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山东2016高考数学理科二轮复习练习:专题三第1讲 等差数列、等比数列的基本问题

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第 1 讲 等差数列、等比数列的基本问题 一、选择题 1.(2015·焦作模拟)在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则 a5 的 值为( A. 2 ) B.3 C.4 D .5 解析 设数列{an}的公差为 d, ∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10, ∴2(a5+3d)+3(a5-2d)=10, ∴5a5=10,∴a5=2. 答案 A 2.(2015·诸城模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6, 则数列{an}的公比 q 的值为( A.-2 或 1 C.-2 解析 法一 若 q=1, ) B.-1 或 2 D. 1 则 S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1, 显然不满足 2S4=S5+S6, 故 A、D 错. 若 q=-1,则 S4=S6=0,S5=a5≠0, 不满足条件,故 B 错,因此选 C. 法二 经检验 q=1 不适合, 则由 2S4=S5+S6, 得 2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得 q2+q-2=0,解得 q=1(舍去),q=-2. 答案 C 3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 解析 B.-90 C.90 ) D.110 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d= a1-16,又∵a7 是 a3 与 a9 的等比中项, ∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得 a1=20. 1 ∴S10=10×20+ ×10×9×(-2)=110. 2 答案 D 4.(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( A.n(n+1) C. B.n(n-1) D. ) n(n+1) 2 n(n-1) 2 解析 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a2 4=a2a8, 即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2. ∴Sn=2n+ 答案 A n(n-1) 2 ×2=2n+n2-n=n(n+1). 5.(2015·福建卷)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两 个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A. 6 B.7 C.8 D.9 ) 解析 由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b> 0.在 a,b,-2 这三个数的 6 种排序中,成等差数列的情况有 a, b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况 有:a,-2,b;b,-2,a. ? ? ? ?ab=4, ?ab=4, ?a=4, ? ?a=1, ? ? ? ∴ 或 解之得: 或? ? ? ? ? 2 b = a - 2 2 a = b - 2 b = 1 ? ? ? ?b=4. ∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选 D. 答案 D 二、填空题 6.(2015·阳泉模拟)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大. 解析 根据题意知 a7+a8+a9=3a8>0,即 a8>0.又 a8+a9=a7+ a10<0,∴a9<0,∴当 n=8 时,{an}的前 n 项和最大. 答案 8 7.在等比数列{an}中,已知 a1+a3=8,a5+a7=4,则 a9+a11+a13+ a15=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 2 ? ?a1+a1q =8, 由已知,得? 4 解得 6 ? a q + a q = 4 , ? 1 1 q4= . 1 2 又 a9+a11=a1q +a3q =(a1+a3)q 8 8 8 ?1?2 ? =8×? ?2? =2, ? ? ?1?3 ? =8×? ?2? =1, ? ? a13+a15=a1q +a3q =(a1+a3)q 12 12 12 所以 a9+a11+a13+a15=2+1=3. 答案 3 8.(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3 =8,则数列{an}的前 n 项和等于________. 解析 由等比数列性质知 a2a3=a1a4,又 a2a3=8,a1+a4=9,所 ? ? ?a1a4=8, ?a1=1, ? ?a1=8, ? ? 以联立方程 解得 或? 又数列{an}为递 ? ? ? a + a = 9 , a = 8 ? 1 4 ? 4 ?a4=1, 增数列,∴a1=1,a4=8,从而 a1q3=8,∴q=2. 1-2n ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn= =2n-1. 1- 2 答案 2n-1 三、解答题 9.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4, b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 3 3 a4-a1 12-3 d= = = 3, 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q, 由题意得 q3= b4-a4 20-12 = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1), 2 数列{2 n-1 1-2n }的前 n 项和为 =2n-1. 1- 2

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