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[推荐学习]高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关

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生活的色彩就是学习

第7节 第一课时
【选题明细表】 知识点、方法 直线与圆锥曲线位置关系 弦长问题 中点弦问题

圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系
题号 1,2,7,10,13,14,15 4,5,6,9,12 3,8,11

基础对点练(时间:30 分钟) 1.直线 y=x+3 与双曲线-=1 的交点个数是( A ) (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)0 解析:因为直线 y=x+3 与双曲线的渐近线 y=x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点. 2.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影

恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( B ) (A)2 (B)2 (C)8 (D)2 . ,则点( , )在椭圆 + =1(m>0)上,

解析:根据已知条件得 c= 所以
-

+

-

=1,可得 m=2

3.(2016 重庆模拟)已知双曲线 C:-=1(a>0,b>0),方向向量为 d=(1,1)的直线与 C 交于两点 A,B,若线段 AB 的中点为(4,1),则双曲线 C 的渐近线方程是( B ) (A)2x±y=0 (B)x±2y=0 (C) x±y=0 (D)x± y=0 解析:设方向向量为 d=(1,1)的直线方程为 y=x+m, 由 消去 y 得(b -a )x -2a mx-a m -a b =0,
2 2 2 2 2 2 2 2

设 A(x1,y1),B(x2, y2), 因为线段 AB 的中点为(4, 1). 所以 x1+x2=
-

=8,

y1+y2=8+2m=2,则 m=-3, 所以
-

=8,

所以 a=2b,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x. 2 4.(2016 丽水模拟)斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为 ( C ) (A)2 (B) (C) (D)
2 2 2

解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,代入+y =1,消去 y 得 x +2tx+t -1=0, 2 2 2 由题意知Δ =(2t) -5(t -1)>0 即 t <5,

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|AB|=

- ≤
2

. + 等于

5.已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P,Q 两点,则 ( A ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 2 解析:抛物线 y =8x 的焦点坐标为 F(2,0), 准线方程为 x=-2,则直线 y=k(x-2)过点 F,联立 k x -(4k +8)x+4k =0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4+,x1x2=4, 所以 = + = +
2 2 2 2

-



=

=.
2

6.(2016 杭州模拟)F 为椭圆+y =1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭圆上,若 MF⊥x 轴,直线 2 2 MN 与圆 x +y =1 相切于第四象限内的点 N,则|NF|等于( A ) (A) (B) (C)
2

(D)

解析:因为 F 为椭圆+y =1 的右焦点, 所以 F 点的坐标为(2,0), 因为 MF⊥x 轴,M 在椭圆上且在第一象限, 所以 M 点的坐标为(2, ), 设直线 MN 的斜率为 k(k>0), 则直线 MN 的方程为 y- =k(x-2), 即 kx-y-2k+ =0, 因为直线 MN 与圆 x +y =1 相切, 所以原点到直线 MN 的距离等于半径 1, 即
2 2

=1 解得 k=

或 k=-

(舍去),

所以直线 MN 的方程为
2 2

x-y-

=0,

联立圆的方程 x +y =1 可得 N 点坐标为(,- ), 所以|NF|= = .

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生活的色彩就是学习 7.(2015 东北三校联考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +2 相切,则双曲线的 离心率为 . 解析:联立 得 ax -bx+2a=0,令Δ =0,得 b =8a ,故 c =9a ,e=3.
2 2 2 2 2 2

答案:3 8.(2014 高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 分别代入椭圆方程相减得
-

+

-

=0,

根据题意有 x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2, 且
-

=-,

所以+×(-)=0, 2 2 得 a =2b , 2 2 2 所以 a =2(a -c ), 整理得 a =2c 得= , 所以 e= . 答案: 9.设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,若直线 AF 的倾 斜角等于 60°,则|PF|等于 . 解析:在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4, 所以|AF|= ,又∠PAF=∠PFA=30°,过点 P 作 PB⊥AF 于点 B,则|PF|= =.
2 2 2

答案: 10.(2016 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0), 因为 c=1,=,所以 a=2, b= , 所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, 联立方程 得(3+4k )x +8kx-8=0,且Δ >0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), K12 的学习需要努力专业专心坚持
2 2

=2

,求直线 l 的方程.

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由 又

=2

,得 x1=-2x2,
-

所以

-

-

消去 x2 得(
2

)=

2

,

解得 k =,k=±, 所以直线 l 的方程为 y=±x+1, 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 11.(2016 广东肇庆模拟)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双曲线 C 上一点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方 程; (3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值. 解:(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长 a=1, 半焦距 c=2, 所以其虚半轴长 b= = .

又其焦点在 x 轴上, 2 所以双曲线 C 的标准方程为 x -=1. (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 两式相减, 得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 则 因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以 所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB=
-

=6.

