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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第4章 第6节 正弦定理和余弦定理_图文

时间:2015-04-22

成才之路 · 数学
人教B版 · 高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章
三角函数、三角恒等变形、解三角形

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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第四章
第六节 正弦定理和余弦定理

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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自主预习学案

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度 量问题.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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高考对本部分内容的考查主要涉及解三角形、三角形形状 的判定、三角函数的求值以及三角恒等式的证明等问题.在客 观题中考查应用正余弦定理解三角形,或在解答题中与三角变

换及平面向量相结合,考查综合分析解决问题的能力.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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1.正 弦 定 理 = = =2R(其中 R 为△ABC 外 接 圆 的 半 径 n s i A n s i B n s i C 2.余 弦 定 理 a2=b2+c2-2bcc o s A,b2=a2+c2-2acc o s B;
2 2 2 b + c - a c2=a2+b2-2abc o s C或c o s A= , 2bc

a

b

c

).

a2+c2-b2 a2+b2-c2 c o s B= ,c o s C= . 2ac 2ab
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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3.三 角 形 中 的 常 见 结 论 1 () A+B+C=π. 2 () 在 三 角 形 中 大 边 对 大 角 , 大 角 对 大 边 . 3 () 任 意 两 边 之 和 第三边. 4 () 有 关 三 角 形 内 角 的 常 用 三 角 函 数 关 系 式 n s i( a t n ( A+B)=n s i C;
- A+B)=_ _ _ _ _ _ _ _tanC ; 大于 _ _ _ _ _ _ _ _

第 三 边 , 任 意 两 边 之 差

小于 _ _ _ _ _ _ _ _

c o s (

- A+B)=_ _ _ _ _ _ _ _cosC ;

A +B C n s i =c o s ; 2 2 A+B C a t n =c o t . 2 2
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

C A+B sin c o s =_ _ _ _ _ _ _ _2 2



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5 () △A B C 的 面 积 公 式 有 : 1 ①S= a· h(h 表示 a 边 上 的 高 2 );

1 1 1 a b c ②S= abn s i C= acn s i B= bcn s i A= ; 2 2 2 4R 1 ③S= r(a+b+c)(r 为 内 切 圆 半 径 2 ).

1 ④S= P?P-a??P-b??P-c?, 其 中 P= (a+b+c). 2 6 () 在△A B C 中 , A>B?a>b?n s i A> n s i B.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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4.解斜三角形的类型
解斜三角形有下表所示的四种情况: 已知条件 应用定理 一般解法

由A+B+C=180°求出角A; 一边和两角 正弦定理 由正弦定理求出b与c;在有解 (如a,B,C) 时只有一解 由余弦定理求出第三边c;由 两边和夹角 正弦定理求出小边所对的角; 余弦定理 (如a,b,C) 再由A+B+C=180°求出另 一角,在有解时只有一解

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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已知条件

应用定理

一般解法 由余弦定理求出角A、B,再利

三边
(a,b,c)

余弦定理 用A+B+C=180°求出角C, 在有解时只有一解 由正弦定理求出角B,由A+B+ 正弦定理

两边和其中
一边的对角 (如a,b,A)

C=180°求出角C,再利用正弦
定理求出c边,可有两解,一解 或无解,详见下表

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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在△ABC中,已知a、b和A时解的情况如下:

无解

一解

两解

一解

一解

无解

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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1 2 ( . 0 1 4 ·

长 春 模 拟

)在△A B C

中,∠A,∠B,∠C 所 对 的 边 )

c o s A a 分别为 a,b,c,若 = ,则△A B C 一定是( c o s B b A.等腰三角形 C. 等 腰 直 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 D.等 边 三 角 形

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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[答案] A

[ 解析]

由条件得 acosB=bcosA,

由余弦定理得, a2+c2-b2 b2+c2-a2 a· =b· , 2ac 2bc ∴a2=b2,∵a>0,b>0,∴a=b,故选 A.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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2.(2013· 山东莱州一中质检)已知△ABC 中,a、b、c 分别 为 A、 B、 C 的对边, a=4, b=4 3, ∠A=30° , 则∠B 等于( A.30° C.60°
[答案] D

)

B.30° 或 150° D.60° 或 120°

[ 解析]

