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圆锥曲线的基本量与性质

时间:2015-09-25


圆锥曲线的基本量与性质
一、选择题(共 18 小题;共 90.0 分)
1. 已知曲线 ax 2 + by 2 = 2 经过点 A 0,2 和 B 1,1 ,则 a,b 的值为 ( A.
1 2

) D. ) D. 0
1 2 1 2

,2 17 16
x2 m2

3

B.

3 2

,2 15 16

1

C.

? 2,2 7 8

3

3

,? 2

3

2. 抛物线 y = 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( A. 3. 设椭圆 + B. C.

y2 n2

= 1 m > 0, n > 0 的右焦点与抛物线 y 2 = 8x 的焦点相同,离心率为 ,则 ) B. x 2 y2 + =1 16 12 y 2 = 4x ? 8 C. ) y 2 = 16 ? 4x D. y 2 = 4x ? 16 ) 4 x 2 y2 + =1 48 64 D. x 2 y2 + =1 64 48

此椭圆的方程为 ( A.

x 2 y2 + =1 12 16 y 2 = 8 ? 4x

4. 曲线 y 2 = 4x 关于直线 x = 2 对称的曲线方程是 ( A. B. C.

5. 直线 y = 2k 与曲线 9k 2 x 2 + y 2 = 18k 2 x (k ∈ ,且 k ≠ 0)的公共点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D.

6. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C:x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1 PF2 = 60? ,则 PF1 ? PF2 = ( A. 2 ) B.
x2 y2 9

4

C.

6

D. )

8

7. 已知点 4,2 是直线 l 被椭圆 36 + A. C. x ? 2y = 0 2x + 3y + 4 = 0
2

= 1 所截得弦的中点,则直线 l 的方程是 ( B. D. x + 2y ? 4 = 0 x + 2y ? 8 = 0

8. 已知点 P 是抛物线 y = 2x 上的一个动点,则点 P 到点 0,2 的距离与 P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 ( A. 17 2
x2 y2

) B. 3 C. 5 D. 9 2

9. 已知双曲线 a 2 ? b 2 = 1 a > 0, b > 0 的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,△ OAF 的面积为 2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 ( A. 30? B. 45? C.
a2

) 60? D. 90?

10. 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 = 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是 ( A. 0,1 ) B.
x2 4

0,

1 2

C.

0,

2 2

D.

2 ,1 2

11. 如图,F1 ,F2 是椭圆 C1 : + y 2 = 1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1 ,C2 在第 二、四象限的公共点.若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

A. 12. 方程 x 2 ? 4 A. C.

2
2

B. ? y2 ? 4
2

3

C. )

3 2

D.

6 2

= 0 表示的图形是 ( B. D.

两条直线 一个圆

四条直线 两条直线和一个圆

13. 如图,设抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其 中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比是

A. C.

BF ? 1 AF ? 1 BF + 1 AF + 1

B. D.

BF 2 ? 1 AF 2 ? 1 BF 2 + 1 AF 2 + 1

14. 方程 2x + y x + y ? 3 = 0 与 4x + 2y + 1 2x ? y + 1 = 0 所表示的两曲线的公共点个 数是 ( A. ) 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

15. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M 2, y0 .若点 M 到该抛 物线焦点的距离为 3,则 OM = ( A. 2 2 B. ) 2 3 C. 4 D. 2 5

16. 直线 y = x ? 3 与抛物线 y 2 = 4x 交于 A 、 B 两点,过 A 、 B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P 、 Q,则梯形 APQB 的面积为 ( A. 36
x2 y2

) C. 56 D. 64

B.

48

17. 过双曲线 C: a 2 ? b 2 = 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦 点为圆心、半径为 4 的圆经过 A, O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( A. x 2 y2 ? =1 4 12 B. x 2 y2 ? =1 7 9
x2

)

C.

x 2 y2 ? =1 8 8

D.

x 2 y2 ? =1 12 4

18. 若点 O 和点 F ?2,0 分别为双曲线 a 2 ? y 2 = 1(a > 0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. C. 3 ? 2 3, +∞ 7 ? , +∞ 4 ) B. D. 3 + 2 3, +∞ 7 , +∞ 4

二、填空题(共 18 小题;共 90.0 分)
19. 方程 x + 2y + 1 + 2x ? y + 3 = 0 表示的图形是 . 20. 过抛物线 x 2 = 2py p > 0 的焦点 F 作倾斜角为 30? 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两 点(A 在 y 轴左侧),则 21. 设 P 为直线 y =
b 3a AF FB

=
x2 a2

. ?
y2 b2

x 与双曲线

= 1 a > 0, b > 0 左支的交点, F1 是左焦点, .

PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e =
x2 y2

22. 设椭圆 C: a 2 + b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点为 F1 , F2 ,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A,B 两点,F1 B 与 y 轴交于点 D,若 AD ⊥ F1 B,则椭圆 C 的离心率等于 23. 方程 x + y ? 1 x2 + y 2 ? 4 = 0 的曲线形状是 . .

24. 在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x 2 ? y 2 = 1 右支上的一个动点,若点 P 到直线 x ? y + 1 = 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为
π 4



25. 设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且 ∠CBA = ,若 AB = 4,BC = 2,则 Γ 的两个焦 点之间的距离为 .

26. 已知抛物线 C: y 2 = 2px p > 0 的准线为 l,过 M 1,0 且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A, 与 C 的一个交点为 B.若 AM = MB,则 p = .

27. 如图,F1 ,F2 分别为椭圆 a 2 + b 2 = 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△ POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b2 的值是 .

x2

y2

28. 已知过抛物线 y 2 = 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点, AF = 2,则 BF = .
y2 b2

29. 设 F1 ,F2 分别是椭圆 E: x 2 +

= 1 0 < b < 1 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 .

A,B 两点,若 AF1 = 3 BF1 ,AF2 ⊥ x 轴,则椭圆 E 的方程为
x2 y2

30. 如图把椭圆 25 + 16 = 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于 P1 ,P2 ,?,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 P1 F + P2 F + ? + P7 F = .

31. 如图所示,直线 x = 2 与双曲线 Γ:

x2 4

? y 2 = 1 的渐近线交于 E1 、 E2 两点,记 OE1 = e1 ,

OE2 = e2 ,任取双曲线 Γ 上的点 P,若 OP = ae1 + be2 a, b ∈ ,则 a 、 b 满足的一个等式 是 .

32. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点, 其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60?,则 △ OAF 的面积为
1 2



33. 若圆 x 2 + y 2 ? 2ax + a2 ? 1 = 0 与抛物线 y 2 = x 有两个公共点,则 a 的取值范围 是 .

34. 已知直线 y = a 交抛物线 y = x 2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围为 .

35. 若实数 x,y 满足 2x 2 + y 2 = 3x,则曲线 2x 2 + y 2 = 3x 上的点 x, y 到原点距离的最大值 为 ,最小值为
x2 9 y2

. ? 16 = 1 的左焦点,P, Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍, .

36. 已知 F 为双曲线 C:

点 A 5,0 在线段 PQ 上,则 △ PQF 的周长为

三、解答题(共 15 小题;共 195.0 分)
37. 已知 A x1 , y1 ,B x2 , y2 是抛物线 C:y 2 = 2px p > 0 上两点,抛物线的焦点为 F. (1)若 x1 = 5,p = 2,求 AF ; (2)若点 F 在直线 AB 上,求证: AB = x1 + x2 + p. 38. 抛物线的顶点在原点,焦点在直线 x ? 2y ? 4 = 0 上,求抛物线的标准方程. 39. 双曲线 a 2 ? b 2 = 1 a > 1, b > 0 的焦距为 2c,直线 l 过点 a, 0 和 0, b ,且点 1,0 到直 线 l 的距离与点 ?1,0 到直线 l 的距离之和 s ≥ 5 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 40. 抛物线 y 2 = 2px p > 0 有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是 y = 2x,斜边长是 5 3,求此抛物线方程. 41. 已知: +
9 x2 y2 5 4 x2 y2

= 1 的焦点为 F1 ,F2 ,在直线 l: x + y ? 6 = 0 上找一点 M,求以 F1 ,F2 为焦

点,过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

42. 已知直线 l 过抛物线 y 2 = 2px 的焦点,且与抛物线交于两点 P1 ,P2 ,设 P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 .求证:y1 y2 = ?p2 . 43. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
3 2

,两个焦点分别为 F1 、 F2 ,

椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck :x 2 + y 2 + 2kx ? 4y ? 21 = 0 k ∈ 的圆 心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 △ Ak F1 F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G ?请说明理由. 44. 已知 α ∈ 0, π ,试讨论当 α 的值变化时,方程 x 2 sinα + y 2 cosα = 1 所表示曲线的形状. 45. 已知双曲线 a 2 ? b 2 = 1(a > 0,b > 0)经过点 A (1)求该双曲线的方程; (2)设 F1 ,F2 是双曲线的两个焦点,证明:AF1 ⊥ AF2 . 46. 方程 1 ? x = 1 ? y 表示的曲线是什么图形?
x2 y2 x2 y2 3 5 4 5 5

,

5

,其渐近线方程为 y = ±2x.

