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2018高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用课件文

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第八节 正弦定理和余弦定理的应用 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线 上方 时叫仰角, 目标视线在水平视线 下方时叫俯 角.(如图(a)). 图(a) 图(b) 2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水 平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 α(如图(b)). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 通常表达为北 (南)偏东(西)××度. [小题体验] 1.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者 在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离 为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°, 则 A,B 两点的距离为______ m. 答案:50 2 2. (教材习题改编)海面上有 A, B, C 三个灯塔, AB=10 n mile, 从 A 望 C 和 B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A 成 75°视角, 则 BC=________ n mile. 答案:5 6 易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向线与 目标方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南 方向线与目标方向线所成的锐角. [小题纠偏] 1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角 是 60°,C 点的俯角是 70°,则∠BAC=________. 答案:130° 2. 若点 A 在点 C 的北偏东 30°, 点 B 在点 C 的南偏东 60°, 且 AC=BC,则点 A 在点 B 的________方向上. 解析:如图所示,∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而 β=30°, ∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 答案:北偏西 15° 考点一 测量高度问题 [典例引领] (2015· 湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平 的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北 侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角 为 30°,则此山的高度 CD=________m. 解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°, ∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 600 BC 又 AB=600 m,故由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 解得 BC=300 2(m). 3 在 Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30°=300 2× =100 3 答案:100 6 6(m). [由题悟法] 求解高度问题应注意的 3 个问题 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂 面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中, 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形, 这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平 面问题. [即时应用] (2016· 湖北七市(州)协作体联考)如图,为了估 测某塔的高度,在同一水平面的 A,B 两点处 进行测量, 在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20° 的方向上, 仰角为 60°; 在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40°的方向上,仰角为 30°.若 A, B 两点相距 130 m,求塔的高度 CD. h 解:分析题意可知,设 CD=h,则 AD= ,BD= 3h,

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