∵4 3sin30° =2 3<4<4 3,∴∠B 有两解,

4 4 3 3 由 = 得,sinB= ,∴B=60° 或 120° . sin30° sinB 2

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3.(文)(2013· 浙江调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为 a, b, c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0, 则 tanA 的值是( 3 A. 3 C. 3 ) 3 B.- 3 D.- 3

[答案] D

[ 解析]

依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由

b2+c2-a2 -bc 1 余弦定理得 cosA= = =- ,又 0<A<π,所以 A 2bc 2bc 2 2π 2π = ,tanA=tan =- 3,选 D. 3 3
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(理2 ( ) 0 1 3 ·

武 汉 调 研

)△A B C 的 内 角 A,B,C 的 对边 分 别 为 )

a,b,c, 已 知 c o s ( π 5π A. 或 6 6 π 2π C. 或 3 3
[ 答案] B

A-C)+c o s B=1,a=2c,则 C=( π B. 6 π D. 3

[ 解析] =1 2 , n s i 2 n s i

∵c o s (

A-C)+c o s B=1,∴c o s (

A-C)-c o s (

A+C) n s i A=

An s i · C=1.又 由 已 知

a=2c, 根 据 正 弦 定 理 得 ,

1 π 5π π C,∴n s i C= ,∴C= 或 .∵a>c,∴A>C,∴C= . 2 6 6 6
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4.(2014·唐山市二模)在△ABC中,角A,B,C的对边a,

b,c成等差数列,且A-C=90°,则cosB=________.

[ 答案]
[ 解析]

3 4
∵2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC,

又∵A-C=90° ,∴A=90° +C, ∴ 2sinB = sin(90° + C) + sinC = cosC + sinC = 2 sin(C + 45° ), 又∵A+B+C=180° ,∴B+2C=90° , B ∴C=45° - , 2
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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∴2 n s i

B= 2s n i(

C+4 5 ° ) = 2s n i 9 ( 0 °

B B - )= 2c o s , 2 2

B B B ∴2 2s n i c o s =c o s , 2 2 2 B 2 ∴n s i = , 2 4 ∴c o s B=1-2 n s i
2B

1 3 =1-2× = . 2 8 4

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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典例探究学案

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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正弦定理的应用

(2015· 娄底市高中名校联考)已知△ABC 的角 A、 1 B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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[解 析]

1 1 () 由 ac o s C+ c=b 和 正 弦 定 理 得 , 2

1 n s i Ac o s C+ n s i C=n s i B, 2 又n s i B=n s i ( A+C)=n s i Ac o s C+c o s An s i C,

1 ∴ n s i C=c o s An s i C, 2 1 ∵n s i C≠0,∴c o s A= , 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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2 () 由 正 弦 定 理 得 ,

an s i B 2 an s i C 2 b= = n s i B,c= = n s i C, n s i A n s i A 3 3 2 B+n s i C)=1+ n s [ i B+n s i( A +B)] 3 π B+ ). 6

2 则 l=a+b+c=1+ n s ( i 3

3 1 =1+2( n s i B+ c o s B)=1+2 n s i ( 2 2

π 2π π π 5π ∵A= ,∴B∈(0, ),∴B+ ∈( , ), 3 3 6 6 6 ∴n s i ( π 1 B+ )∈( ,1],∴l∈2 ( 3 , ] 6 2 . 2 ( 3 , ] .
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

∴△A B C 的周长 l 的 取 值 范 围 为

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[方法总结]

(1)已知两角和一边可求第三角,解这样的三

角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另

一边的对角时要注意讨论.这是易错的地方,也是常考查的地
方.

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(文2 ( ) 0 1 3 ·

辽 宁 理 ,

6)在△ABC 中 , 内 角

A,B,C 的 对 边

1 分 别 为 a,b,c,若 an s i Bc o s C+cn s i Bc o s A= b,且 a>b,则∠ 2 B=( π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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[答案] A

[ 解析 ]

1 由正弦定理可得 sinB(sinAcosC + sinCcosA) = 2

1 1 sinB,∵sinB≠0,∴sin(A+C)= ,∴sinB= ,由 a>b 知 A>B, 2 2 π ∴B= .选 A. 6

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(理2 ( ) 0 1 4 · 对 边 长 分 别 的 面 积 等 于 3 A. 2 3 C. 6

