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3.4基本不等式 (1)

时间:2017-10-16


绵阳一中高 2015 级数学组

必修五 第三章

不等式

§ 3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2

(1)

一、课前准备 看书本 97、98 页填空 复习 1:重要不等式:对于任意实数 a , b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当且仅当________时,等 号成立. a?b 复习 2:基本不等式:设 a, b ? (0, ??) ,则 _____ ab ,当且仅当____时,不等式取 2 等号. 二、新课导学

※ 学习探究
a?b 的几何背景: 2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中 国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗? 将图中的“风车”抽象成如图,
探究 1:基本不等式 ab ?

结论:一般的,如果 a, b ? R ,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab -当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗?

探究:课本第 98 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD. 你能利用这个图形得出 a?b 基本不等式 ab ? 的几何解释吗? 2

结论:基本不等式 ab ?

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

※ 典型例题
例 1 (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少?

(2) 段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?

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学案 11

基本不等式(1)

学案 11 基本不等式(1)

※ 动手试试
练 1. x ? 0 时,当 x 取什么值时, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

练 2. 已知直角三角形的面积等于 50,两条直角边各为多少时,两条直角边的各最小,最 小值是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等号. 两个正数 x, y 1 1.如果和 x ? y 为定值 S 时,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值 S 2 . 4 2. 如果积 xy 为定值 P 时,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P .

学习评价
1. 已知 x ? 0,若 x+

A. 81 2. 若 0 ? a ? 1 ,0 ? b ? 1 且 a ? b , 则 a ? b 、2 ab 、2 ab 、a 2 ? b2 中最大的一个是 ( 2 2 A. a ? b B. 2 ab C. 2 ab D. a ? b a 3. 若实数 a,b,满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3b 的最小值是( ). A.18 B.6 C. 2 3
2

81 的值最小,则 x 为( x B. 9 C. 3 D.16

). ) .

D. 3 2 81 4. 已知 x≠0,当 x=_____时,x + 2 的值最小,最小值是________. x 5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时, 用纸最少.

课后作业
1. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

2. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,问这个矩形的长、宽 各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?

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