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高中数学必修5常考题型:等差数列

时间:2018-06-30


等差数列
【知识梳理】
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.这三个数满足的关系式 a+b 是 A= . 2 3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d 递推公式 an-an-1=d(n≥2) 通项公式 an=a1+(n-1)d(n∈N*)

【常考题型】 题型一、等差数列的判定与证明
【例 1】 判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中 an=3n+2; (2)在数列{an}中 an=n2+n. [解] 列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列. 【类题通法】 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数,是 与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 【对点训练】 1.已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,数列{bn}中,bn=3an+4,问:数列{bn}是否 为等差数列?并说明理由. 解:数列{bn}是等差数列. 理由:∵数列{an}是首项为 a1,公差为 d 的等差数列, (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*).由 n 的任意性知,这个数列为等差数

∴an+1-an=d(n∈N*). ∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d. ∴根据等差数列的定义,数列{bn}是等差数列.

题型二、等差数列的通项公式
【例 2】 (1)在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求通项公式 an. 5 7 (2)已知数列{an}为等差数列 a3= ,a7=- ,求 a15 的值. 4 4 [解] 则 (1)∵a5=10,a12=31, a1+4d=10,
? ?a1=-2, ?? ?d=3. a1+11d=31, ?

∴an=-2+(n-1)×3=3n-5 ∴通项公式 an=3n-5.(n∈N*)

?a =4, (2)法一:由? 7 ?a =-4,
3 7

5

?a +2d=4, 得? 7 ?a +6d=-4.
1 1

5

11 3 解得 a1= ,d=- . 4 4 ∴a15=a1+(15-1)d 11 3 31 = +14×(- )=- . 4 4 4 法二:由 a7=a3+(7-3)d, 7 5 3 即- = +4d,解得 d=- . 4 4 4 5 3 31 ∴a15=a3+(15-3)d= +12×(- )=- . 4 4 4 【类题通法】 1.应用等差数列的通项公式求 a1 和 d,运用了方程的思想.一般地,可由 am=a,an=b,
?a1+?m-1?d=a, ? 得? 求出 a1 和 d,从而确定通项公式. ? ?a1+?n-1?d=b,

2.若已知等差数列中的任意两项 am,an,求通项公式或其他项时,则运用 am=an+(m-

n)d 则较为简捷. 【对点训练】 2.(1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项; (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 解:(1)由 a1=8,d=5-8=-3,n=20, 得 a20=8+(20-1)×(-3)=-49. (2)由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4, 得这个数列的通项公式为 an=-5-4(n-1)=-4n-1, 由题意知,-401=-4n-1. 得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项.

题型三、等差中项
【例 3】 已知等差数列{an},满足 a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式. [解] 在等差数列{an}中, ∵ a2+a3+a4=18, ∴3a3=18,a3=6.
? ?a2+a4=12 ? ?a2· a4=11, ? ?a2=11 ?a2=1, ? ? 解得? 或? ? ? ?a4=1 ?a4=11. ? ?a2=11 当? 时,a1=16,d=-5. ?a4=1 ?

an=a1+(n-1)d=16+(n-1)· (-5) =-5n+21.
?a2=1 ? 当? 时,a1=-4,d=5. ?a4=11 ?

an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)· 5=5n-9. 【类题通法】 a+c 三数 a,b,c 成等差数列的条件是 b= (或 2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有 2 关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证 2an+1=an+an+2(n∈N*). 【对点训练】

3.(1)已知数列 8,a,2,b,c 是等差数列,则 a,b,c 的值分别为________,________, ________. (2)已知数列{an}满足 an-1+an+1=2an(n≥2),且 a2=5,a5=13,则 a8=________. 解析:(1)因为 8,a,2,b,c 是等差数列, 8+2=2a, ? ? 所以?a+b=2×2, ? ?2+c=2b. a=5, ? ? ∴?b=-1, ? ?c=-4.

(2)由 an-1+an+1 =2an (n≥2)知,数列{an}是等差数列,∴a2,a5,a8 成等差数列. ∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=21. 答案:(1)5 -1 -4 (2)21

【练习反馈】
1.已知等差数列{an}的首项 a1=2,公差 d=3,则数列{an}的通项公式为( A.an=3n-1 C.an=2n+3 B.an=2n+1 D.an=3n+2 )

解析:选 A ∵an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 3=3n-1. 2.等差数列的前 3 项依次是 x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( A.an=2n-5 C.an=2n-1 B.an=2n-3 D.an=2n+1 )

解析:选 B ∵x-1,x+1,2x+3 是等差数列的前 3 项, ∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得 x=0. ∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3, ∴d=2,∴an=-1+2(n-1)=2n-3. 3.等差数列的第 3 项是 7,第 11 项是-1,则它的第 7 项是________. 解析:设首项为 a1,公差为 d, 由 a3=7,a11=-1 得,a1+2d=7,a1+10d=-1,所以 a1=9,d=-1,则 a7=3. 答案:3 4.已知:1,x,y,10 构成等差数列,则 x,y 的值分别为________. 解析:由已知,x 是 1 和 y 的等差中项,即 2x=1+y ①, y 是 x 和 10 的等差中项,即 2y=x+10 ②, 由①,②可解得 x=4,y=7. 答案:4,7 5.在等差数列{an}中,

(1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9.
?a1+ ?5-1?d=-1, ? 解:(1)由题意,知? ? ?a1+?8-1?d=2. ? ?a1=-5, 解得? ?d=1. ? ? ? ?a1+a1+?6-1?d=12, ?a1=1, (2)由题意,知? 解得? ?a1+?4-1?d=7. ?d=2. ? ?

∴an=1+2(n-1)=2n-1. ∴a9=2×9-1=17.


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