ?

5i ( i 是虚数单位) ,则 z ? _________ 1 ? 2i

真题回顾-13,设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为___________.

3

三、复数的运算 1. 加法

(a ? b i) ? (c ? d i) ? (a ? c) ? (b ? d )i .

几何意义: 设 z1 ? a ? b i 对应向量 OZ1 ? (a, b) , z2 ? c ? d i 对应向量 OZ2 ? (c, d ) ,则 z1 ? z2 对应的向 量为 OZ1 ? OZ2 ? (a ? c, b ? d ) .因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释. 2. 减法

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

(a ? b i) ? (c ? d i) ? (a ? c) ? (b ? d )i .

几何意义: 设 z1 ? a ? b i 对应向量 OZ1 ? (a, b) , z2 ? c ? d i 对应向量 OZ2 ? (c, d ) ,则 z1 ? z2 对应的向 量为 OZ1 ? OZ2 ? Z2 Z1 ? (a ? c, b ? d ) .

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? ?????

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 表示 Z1 、Z 2 两点之间的距离,也等于向量 Z1Z2 的
模.

?????

3. 乘法

? a ? bi ? ? ?c ? di ? ? ? a ? c? ? ?b ? d ? i.
) D. x=1,y=2

真题回顾-14 已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 4. 乘方 5. 除法 B. x=-1,y=2C. x=1,y=1

n z m ? z n ? z m? n ( z m )n ? z mn ( z1 ? z2 )n ? z1n ? z2

? a ? bi ? ? ? c ? di ? ?

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ? . c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2

6. 复数运算的常用结论 (1) (a ? b i) ? a ? b ? 2ab i , (a ? b i)(a ? b i) ? a ? b
2 2 2 2 2

(2) (1 ? i) ? 2i , (1 ? i) ? ?2i
2 2

(3)

1? i 1? i ?i, ? ?i 1? i 1? i
2

(4) z ? z ? z , z ? z 真题回顾-15,设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i, 则 z =( (A) ? 1 ? i (B) ? 1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i
4



真题回顾-16,复数的 Z ?

1 模为 i ?1
(D) 2

(A)

2 1 (B) (C) 2 2 2

真题回顾-17,复数 z= (A)第一象限

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 ) D.3 (D)第四象限

真题回顾-18,若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2=( A.4+2i 真题回顾-19, 1+ 3i B. 2+ i C. 2+2i

?

?

3

?

(A) ?8 (B) 8 (C) ? 8i (D) 8i 真题回顾-20,设 a,b 为实数,若复数 (A) a ?

1+2i ? 1 ? i ,则( a ? bi
(C) a ?

)

3 1 ,b ? 2 2

(B) a ? 3, b ? 1

1 3 ,b ? 2 2

(D) a ? 1, b ? 3

真题回顾-21,已知 i 2 ? ?1 ,则 i( 1 ? 3i )= (A) 3 ? i (B) 3 ? i (C) ? 3 ? i (D) ? 3 ? i

真题回顾-22,设 i 为虚数单位,则 (A)-2-3i 真题回顾-23,已知 A. ?1

5?i ? 1? i
(D)2+3i

(B)-2+3i(C)2-3i

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i
B. 1 C. 2 D. 3

真题回顾-24 i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i 真题回顾-25, i 是虚数单位,

?1 ? 3i ? 1 ? 2i
(D)-1-i

i ? 3 ? 3i
C、

A、

1 3 ? i 4 12

B、

1 3 ? i 4 12

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6

5

真题回顾-26,复数 ? (A) ?3 ? 4i

?3?i ? ? ? ? 1? i ?
(B) ?3 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i

2

真题回顾-27,对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是
2 2 2 (A) z ? z ? 2 y (B) z ? x ? y

(C) z ? z ? 2 x (D) z ? x ? y 真题回顾-28,设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2 (C) 若 | z 1 |?| z 2 | , 则 z1· z1 ? z2 · z2 四、复数的平方根与立方根 1. 平方根 若 (a ? b i) ? c ? d i ,则 a ? b i 是 c ? d i 的一个平方根, ?(a ? b i) 也是 c ? d i 的平方
2

(B) 若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 (D) 若 | z1 |?| z2 | , 则 z12 ? z2 2

根. (1 的平方根是 ? i . ) 2. 立方根
3 如果复数 z1 、 z2 满足 z1 ? z2 ,则称 z1 是 z2 的立方根.

(1) 1 的立方根:

1,? ? , 2.
1? ? ? ?2 ? 0 .

??? ?

1 2

3 1 3 i , ?2 ? ? ? ? ? i , ?3 ? 1. 2 2 2 1 3 1 3 ? i, z ? ? i. 2 2 2 2

(2) ?1 的立方根: ?1, z ?

真题回顾-29,i 是虚数单位,计算 i+i2+i3= (A)-1 (B)1 (C) ?i (D) i ) C.1 D.-1

真题回顾-30, i 是虚数单位, ( A. i B.-i

1? i 4 ) 等于 ( 1-i

6

a2-7a+6 [经典例题], 已知复数 z= +(a2-5a-6)i(a∈R).求实数 a 分别取什么值时,z 分别为: a2-1 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

7


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