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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第3节 异面直线所成的角

时间:2017-04-25


第 3 节 异面直线所成的角 【基础知识】 异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′ 与 b′所成的锐角或直角叫作异面直线 a,b 所成的角(或夹角). ②范围: (0,

?
2

].

异面直线的判定方法: 判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直 线; 反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 【规律技巧】 求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ,平移的方法一般有三种类型:利用图中已 有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线 所成的角通常放在三角形中进行. 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法, 其基本思路是通过平移直线, 把异面问题化归 为共面问题来解决,具体步骤如下: ①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; ②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; ③计算:求该角的值,常利用解三角形; ④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是 (0, 为两条异面直线所成的角. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 【典例讲解】 【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60° ,对角 线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60° .

?
2

] ,当所作的角为钝角时,应取它的补角作

(1)求四棱锥的体积;

(2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.

规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法, 平移方法一般有三种类型: 利用图 中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 【变式探究】已知在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且点 M,N 分别是 BC,AD 的中点. (1)若直线 AB 与 CD 所成的角为 60° ,则直线 AB 和 MN 所成的角为________. (2)若直线 AB⊥CD,则直线 AB 与 MN 所成的角为________. 1 (2)取 AC 的中点 P,连接 PM,PN,则 PM 綉 AB,所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成 2 的角, 由于 AB⊥CD,所以∠MPN=90° . 又 AB=CD,所以 PM=PN,从而∠PMN=45° , 即 AB 与 MN 所成的角为 45° . 答案 (1)60° 或 30° (2)45°

【针对训练】 1、已知在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且点 M,N 分别是 BC,AD 的中点. (1)若直线 AB 与 CD 所成的角为 60°,则直线 AB 和 MN 所成的角为________. (2)若直线 AB⊥CD,则直线 AB 与 MN 所成的角为________. 【答案】 (1)60°或 30° (2)45°

2、 已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( 1 3 B. 6 6 【答案】B

)

A.

C.

1 3

D.

3 3

【解析】

3、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 【解析】 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PO⊥面 ABCD, ∴∠PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角,即∠PBO=60°, 在 Rt△ABO 中,AB=2,∠OAB=30°, ∴BO=AB· sin 30°=1, ∵PO⊥面 ABCD,OB?面 ABCD,∴PO⊥OB, ∴在 Rt△POB 中,PO=BO· tan 60°= 3, ∵底面菱形的面积 S=2× 3 2 ×2 =2 3. 4

1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD= ×2 3× 3=2. 3

4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1 的中点,则 A1B 与 EF 所成
角的大小为________.

π 【答案】 3

5、已知空间三条直线 l,m,n,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( A.m 与 n 异面 C.m 与 n 平行 【答案】D B.m 与 n 相交

)

D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能

【解析】在如图所示的长方体中,m,n1 与 l 都异面,但是 m∥n1,所以 A,B 错误;m,n2 与 l 都异面,且 m,n2 也异面,所以 C 错误.

6、如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

【答案】90°

7、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已 知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求:

(Ⅰ)三角形 PCD 的面积; (Ⅱ)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

(Ⅱ)如图,取 PB 的中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异 面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中,由 EF= 2,AF= 2,AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形, π 所以∠AEF= . 4 π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4

【练习巩固】 1.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________ 对.

解析 如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1,CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有不 12×4 同的位置,且正方体共有 12 条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线 =24(对). 2

答案 24 2、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下 四个结论:

①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________. 3.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为________. 4.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,OA⊥底面 ABCD, OA=2,M 为 OA 的中点.

(1)求四棱锥 O-ABCD 的体积;

(2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4,

1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)如图,连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 则∠EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角,由已知, 可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3 故异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 . 3


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