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2017-2018学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案:2.3直线平面垂直的判定及其性质 Word版含答案

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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 预习课本 P64~66, 思考并完成以下问题 1.直线与平面垂直的定义是怎样的? 2.直线与平面垂直的判定定理是什么? 3.直线与平面所成的角是怎样定义的? 4.直线与平面所成的角的范围是什么? [新知初探] 1.直线与平面垂直的定义 (1)自然语言:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互 相垂直,记作 l⊥α .直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂 直时,它们惟一的公共点 P 叫做垂足. (2)图形语言:如图. 画直线 l 与平面 α 垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. (3)符号语言:任意 a? α ,都有 l⊥a? l⊥α . [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形. (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”. 2.直线与平面垂直的判定定理 (1) 自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直. (2)图形语言:如图所示. (3)符号语言:a? α ,b? α ,a∩b=P,l⊥a,l⊥b? l⊥α . [点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两 条直线平行,则直线与平面不一定垂直. 3.直线与平面所成的角 (1) 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这 条直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. (2)当直线 AP 与平面垂直时,它们所成的角是 90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是 0°. (4)线面角 θ 的范围:0°≤θ ≤90°. [点睛] 把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的;②斜线在 平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 l 垂直于平面 α ,则 l 与平面 α 内的直线可能相交,可能异面,也可能平行 ( ) (2)若 a∥b,a? α ,l⊥α ,则 l⊥b( (3)若 a⊥b,b⊥α ,则 a∥α ( 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 的位置关系是( A.平行 C.在平面 α 内 B.垂直 D.无法确定 ) ) ) 解析:选 D 当平面 α 内的两条直线相交时,直线 l⊥平面 α ,即 l 与 α 相交,当平面 α 内的两直线平行时,l? α 或 l∥α 或 l 与 α 垂直或 l 与 α 斜交. 3.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的 直线中: (1) 与 PC 垂 直 的 直 线 有 ________________________________________________________________________; (2) 与 AP 垂 直 的 直 线 有 ________________________________________________________________________. 解析:(1)∵PC⊥平面 ABC,AB,AC,BC? 平面 ABC. ∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC. (2)∠BCA=90°,即 B

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