云 南 昆 明 一 模

)已 知 △A B C 中 , 内 角

A,B,C 所

π 为 a,b,c,若 A= ,b=2ac o s B,c=1,则△A B C 3 ( ) 3 B. 4 3 D. 8

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[答案] B

[ 解析]

由正弦定理得 sinB=2sinAcosB,故 tanB=2sinA=

π π 2sin = 3,又 B∈(0,π),所以 B= ,则△ABC 是正三角形, 3 3 1 3 所以 S△ABC= bcsinA= . 2 4

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余弦定理的应用

(2014· 山东青岛一模)在△ABC 中,a,b,c 分别 是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanA· tanC-1)=1. (1)求 B 的大小; 3 3 (2)若 a+c= ,b= 3,求△ABC 的面积. 2

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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[解 析]

1 () 由 2 c o s

Ac o s Ca t n (

Aa t n C-1)=1 得

n s i An s i C 2cosAc o s C( -1)=1, c o s Ac o s C ∴2 n s ( i ∴c o s ( An s i C-c o s Ac o s C)=1. 1 A+C)= - , 2

1 ∴c o s B= , 2 π 又 0<B<π,∴B= . 3

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2 () 由 余 弦 定 理 得

a2+c2-b2 1 c o s B= = , 2ac 2

?a+c?2-2ac-b2 1 ∴ = , 2ac 2 3 3 又 a+c= ,b= 3, 2 27 5 ∴ -2ac-3=ac,ac= , 4 4 1 1 5 3 5 3 ∴S△ABC= acn s i B= × × = . 2 2 4 2 16

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[方法总结]

正弦、余弦定理的选用原则.

已知三边或已知两边和夹角用余弦定理;已知一边和两角 或已知两边和一边对角用正弦定理;当可用正弦定理,也可用

余弦定理时,应注意用哪一个定理更方便.

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(文)(2014·山东菏泽一模)在△ABC中,内角A,B,C的对

边 长 分 别 为 a , b , c , 已 知 a2 - c2 = 2b , 且 sinAcosC =
3cosAsinC,则b=________. [答案] 4

[解析]

a2+b2-c2 由 sinAcosC = 3cosAsinC 得 a· = 2ab

2 b2+c2-a2 b 3· · c,∴a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2= , 2bc 2 2 b 又 a2-c2=2b,∴ =2b,∴b=4. 2
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(理)( 2 0 1 5 · C所 对 的 边 分 别 为 =_ _ _ _ _ _ _ _ .
[ 答案]
[ 解析]

沈 阳 市 东 北 育 才 学 校 一 模

)在△A B C 中 , 角 A, B,

π a,b,c,已知 C= ,a=1,b= 3,则 B 6

2π 3
首 先 由 余 弦 定 理 得 , c2=a2+b2-2abc o s C

3 =3+1-2×1× 3× =1,∴c=1,再 由 余 弦 定 理 得 2 a2+c2-b2 1+1-3 1 2π c o s B= = =- ,∴B= . 2ac 2 3 2×1×1
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三角形形状的判定

根据所给条件,判断△ABC 的形状. (1)若 acosA=bcosB,则△ABC 形状为________. a b c (2)若 = = ,则△ABC 形状为________. cosA cosB cosC
[ 答案] (1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形

[ 解析]

(1)由余弦定理得

b2+c2-a2 a2+c2-b2 acosA=bcosB?a· ( )=b· ( )?a2c2-a4- 2bc 2ac b2c2+b4=0,
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∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0, ∴a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0, ∴a=b 或 c2=a2+b2, ∴ △A B C 是 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 . 2 () 由 正 弦 定 理 得 n s i A n s i B n s i C = = c o s A c o s B c o s C

即a t n A=a t n B=a t n C, ∵A、B、C∈(0,π),∴A=B=C, ∴ △A B C 为 等 边 三 角 形 .
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[ 方法总结]

1.判 定 三 角 形 形 状 的 两 种 常 用 途 径

化 边 为 角 , 利 用 三 角 变 换 得 .... 出三角形内角之间的关系进行判断,角与角之间的关系主要看 有 无 等 角 , 有 无 直 角 或 钝 角 等 , 还 要 注 意 应 用 个结论. 2 () 利 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 , 换(如 因 式 分 解 、 配 方 等 2.注意:在△A B C -a2=0?A 为 直 角 , 化 角 为 边 , 通 过 代 数 恒 等 变 .... ), 求 出 三 条 边 之 间 的 关 系 进 行 判 断 . 边 中,b2+c2-a2>0?A 为锐角,b2+c2 A+B+C=π 这

