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高中数学1-7-1定积分在几何中应用课件新人教A版选修_图文

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1.7.1 定积分在几何中的应用 2.微积分基本定理---------牛顿-莱布尼茨公式 ? b a f ( x)dx ? ? F ' ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a ) a b 牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系. 3.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的关键是 确定f ( x)的原函数F ( x) 1、平面图形的面积 y y ? f ( x) y y ? f2 ( x) y ? f1 ( x ) o a b b x o a b x 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A ? ?a f ( x )dx A ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx b 1、平面图形的面积 a b y ? f2 ( x) a y ? f ( x) 曲边梯形的面积 A ? ?? f ( x )dx a b b y ? f1 ( x ) 面积 A ? ? f 2 ( x )dx ? ? f1 ( x )dx a a b b ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx a b 例 1 计算由两条抛物线y 2 ? x 和 y ? x 2 所围成的 图形的面积. ? ?y ? x 解? ? x ? 0及x ? 1 2 ? ?y ? x 两曲线的交点 (0,0) (1,1) y y C o O 3 1 2 y ? ? xx B S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD y ? x2 1 ?2 3 x ? 2 S = ( x - x )dx ? ? x ? ? ? . 0 3 ?0 ?3 3 ?? 1 0 xdx ? ? x dx 2 0 2 1 D 2 y ? xx A ? 1 例 2 计算由曲线 y ? 2x , 直线 y ? x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 y ? 2x S2 S1 y ? x?4 ? ? y ? 2 x ? (0,0), (8, 4). ? ? ?y ? x ? 4 直线与x轴交点为(4,0) S ? S1 ? S2 ? ? 4 0 2 xdx ? [ ? 8 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 ? (? 4 0 2 xdx ? ? 4 2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ? 4 8 8 0 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx 4 8 2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3 例 2 计算由曲线 y ? x 3 ? 6 x 和 y ? x 2 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 ? y ? x ? 6x ? ? (0,0), ( ?2,4), ( 3,9). 2 ?y ? x 3 y ? x2 A1 ? ? 0 ?2 ( x ? 6 x ? x )dx 3 2 y ? x3 ? 6x A2 ? ? ( x ? x ? 6 x)dx 2 3 0 3 于是所求面积 0 3 A ? A1 ? A2 2 3 A ? ?? 2 ( x ? 6 x ? x )dx? ?0 ( x 2 ? x 3 ? 6 x )dx 253 ? . 12 y ? x2 说明: A1 A2 y ? x3 ? 6x 注意各积分区间上被积函数的形式. 变式: 计算由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 y ? 2x S1 S1 2 y ? x?4 8 y2 ? 2 x ? y2 ? 2 x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?4 S ? 2S1 ? S2 ? 2? 2 0 2 8 S2 0 8 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx 2 ? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx 2 3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 ? x |0 ?( x ? x ? 4 x) |2 ? ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3 三、小结 如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分 练习 1:P 65 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) y ? x 2 , y ? 2 x ? 3 (2) y ? e , y ? e, x ? 0 x 练习 2:求由下列各曲线所围成的图形的面积: 1 1、 、 y ? 与直线 y ? x 及 x ? 2 。 x 2 y ? ? x ? 4 及其在点 ( ? 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2. 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .

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