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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(8)指数函数、对数函数、幂函数

时间:2013-03-06

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课时作业(八)

第8讲

指数函数、对数函数、幂函数

时间:45 分钟

分值:100 分

基础热身 x 1.2011·沈阳模拟 集合 A={(x,y)|y=a},集合 B={(x,y)|y=b +1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只 有一个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1 C.(1,+∞) D.R 2.2011·郑州模拟 下列说法中,正确的是( ) ①任取 x∈R 都有 3 >2 ;②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ;③y=( 3) 是增函数;④y=2 的最小值为 x -x 1;⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图像对称于 y 轴. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤ 3.2011·郑州模拟 函数 y= (0<a<1)的图像的大致形状是( |x|
x x x
-x -x | x|

xax

)

4.2011·聊城模拟 若函数 y=2 A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0<m≤1 能力提升 5.2010·湖北卷 A.4 C.-4 1 B. 4 1 D.- 4

|1-x|

图 K8-1 +m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(

)

? ?log3x,x>0, 已知函数 f(x)=? x ? ?2 ,x≤0,

则 f?f?

1?? =( ? ?9??

)

1 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知当 x∈(0,1)时,f(x)=log (1-x), 2 则函数 f(x)在(1,2)上( ) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 6.2011·郑州模拟 1 7. 已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 上是增函数,设 a=f(log47), =f?log 3?, 0 b ? 2 ? c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c x 8.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如图 K8-2 所示,则函数 g(x)=a +b 的图像是( )

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图 K8-2

图 K8-3 2x x 9.2011·锦州一模 设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -2a -2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) 10.2011·济宁模拟 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样.污水经过污水处理厂 3 的“污水处理池”过滤一次,能过滤出有害物质的 .若过滤 n 次后,流出的水中有害物质在原来的 1%以下,则 4 n 的最小值为________(参考数据 lg2≈0.3010). 2 11.若函数 f(x)=loga(ax -x)在 2,4 上是增函数,则 a 的取值范围为________. x 12.若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 2 x x 13.函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M,当 x∈M 时,则 f(x)=2 +2-3×4 的最大值为________. 2 14.(10 分)(1)已知 f(x)= x +m 是奇函数,求常数 m 的值; 3 -1 x x (2)画出函数 y=|3 -1|的图像,并利用图像回答:k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一解?有两解?

e a 15.(13 分)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数(其中 e≈2.71828). a e (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

x

难点突破 16.(12 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23,且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)为奇函数; x x x (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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课时作业(八) 【基础热身】 x 1.B 解析 ∵y=b +1>1,如果 A∩B 只有一个子集,则 A∩B=?,∴a≤1. 2.B 解析 利用指数函数的性质判断. x x x 3.D 解析 x>0 时,y=a ;x<0 时,y=-a .即把函数 y=a (0<a<1,x≠0)的图像在 x>0 时不变,在 x<0 时,沿 x 轴对称. |1-x| 4.A 解析 ∵|1-x|≥0,∴2 ≥1. |1-x| ∵y=2 +m≥1+m, |1-x| ∴要使函数 y=2 +m 的图像与 x 轴有公共点, 则 1+m≤0,即 m≤-1. 【能力提升】 1 1 1 1 -2 5.B 解析 根据分段函数可得 f =log3 =-2,则 ff =f(-2)=2 = ,所以 B 正确. 9 9 9 4 1 6.D 解析 由于 x∈(0,1)时,f(x)=log (1-x),所以 f(x)在区间(0,1)上单调递增且 f(x)>0, 2 又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)在区间(-1,0)上单调递减且 f(x)>0, 又因为 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以 f(x)在区间(1,2)上递减且 f(x)>0,故选 D. 1 1 3 1 -0.6 7.B 解析 log 3=-log23=-log49,b=f?log 3?=f(-log49)=f(log49),log47<log49,0.2 =? ?- 2 ? 5? 5 2 ? ? 3 5 5 =5 = 125> 32=2>log49. 5 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0 上是增函数,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减, 1 -0.6 ∴f(0.2 )<f?log 3?<f(log47),即 c<b<a,选 B. ? 2 ? x 8.A 解析 由图形可知 b<-1,0<a<1,所以函数 g(x)=a +b 在定义域上单调递减,且与 x 轴负半轴相交, 所以选 A. 2x x 2x x 2x x 9.C 解析 f(x)<0?loga(a -2a -2)<0?loga(a -2a -2)<loga1,因为 0<a<1,所以 a -2a -2>1,即 x 2 x x 2 x x x x (a ) -2a +1>4?(a -1) >4?a -1>2 或 a -1<-2,所以 a >3 或 a <-1(舍去),因此 x<loga3,故选 C. 1 n 1 n 1 10.4 解析 设原有的有害物质为 a,则过滤 n 次后有害物质还有? ? a,令? ? <1%,则 n> ,即 n≥4, lg2 ?4? ?4? 所以 n 的最小值为 4. 2 11.a>1 解析 函数 f(x)是由 φ (x)=ax -x 和 y=logaφ (x)复合而成的,根据复合函数的单调性的判断 2 2 方法.(1)当 a>1 时,若使 f(x)=loga(ax -x)在 2,4 上是增函数,则 φ (x)=ax -x 在 2,4 上是增函数且大于