47. 已知 F1 、 F2 是双曲线 a 2 ? b 2 = 1 a > 0, b > 0 的左、右两焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直 线交双曲线于点 P,当 ∠PF1 F2 = 45? 时,求双曲线的渐近线方程. 48. 设 0 < θ < 2 ,曲线 x 2 sinθ + y 2 cosθ = 1 和 x 2 cosθ ? y 2 sinθ = 1 有 4 个不同的交点. (1)求 θ 的取值范围; (2)证明这 4 个交点共圆,并求圆半径的取值范围. 49. 如图,已知梯形 ABCD 中 AB = 2 CD ,点 E 满足 AE = λEC,双曲线过 C, D, E 三点,且以 A, B 为焦点.当 3 ≤ λ ≤ 4 时,求双曲线离心率 e 的取值范围.
2 3 π

50. 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ? 2, 0 ,

2, 0 ,离心率是

6 3

,直线 y = t 与椭圆

C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q x, y 是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. 51. 如图,椭圆 a 2 + b 2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ⊥ PF1 .
x2 y2

(1)若 PF1 = 2 + 2, PF2 = 2 ? 2,求椭圆的标准方程; (2)若 PF1 = PQ ,求椭圆的离心率 e.

答案
第一部分 1. B 2. B 6. B 7. D 11. D 12. D 16. B 17. A 第二部分 19. 点 ? 5 , 5 20. 21. 22. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.
1 3 3 2 4 3 3 7 1

3. B 4. C 5. D 8. A 9. D 10. C 13. A 14. C 15. B 18. B

23. 圆 x 2 + y 2 = 4 及直线 x + y ? 1 = 0 在圆 x 2 + y 2 = 4 外的部分
2 2 4 6

2 2 3 2 3 x 2 + y2 = 1 2 35 4ab = 1 3 17 a = 8 或 ?1 < a < 1 1, +∞ 3 ;0 2 44

3

第三部分 p 37. (1) 由抛物线定义,知 AF = x1 + 2 = 6.
p

37. (2) 由抛物线定义,知 AF = x1 + 2 , BF = x2 + 2 ,

p

因为 F 在直线 AB 上,所以 F 在线段 AB 上, 所以 AB = x1 + x2 + p. 38. (1) 由题意,焦点既在坐标轴上,又在直线 x ? 2y ? 4 = 0 上, 令 x = 0,得焦点为 0, ?2 ;令 y = 0,得焦点为 4,0 . 当焦点为 0, ?2 时,抛物线方程为 x 2 = ?8y; 当焦点为 4,0 时,抛物线方程为 y 2 = 16x. 39. (1) 直线 l 的方程为 x y + = 1, a b 即 bx + ay ? ab = 0. 由点到直线的距离公式,且 a > 1,得到点 1,0 到直线 l 的距离 b a?1 d1 = , a2 + b 2 同理得到点 ?1,0 到直线 l 的距离 b a+1 d2 = , a2 + b 2 结合题目可得 2ab 2ab s = d1 + d2 = = . 2 2 c a +b 4 由 s ≥ c,得 5 2ab 4 ≥ c, c 5 即 5a c 2 ? a2 ≥ 2c 2 . 于是得 5 e2 ? 1 ≥ 2e2 , 即 4e4 ? 25e2 + 25 ≤ 0. 解不等式,得 由于 e > 1, 所以 e 的取值范围是 5 ≤ e2 ≤ 5. 4 5 ≤ e ≤ 5. 2 40. (1) 设 △ AOB 为抛物线的内接直角三角形,三角形的直角顶点为 O,AO 边的方程是 y = 2x, 1 则 OB 边的方程为 y = ? x. 由
p 2 2

y = 2x, y 2 = 2px, ,p ;

可得 A 的坐标为 由

1 y = ? x, 2 y 2 = 2px, 可得 B 的坐标为 8p, ?4p 因为 AB = 5 3, 所以 p + 4p
2

+

p

? 8p 2
13

2

= 5 3,
4 39 13

又 p > 0,解得 p =
x2 9 y2 5

2 39

. x.

