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直线与方程 小结与复习

时间:2014-01-02


直线与方程

小结与复习

知识点: (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的______。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为_____度。因此,倾斜角的取值范围是___________ (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是________的直线,它的倾斜角的______叫做这条直线的______。直线的 斜率常用______表示。 即________。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当________时, ? 0 ; k 当 ? ? 90 ,180 时,_______; 当 ? ? 90 时, k ______。 ②过两点的直线的斜率公式:_______________ 注意下面四点:(1)当________时,公式右边无意义,直线的斜率______,倾斜角为______; (2)k 与 P1、 2 的顺序无关; P (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式:____________直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为_____时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为________时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式:_________,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为____ ③两点式:___________( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ④截矩式:________ 其中直线 l 与 x 轴交于点______,与 y 轴交于点______,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。 ⑤一般式:__________(A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如:平行于 x 轴的直线:_______(b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线:________(a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系
? ?

?

?

?

平行于已知直线

A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为

0 的常数)的直线系:

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系:_____________,直线过定点 ?x0 , y0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 系方程为

: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线

___________________________( ? 为参数) ,其中直线 l 2 不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当 l1

: y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
(8)两点间距离公式:设 ___________________

l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

相交交点坐标即方程组

______________的一组解。方程组无解 ? l1 // l 2 ;方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

A( x1 , y1 ),(x2 , y2) B 是平面直角坐标系中的两个点,则

1

(9)点到直线距离公式:一点

P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离

__________________ (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 典例精讲: 题型一:直线的倾斜角与斜率问题 例 1 已知坐标平面内三点 A(?1,1), B(1,1), C (2, 3 ? 1) . (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角. (2)若 D 为 ?ABC 的边 AB 上一动点,求直线 CD 斜率为 k 的变化范围.

题型二:直线的平行与垂直问题 例 2 已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求直线 l ? 的方程, l ? 满足 (1)过点 (?1,3) ,且与 l 平行; (2)过 (?1,3) ,且与 l 垂直.

例3

已知两直线 l1:x+m y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2:(1)相 交;(2)平行;(3)重合.?

2

题型三:直线的交点、距离问题 例4 已知直线 l 经过点 A (2,4) ,且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得 的线段的中点 M 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程.

题型四:直线方程的应用 例 5 已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 . (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.

例 6 一条光线经过点 P(2,3),射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1). (1)求光线的入射线方程;? (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度.? 【自我检测】
2

1.若直线过点 (1,2), (4,2 ? 3 ), 则此直线的倾斜角是( (A) 30
0

).

(B) 45 (C) 60

0

0

(D) 90

0

2.过点 E (1,1) 和 F (?1,0) 的直线与过点 M (?

k k ,0) 和点 N (0, ) 直线的位置关系是( ). 2 4
). (D) x ? 2 y ? 7 ? 0 ).

(A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合 3. 过点 (?1,3) 且垂直与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(

(A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 5 ? 0 (C) x ? 2 y ? 5 ? 0

4.已知点 A(1,2), B(3,1), 则到 A, B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是(

(A) 4 x ? 2 y ? 5 (B) 4 x ? 2 y ? 5 (C) x ? 2 y ? 5 (D) x ? 2 y ? 5 5.直线 l1 : ax ? y ? b ? 0, l 2 : bx ? y ? a ? 0(a ? 0, b ? 0, a ? b) 在同一直角坐标系中的图 形大致是(
l1

).
l2

y

y

y l 1
l2

y
l2

l1

l2

O
A

x

O
B

x l1

O
C

x

O
D

x

6.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是(
2

).

7 8 (C) (D) 3 5 5 7.直线 l 被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是原点 O ,则直线 . l 的方程为
(A) (B) 8.(08 浙江)已知 a ? 0, 若平面内三点 A(1,?a), B(2, a ), C (3, a ) 共线,则 a =
2 3

4 3

.

9.(09 湖北)过点 A(1,4), 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有(

).

(A)1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 10.如图所示,在 ?ABC 中, BC 边上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ?BAC 的平 分线所在直线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标.
y
B(1,2)

D

A

O

x

C

11. (09 新疆) 已知直线 l 过点 P(1,1) , 且被平行直线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 与 3x ? 4 y ? 7 ? 0 截 得的线段长为 4 2 ,求直线 l 的方程.

3

12.已知实数 x 、 y 满足 y ? x ? 2 x ? 2(?1 ? x ? 1) ,试求
2

y?3 的最大值和最小值. x?2

13.已知 A(-3,8)和 B(2,2),在 x 轴上有一点 M,使得|AM|+|BM|最短,那么点 M 的坐标是 ( ) A.(-1,0) B.(1,0)? C.(
22 ,0) 5

D.(0,

22 ) 5

14. 直 线 ax+4y-2=0 与 直 线 2x-5y+c=0 垂 直 相 交 于 点 (1 , m) , 则 a= m= .

c=

4


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