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2, 所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号. 因为|GF2|= = ,

所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2= +2. 故|DF1|+|DG|的最小值为 +2. 能力提升练(时间:15 分钟) 2 12.(2016 大连双基测试)过抛物线 y =2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C 两点,l 与 抛物线准线交于点 A,且|AF|=6, (A) (B)6 (C) (D)8 =2 ,则|BC|等于 ( A )

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生活的色彩就是学习 解析:不妨设直线 l 的倾斜角为θ ,其中 0<θ <,点 B(x1,y1),C(x2,y2),则点 B 在 x 轴的上方. 过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有|BF|=|BB1|=3, 线方程是 y =4x,焦点 F(1,0),cos θ = tan θ = 由
2 2

= ,

,由此得 p=2,抛物

===,sin θ =

-

=

=2 -

,直线 l:y=2 消去 y,

(x-1).

得 2x -5x+2=0,x1+x2=, |BC|=x1+x2+p=+2=. 2 13.在抛物线 y=x 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N 的坐标分别为 . 2 解析:设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x 中, 2 整理得 x +x-b=0,令Δ =1+4b>0,所以 b>-. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1, =+b=+b,

由(-,+b)在直线 y=x+3 上, 即+b=-+3,解得 b=2, 联立 解得 -

答案: (-2,4),(1,1) 14.(2015 沈阳模拟)已知点 A(- ,0),点 B( ,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的 轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈ . 解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c=
2 2

,则 b=

-

=1,所以 P 点的轨

迹方程为 x -y =1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交 点, 则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 15.已知椭圆 C:+y =1(a>0)的焦点在 x 轴上,右顶点与上顶点分别为 A,B.顶点在原点,分别以 A,B 为焦点的抛物线 C1,C2 交于点 P(不同于 O 点),且以 BP 为直径的圆经过点 A. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 不同两点,求△OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程. 解:(1)由已知得 A(a,0),B(0,1), 2 2 所以以 A 为焦点的抛物线 C1 的方程为 y =4ax,以 B 为焦点的抛物线 C2 的方程为 x =4y. 由 得 P(4 ,4 ),

又以 BP 为直径的圆经过点 A, 所以 ⊥ , · =0,

(4 -a,4 )·(-a,1)=0, K12 的学习需要努力专业专心坚持

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即 -4 +4=0,得 =2,a =8, 故椭圆 C 的标准方程为+y =1. (2)由(1)知 P(4 ,8),kOP= ,
2

2

所以直线 l 的斜率 kl=- . -

设直线 l 的方程为 y=- x+t,由
2 2



5y -2ty+t -4=0, 2 2 2 则Δ =4t -4×5×(t -4)>0,解得 t <5, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=,y1y2= 由弦长公式得|MN|= |y2-y1|=
-

, = - .

×

又点 O 到直线 l 的距离为 d= 所 以 S △ OMN=|MN|·d=×
2 2 2

= |t|, - × |t|= ×2 ≤ ×(t +5-t )= ,
2 2

, 当 且仅 当

t =5-t 时等号成立,又 t <5,易知当 t=± 此时直线 l 的方程为 y=- x± .

时,△OMN 的面积取得最大值

精彩 5 分钟 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2 分别是它的左、右焦点,A 是它的右顶点,过点 F1 作一条斜 率为 k 的直线交双曲线于异于顶点的两点 M,N, 若∠ MAN=90°, 则该双曲线的离心率为 ( B ) (A) (B)2 (C) (D) · =0. 消去 y 得

解题关键:把∠MAN=90°转化为

解析:由题意可得过点 F1 的直线方程为 y=k(x+c)(k≠0),联立方程 (b -a k )x -2a k cx-a c k -a b =0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-

,x1x2=-

-

.

因为∠MAN=90°, 所以 ·
2

=(x1-a)·(x2-a)+ y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a +k (x1+c)(x2+c)=0,
2 2 2 2

2

2

所以(1+k )x1x2+(ck -a)(x1+x2)+a +k c =0, 即-(1+k )
2

-

+(ck -a)

2

-

+a +k c =0,

2

2 2

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生活的色彩就是学习 所以-2a c-3a c +c =0, 即--3+e =0,即
2 3 2 2 4

2

=0,又 e>1,解得 e=2.

2.已知抛物线 C:y =2px(p>0),A(异于原点 O)为抛物线上一点,过焦点 F 作平行于直线 OA 的 直线 ,交抛物线 C 于 P,Q 两点.若过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交直线 OA 于点 B, 则 |FP|·|FQ|-|OA|·|OB|等于( A ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解. 解析:设直线 OA 的斜率为 k(k≠0),则直线 OA 的方程为 y=kx,由 易知 B(, ),PQ:y=k(x-), 由 消去 x 得 -y- =0,
2

得 A( , ),

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-p , 根据弦长公式得 |FP|·|FQ|= =(1+)|y1y2| 2 =(1+)p , 而|OA|·|OB|= · =(1+)p ,
2

|y1|·

|y2|

所以|FP|·|FQ|-|OA|·|OB|=0.

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