故所求的抛物线方程为 y 2 = 41. (1) 由 +

= 1,得 F1 2,0 ,F2 ?2,0 ,F1 关于直线 l 的对称点 F1 ? 6,4 ,连接 F2 F1 ? 交 l

于一点,即为所求的 M 点.所以 2a = MF1 + MF2 = F1 ?F2 = 4 5, 解得 a = 2 5,c = 2,所以 b2 = 16.故所求椭圆方程为 42. (1) 当直线 l 斜率存在时,设直线 P1 P2 为 y = k x ? 2 ky2 ? 2py ? p2 k = 0.则 y1 y2 = ?p2 , 当直线 l 斜率不存在时可得 P1 43. (1) 设椭圆 G 的方程为
x2 p 2 p x2 20

+

y2

16

= 1.

k ≠ 0 ,与 y 2 = 2px 联立消去 x 得

, p ,P2

p 2

, ?p ,仍然有 y1 y2 = ?p2 成立,

综上所述:对于直线 l,都有 y1 y2 = ?p2 成立.
a2

+

y2

b2

= 1 a > b > 0 ,半焦距为 c,则 2a = 12, c 3 = , a 2 a = 6, c = 3 3,

解得

所以 b2 = a2 ? c 2 = 36 ? 27 = 9, 所求椭圆 G 的方程为 x 2 y2 + = 1. 36 9

43. (2) 点 Ak 的坐标为 ?k, 2 ,所以 1 1 S△A k F 1 F 2 = × F1 F2 × 2 = × 6 3 × 2 = 6 3. 2 2 43. (3) 若 k ≥ 0,由 62 + 02 + 12k ? 0 ? 21 = 15 + 12k > 0,可知点右端点 6,0 在圆 Ck 外; 若 k < 0,由 ?6 2 + 02 ? 12k ? 0 ? 21 = 15 ? 12k > 0,可知点左端点 ?6,0 在圆 Ck 外, 所以不论 k 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G. π 44. (1) ① 当 α = 0 或 2 时,方程表示两条平行直线 y = ±1 或 x = ±1; ②当0<α< ③当α=
π 4 π π 4 π 4 π 2

时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆;

时,方程表示圆; 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆;

④当 <α<

⑤当 2 < α < π 时,方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.

b

45. (1) 依题意

a

= 2, ? 5b 2 = 1,
y2 4 16

9

解得 = 1.

5a 2

a = 1, b = 2.

所以双曲线的方程为 x 2 ?

45. (2) 证法一:由(1)得,F1 ? 5, 0 ,F2 5, 0 , 从而以 F1 F2 为直径的圆的方程是 x 2 + y 2 = 5. 因为点 A
3 5 4 5 5

,

故点 A 在以 F1 F2 为直径的圆上,所以 AF1 ⊥ AF2 . 证法二:由(1)得,F1 ? 5, 0 ,F2 5, 0 , 从而 AF1 = ?
8 5 5

5

的坐标满足方程 x 2 + y 2 = 5,

,?
16 5

4 5 5

,AF2 =
5

2 5 5

,?

4 5 5



因为 AF1 ? AF2 = ?

+

16

= 0,

所以 AF1 ⊥ AF2 ,即 AF1 ⊥ AF2 . 46. (1) 原方程可化为 即 即方程表示的图形是两条线段. 47. (1) 由题意得 PF2 = F1 F2 ,即 所以
b4 a2 b2 a

1?y=1? x , 1? x ≥ 0, y= x, x ≤ 1, = 2c,

= 4c 2 .又 c 2 = a2 + b2 , b4 b2 ? 4 ? ? 4 = 0. a4 a2

所以 4a4 + 4a2 b2 ? b4 = 0,即
b2

令 a 2 = t,则 t 2 ? 4t ? 4 = 0.

得 t1 = 2 + 2 2,t 2 = 2 ? 2 2(舍).所以 b = 2 2 + 2, a 所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 2 + 2 2x. 48. (1) 两曲线的交点坐标 x, y 满足方程组 x 2 sinθ + y 2 cosθ = 1, x 2 cosθ ? y 2 sinθ = 1, 即 x 2 = sinθ + cosθ, y 2 = cosθ ? sinθ. 2 2 有 4 个不同交点等价于 x > 0 且 y > 0,即 sinθ + cosθ > 0, cosθ ? sinθ > 0. π π 又因为 0 < θ < ,所以得 θ 的取值范围为 0, .
2 4

48. (2) 由(1)的推理知 4 个交点的坐标 x, y 满足方程 x 2 + y 2 = 2cosθ 0 < θ < 即得 4 个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径为 r = 2cosθ 0 < θ < 因为 cosθ 在 0, 4 上是减函数, 所以由 cos0 = 1,cos 4 =
π 2 2 π
4

π 4



π 4



,知 r 的取值范围是

2, 2 .

49. (1) 如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则 CD ⊥ y 轴.因为双曲线经过点 C, D,且以 A, B 为焦点,由双曲线的对称性知 C, D 关于 y 轴对称.