? 1 ≤2, ? 零.故有?2a ?φ (2)=4a-2>0, ? ? 1 ≥4, ? 零.?2a ?φ (4)=16a-4>0, ?

1 解得 a> ,∴a>1. 2
2 2

(2)当 a<1 时,若使 f(x)=loga(ax -x)在 2,4 上是增函数,则 φ (x)=ax -x 在 2,4 上是减函数且大于 不等式组无解.
2

综上所述,存在实数 a>1 使得函数 f(x)=loga(ax -x)在 2,4 上是增函数. x x 12.a>1 解析 设函数 y=a (a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个 x 零点,就是函数 y=a (a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点.由图像可知,当 0<a<1 时,两函数只有一个 x 交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=a (a>1)的图像过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的 上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 a>1. 25 2 13. 解析 由 3-4x+x >0,得 x>3 或 x<1, 12 ∴M={x|x>3 或 x<1}. 1 25 x f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3?2 - ?2+ . 6? 12 ?

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x x

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∵x>3 或 x<1,∴2 >8 或 0<2 <2, 1 1 25 x ∴当 2 = ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 . 6 6 12 14.解答 (1)常数 m=1. x x (2)y=|3 -1|的图像如下:当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图像无交点,即方程无解; x 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解; x 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图像有两个不同交点,所以方程有两解.

e a 1 x 15.解答 (1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即 + x= x+ae , a e ae 1 x 1 所以?a- ??e - x?=0 对一切 x∈R 成立. ? a?? e ? 1 2 由此得到 a- =0,即 a =1.

x

a

又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:设 0<x1<x2,

f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+

1 1 - ex1 ex2

1 -1? =(ex2-ex1)? ?ex1+x2 ? 1-ex2+x1 =ex1(ex2-x1-1)· ex2+x1 由 x1>0,x2>0,x2-x1>0, 得 x1+x2>0,ex2-x1-1>0,1-ex2+x1<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 【难点突破】 16.解答 (1)证明:由 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,得 f(0)=0. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 f(x)+f(-x)=0, 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (2)f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)是 R 上的单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函数. 又由(1)知 f(x)是奇函数. x 2 x f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0?f(k·3x)<f(9x-3x+2)?k·3x<9x-3x+2, 即(3 ) -(1+k)3 +2>0 对任意 x∈R 恒成立. x 2 令 t=3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 2 令 g(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴为 t= , 2 1+k 当 t= ≤0,即 k≤-1 时,g(0)=2>0,符合题意; 2 1+k? 1+k 当 t= >0,即 k>-1 时,则需满足 g? >0,解得-1<k<-1+2 2. 2 ? 2 ? 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 本题还有更简捷的解法:
x x x

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2 2 x x 分离系数由 k<3 + x-1,令 u=3 + x-1,u 的最小值为 2 2-1, 3 3 2 x 则要使对任意 x∈R 不等式 k<3 + x-1 恒成立,只要使 k<2 2-1. 3


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