1 () 通 过 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 ,

与 边 之 间 的 关 系 , 主 要 看 是 否 有 等 边 , 是 否 符 合 勾 股 定 理 等 . b2+c2-a2<0?A 为钝角.
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(文)在△A B C 中,c o s

2B

a+c = (a、b、c 分 别 为 角 2 2c ( )

A、B、C

的对边),则△A B C 的 形 状 为 A.直角三角形 B. 正 三 角 形 C. 等 腰 三 角 形 D. 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形

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[答案] A

[ 解析]

a+c 1+cosB sinA+sinC ∵cos = ,∴ = , 2 2c 2 2sinC
2B

∴sinCcosB=sinA, ∴sinCcosB=sin(B+C),∴sinBcosC=0, π ∵0<B,C<π,∴sinB≠0,cosC=0,∴C= ,故选 A. 2

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(理2 ( ) 0 1 4 · 2 c o s ( B+Cn s ) i (

江 西 七 校 一 联

)在△ABC 中 , 若 (

n s i(

A-B)=1+ )

A+C), 则 △A B C 的 形 状 一 定 是

A. 等 边 三 角 形 B. 不 含 60° 角 的 等 腰 三 角 形 C. 钝 角 三 角 形 D. 直 角 三 角 形

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[答案] D

[解析] 2cosAsinB,

sin(A - B) = 1 + 2cos(B + C)sin(A + C) = 1 -

∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA· sinB, ∴sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1,则有 A+B= π ,故三角形为直角三角形. 2

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交汇创新系列 综合应用

(文)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,c= 3asinC-ccosA. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c.

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[分 析] 中 的 三 项 都 含 有 n s i Cn s ( i

1 () 已知 c= 3an s i C-cc o s A, 求 角 A, 注 意 到 等 式 c 或 n s i C, 故 可 用 正 弦 定 理 化 边 为 角 , 约 去 0<A<π, 求 出 角 △ABC 的 面 积 公 式 , 建 立 a 和 S△ABC 及角 A, a2=b2+c2 A.

C≠0)得 到 角 A的 关 系 式 , 再 结 合 A的 值 , 选 择 合 适 的

2 () 可 结 合 角

关 于 b、c 的 方 程 组 , 解 得 可 选 择 面 积 公 式

b、c 的 值 . 已 知

1 S△ABC= bcn s i A, 再 结 合 余 弦 定 理 2

-2bcc o s A, 建 立 b与c的 方 程 组 解 之 .

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[解 析]

1 () 由 c= 3an s i C-cc o s A及 正 弦 定 理 得 ,

3s n i An s i C-c o s An s i C-n s i C=0. 由 于 n s i C≠0, 所 以 n s i( π 又 0<A<π, 故 A= . 3 1 2 () △A B C 的 面 积 S= bcn s i A= 3, 故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bcc o s A, 故 b2+c2=8. 解 得 b=c=2.
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π 1 A- )= . 6 2

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(理2 ( ) 0 1 3 ·

晋 中 名 校 联 考

)已 知 a,b,c 分 别 是 △ABC 的 三 2b-c c o s C = . a c o s A π C- )的 值 域 . 6

个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 1 () 求 角 A的 大 小 ;

2 () 求 函 数 y= 3s n i B+n s i(

[解 析] 即2 n s i ∴2 n s i

1 () 由 正 弦 定 理 得

2 n s i

B-n s i C c o s C = , n s i A c o s A

Bc o s A=n s i Ac o s C+n s i Cc o s A, Bc o s A=n s i( A+C)=n s i B,

1 π ∵n s i B≠0,∴c o s A= .∴A= . 2 3
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π 2π 2π 2 () ∵A= ,∴B+C= 且 B∈(0, ). 3 3 3 ∵y= 3s n i B+n s i ( π C- )= 3s n i B+n s i ( 6 π B+ ), 6 π -B) 2

= 3s n i B+c o s B=2 n s i (

2π π π 5π 又 B∈(0, ),B+ ∈( , ), 3 6 6 6 ∴n s i ( π 1 B+ )∈( ,1]. 6 2 1 ( 2 , ] .
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∴所 求 函 数 的 值 域 为

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[方法总结]

1.三角形与三角恒等变换、平面向量、数

列、基本不等式等知识交汇命题时,一般先将所给条件和待求 (证)结论依据相关知识作等价变换,转化为纯三角函数内容,

按三角函数的知识方法解答.
2.在三角形问题中,若给出的条件式中既有边又有角, 一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边,再按转化后的 表达式特点选择变形解答方法.