依题意,记 A ?c, 0 ,C
1

c 2

, h ,E x0 , y0 ,

其中 c = 2 AB 为双曲线的半焦距,h 是梯形的高.由 AE = λEC,即 c x0 + c, y0 = λ ? x0 , h ? y0 . 2 得 λ?2 c λh x0 = , y0 = , 2 1+λ 1+λ 设双曲线的方程为
x2

由点 C, E 在双曲线上,将点 C, E 的坐标和 e = 代入双曲线的方程得
a

a2

?

y2

b2

= 1,则离心率 e = .
a c

c

e2 h 2 ? = 1, 4 b2 e2 λ ? 2 2 λ ? 4 λ+1 λ+1 由①式得

??? ? ①
2

h2 = 1. ??? ? ② b2

将③式代入②式,整理得

h 2 e2 = ? 1?? ? ? ③ b2 4 e2 4 ? 4 λ = 1 + 2 λ, 4 λ=1? e2 3 . +2


2 3

由题设 3 ≤ λ ≤ 4 得 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 50. (1) 因为 a =
c 6 3

2 3 3 ≤1? 2 ≤ , 3 e +2 4 7 ≤ e ≤ 10. 7, 10 .

,且 c = 2,

所以 a = 3,b = a2 ? c 2 = 1,

所以椭圆 C 的方程为

x2 3

+ y 2 = 1. y = t,
x2 3

50. (2) 由题意知 P 0, t ?1 < t < 1 ,由 所以圆 P 的半径为 3 1 ? t 2 . 当圆 P 与 x 轴相切时, t = 所以点 P 的坐标是 0, ±
3 2

+ y 2 = 1,

得 x = ± 3 1 ? t2 .
3 2

3 1 ? t 2 ,解得 t = ±



. x2 + y ? t
2

50. (3) 由(2)知,圆 P 的方程为 因为点 Q x, y 在圆 P 上,所以 y=t± 设 t = cosθ,θ ∈ 0, π ,则
π 1

= 3 1 ? t2 .

3 1 ? t2 ? x2 ≤ t + 3 1 ? t2 . π . 6

t + 3 1 ? t 2 = cosθ + 3sinθ = 2sin θ + 当 θ = 3 ,即 t = 2,且 x = 0 时,y 取最大值 2.

51. (1) 由椭圆的定义,2a = PF1 + PF2 = 2 + 2 + 2 ? 2 = 4,故 a = 2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1 ⊥ PF2 , 因此 2c = F1 F2 = PF1
2

+ PF2

2

=

2+ 2

2

+ 2? 2

2

= 2 3.

即 c = 3,从而 b = a2 ? c 2 = 1, 故所求椭圆的标准方程为 51. (2) 连接 F1 Q.
x2 4

+ y 2 = 1.

如图,由椭圆的定义,得 PF1 + PF2 = 2a, QF1 + QF2 = 2a, 从而有 PF1 + PQ + F1 Q = 4a,因为 PF1 = PQ ,且 PF1 ⊥ PQ,所以 4a ? 2 2a, PF2 = 2 2a ? 2a,因为 △ PF1 F2 为直角三角形,所以 PF1 F1 F2
2 2

PF1 =
2

4a 2+ 2

=

,所以 4a ? 2 2a

2

+ 2 2a ? 2a

2

方法二: 求得 x0 = ± c a2 ? 2b 2 ,y0 = ± 从而 PF1
2 a b2 c

= 4c 2 ,所以 e = a = 6 ? 3.
x2 y2

c

+ PF2

=

0 2 2 2 如图,设点 P x0 , y0 在椭圆上,且 PF1 ⊥ PF2 ,则 a 0 2 + b 2 = 1,x 0 + y0 = c ,


2

由 PF1 = PQ > PF2 得 x0 > 0, =
a a 2 ?2b 2 c

+c

2

+ c 2 = 2 a2 ? b2 + 2a a2 ? 2b 2 = a + a2 ? 2b 2 .

b4

由椭圆的定义, PF1 + PF2 = 2a, QF1 + QF2 = 2a. 从而由 PF1 = PQ = PF2 + QF2 ,有 QF1 = 4a ? 2 PF1 , 又由 PF1 ⊥ PF2 , PF1 = PQ ,知 QF1 = 2 PF1 , 因此 2 + 2 PF1 = 4a,即 2 + 2 a + a2 ? 2b 2 = 4a, 于是 2 + 2 1 + 2e2 ? 1 = 4,

解得 e =

1 2

1+

4 2+ 2

?1

2

= 6 ? 3.


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