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2 (0 1 4 ·

河 北 衡 水 中 学 二 调 2.

)已 知 函 数

f(x)=mn s i x+ 2c o s x,

(m> 0 ) 的 最 大 值 为

1 () 求 函 数 f(x)在[0,π] 上 的 值 域 ; 2 () 已 知 △A B C 外 接 圆 半 径 n s i An s i B,角 A,B 所 对 的 边 分 别 是 π π R= 3,f(A- )+f(B- )=4 6 4 4 1 1 a,b, 求 + 的 值 . a b

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[ 解析] 2.

1 ( ) 由 题 意 , f(x)的 最 大 值 为

m2+2, 所 以 π x+ ). 4

m2+2=

而 m>0,于是 m= 2, 所 以 f(x)=2 n s i (

π π 所以 f(x)在[0, ]上递增.在[ ,π]上递减, 4 4 所 以 函 数 f(x)在[0,π] 上 的 值 域 为 [- 2,2];

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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π π 2 () 化 简 f(A- )+f(B- )=4 6s n i An s i B 得 ,n s i A+n s i B= 4 4 2 6s n i An s i B. 由 正 弦 定 理 , 得 2R(a+b)=2 6ab, R= 3.∴a+b= 2ab.

∵ △A B C 的 外 接 圆 半 径 为 1 1 ∴ + = 2. a b

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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答题模板系列

(2014· 天津红桥区二模)在△ABC 中,角 A,B, cosA b 2π C 所对的边分别为 a,b,c,已知 = ,且∠C= . cosB a 3 (1)求角 A,B 的大小; (2)设函数 f(x)=sin(2x+A)-sin2x+cos2x,求函数 f(x)的周 π π 期及其在[- , ]上的值域. 12 6

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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[解 析] =n s i 2 B,

c o s A b 1 () ∵ = , 由 正 弦 定 理 得 c o s B a

c o s A n s i B = , 即n s i 2 c o s B n s i A

A

π 2π π ∴A=B 或 A+B= (舍 去 ),∵ ∠ C= ,∴A=B= . 2 3 6 2 () f(x)=n s i 2 ( =n s i 2 x+A)-n s i
2

x+c o s

2

x π x+ ), 3

π xc o s +c o s 2 6

π xn s i +c o s 2 6

x= 3s n i 2 (

2π ∴T= =π, |ω|

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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π π π π 2π ∵x∈[- , ], 则 ≤2x+ ≤ , 12 6 6 3 3 而 正 弦 函 数 递 减 , ∴函 数 f(x)的 最 小 值 为 3 , 最 大 值 为 2 3, π π y=n s i x 在[ , ]上 单 调 递 增 , 在 6 2 π 2π [ , ]上 单 调 2 3

π π 即 函 数 f(x)在[ , ]上 的 值 域 为 6 2

3 [ , 3]. 2

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[规范答题模板]

解三角形问题的一般解题步骤:

第一步,利用正弦(余弦)定理边角互化. 第二步,三角变换、化简、消元,向已知边(角)转化.

第三步,求值(注意三角形内角的取值范围).
第四步,完成全部问题的解答,并反思检查.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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2 ( 0 1 4 ·

天 津 文 )在△A B C 中 , 内 角

A、B、C 所 对 的 边 分 别 为

6 a、b、c, 已 知 a-c= b,n s i B= 6s n i C. 6 1 ( ) 求c o s A的 值 ; 2 ( ) 求c o 2 s (
[ 分析]

π A- )的值. 6
1 ( ) △A B C 内角 A、B、C 满足 A+B+C=π,由两 c o s A的 值 , 用 余 弦 定 理

条 件 式 可 以 角 化 边 , 也 可 以 边 化 角 , 求 可 化 角 为 边 ;

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2 ( ) 用 和 角 公 式 求

c o s 2 (

π A- ), 需 先 求 6

c o s 2

A,n s i 2

A 的值,

由(1)知 c o s A可 求 得 n s i A.
[解 析] 1 () ∵n s i B= 6s n i C,∴b= 6c,

6 代 入 a-c= b 中 可 得 a=2c, 6 由 余 弦 定 理 得 b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 c o s A= = = . 2 2bc 4 2· 6c

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6 2 () 由1 () 知 c o s A= , 又 0<A<π, 4 10 ∴n s i A= . 4 ∴c o s 2 n s i 2 A=2 c o s
2

1 A-1= - , 4

A=2 n s i

10 6 15 Ac o s A=2× × = . 4 4 4

∴c o s 2 (

15- 3 π 1 3 15 1 A- )= - × + × = . 6 4 2 4 2 8

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易错警示系列
局限表面,忽视隐含条件

设△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 3 2 c,cos(A-C)+cosB= ,b =ac,求 B. 2 3 [ 错解] 由 cos(A-C)+cosB= ,将 B=π- (A+C)代入 2
3 3 cos(A-C)+cosB= ,得,cos(A-C)-cos(A+C)= . 2 2

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利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 公 式 展 开 得 ac, 利 用 正 弦 定 理 进 行 边 角 互 化 , 得 3 π 2π n s i B= .故 B= 或 . 2 3 3 n s i

3 n s i An s i C= .又 由 b2= 4
2

B=n s i An s i C, 进 而 得

[辨 析] 进 而 得 c o s (
2

事 实 上 , 当 A-C)=c o s (

2π B= 时 , 由 c o s B= -c o s ( 3

1 A+C)= - , 2

3 A+C)+ =2 > 1 , 矛 盾 , 应 舍 去 . 也 可 2 2π B= . 3

利 用 若 b =ac, 则 b≤a 或 b≤c, 从 而 舍 去

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[正 解] -C)-c o s (

由c o s (

3 A-C)+c o s B= 及 B=π-(A+C), 得c o s ( 2

A

3 A+C)= , 2 3 Ac o s C-n s i An s i C)= , 2

c o s Ac o s C+n s i An s i C-c ( o s 3 n s i An s i C= . 4 由 b2=ac 及 正 弦 定 理 , 得 故n s i
2

n s i

2

B=n s i An s i C,

3 B= , 4
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3 3 n s i B= 或 n s i B=- (舍去), 2 2 π 2π 于是 B= 或 B= . 3 3 π 又由 b =ac 知 b≤a 或 b≤c, 所 以 B= . 3
2

[ 警示]

解 三 角 形 中 , 应 特 别 注 意 问 题 中 的 隐 含 条 件 ,



正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 , 三 角 形 中 的 边 角 关 系 , 内 角 和 定 理 等 . 本 题 隐 含 条 件 得 满 分 难 . b≤a 或 b≤c, 极 其 隐 蔽 . 本 小 题 考 生 得 分 易 , 但

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名 师 点 睛 一 条 规 律 在 三 角 形 中 , 大 角 对 大 边 , 大 边 对 大 角 ; 一 般 地 , n s i α> n s i β α>β, 但 在 △A B C 中 ,n s i A> n s i B?A>B.

两 种 途 径 根 据 所 给 条 件 确 定 三 角 形 的 形 状 , 主 要 有 两 种 途 径 : 1 () 化 边 为 角 ; 2 () 化 角 为 边 .

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三个技巧 求解三角形中的三角函数问题的技巧 (1)作为三角形问题,它必须要用到三角形的内角和定理, 正弦、余弦定理及其有关三角形的性质,及时进行边角转化,

有利于发现解题的思路.
(2)它毕竟是三角变换,只是角的范围受到了限制,因此常 见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”(即“统 一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口.

第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形

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(3)在解斜三角形的问题中,有时所给问题在一个多边形

中,需将多边形分割成三角形,有时在同一个图形中有几个三
角形,解题时要先分析条件,将已知和待求量归结到一个可解 的三角形中,如果不能归到同一个三角形中,则应看待求量需 要在哪个三角形中解决,这个三角形中的哪个量与已知条件所 在的三角形共用,先解可解的三角形求出这个量或建立方程

(组)求解.

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四类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及

任一边,求其他边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其他边
或角.(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分. 余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和 其他两角;(2)已知三边,求各角.

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课时作业
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