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数学:初高中知识衔接及高中数学学习方法(新高一暑假预习课程--数学必修1:集合与函数)-讲义

时间:2012-12-22

简单学习网课程讲义
学科:数学 专题:初高中知识衔接及高中数学学习方法 主讲教师:黎宁 北京陈经纶中学数学高级教师
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主要考点梳理
因式分解
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,初中已经 研究了因式分解的概念和几种因式分解的基本方法。这里主要是在初中教材已经介绍过基本 方法的基础上,重点补充十字相乘法。
1.因式分解的概念 把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解(或分解因式)。 因式分解时,应注意以下几点: (1)在指定的数集内进行因式分解,多项式一定要分解到不能分解为止,即因式的次数 最低。 (2)因式分解后,如果有相同的因式,应写成幂的形式,同时要把各个因式化简。 2.因式分解的基本方法
(1)提公因式法,即把各项的公因式提出来,如: ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) 。

(2)运用公式法,即逆用乘法公式。 乘法公式:

a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b); a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 ; a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ab ? b2 ); a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3; a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? (a ? b ? c)2 .

(3)分组分解法,即将多项式的项适当分组,提出各组的公因式或应用公式分解;下

一步能够再进行分解,这种方法才可行。

(4)求根法,如果 x1、x2 是 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根,则二次三项式

ax2 ? bx ? c ? a(x ? x1 )(x ? x2 ) 。
(5)十字相乘法

在分解时,把二次项、常数项分别分解成两个数的积,并使它们交叉相乘的积的和等于

一次项。

对于 mx2 ? px ? q 形式的多项式,如果 a ?b ? m , c ? d ? q 且 ad ? bc ? p ,则多项

式可因式分解为 (ax ? c)(bx ? d) 。即

ax
二次项

c
常数项

bx

d

adx ? bcx ? (ad ? bc)x 一次项

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一元二次方程
1.求根公式
对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,当 b2 ? 4ac ? 0 时,它的解为

?b ? x1,2 ?

b2 ? 4ac ,我们把这个公式叫做求根公式。 2a

2. 根的判别式

? ? b2 ? 4ac 叫做一元二次方程根的判别式。 当 ? ? 0 时,方程有两个不相等的实数根;当 ? ? 0 ,方程有两个相等的实数根;当 ? ? 0 时,方程没有实数根。

3.根与系数的关系

如果一元二次方程 ax2

?

bx

?

c

?

0(a

?

0)

的两根为

x1、x2 ,那么

x1

?

x2

?

?

b a



x1

x2

?

c ,这就是根与系数的关系,也称为韦达定理。 a

反过来,如果 x1、x2 满足 x1 ? x2 ? p ,x1 x2 ? q ,则 x1、x2 是一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0

的两个根.

条件:△≥0。

二次函数

二次函数是初中学过的内容,但它在高中学习中起到非常重要的作用,贯穿高中全部学 习过程。

(1)定义:一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a,b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次

函数. (2)抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. (3)求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法: y ? ax2 ? bx ? c ? a?? x ?

b

?2 ?

?

4ac

?

b2



? 2a ?

4a

∴顶点是(? b ,4ac ? b2 ),对称轴是直线 x ? ? b .

2a 4a

2a

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②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为
y ? a?x ? h?2 ? k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是直线 x ? h .
(4)直线与抛物线的交点

① y 轴与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 得交点为(0, c ). ②抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二

次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二

次方程的根的判别式判定:

有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交;

有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切;

没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离.。

二次函数的图像与性质如下表(x 为任意实数):

解析式

图像

对称轴 顶点坐标

最值

y ? ax2 ? bx ? c a?0

y

y≥ 4ac ? b2

O

x ? ? b (? b , 4ac ? b2 )

x

2a 2a 4a

4a 最小值

ymin

?

4ac ? b2 4a

y ? ax2 ? bx ? c a?0

y

y≤4ac ? b2

O

x ? ? b (? b , 4ac ? b2 )

x

2a 2a 4a

4a 最大值

4ac ? b2

ymax ?
15

4a

一元二次不等式解法
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数又有什么关系

10
y y ? x2 ? x ? 6
5

呢?

y

y

-20

-10

> > -3 -2 -1O 1 2 3 4

x10

20

先看一个实例:解不等式 x2 ? x ? 6 ? 0。

0

y

0

< -5

0

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-10
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-15

考虑二次函数 y ? x2 ? x ? 6 ,

解集为{x| x ? ?2 或 x ? 3} 上例表明,二次函数图像与 x 轴的交点的横坐标,既是对应的一元二次方程的解,也是对
应的一元二次不等式的解集端点。

它们之间的关系如下表 (a ? 0) :

? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图像

y

y>0

y>0

x1O y<0 x2x
?b 2a

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根
一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解
集 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集

x1

?

?b ? 2a

?



x2

?

?b ? 2a

?

x ? x1或x ? x2

x1 ? x ? x2

y

O ?b x 2a

x1

?

x2

?

?

b 2a

x?? b 2a
空集

y O?b x
2a
无解 全体实数
空集

以上说明解一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 时,可以通过求出对应
的方程的根,再根据图像(抛物线)的位置写出该不等式的解集。
对于二次项系数是负数(即 a ? 0)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,在求解。
也可以画出开口向下的抛物线,根据它的位置,写出它的解集。

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金题精讲
题一 题面:把下式因式分解
x2 ? y2 ? z2 ? 2 yz
题二 题面:把下式因式分解
x5 ? x3 ? x2 ?1

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题三 题面:把下式因式分解
(m ? n ? 1)2 ? n2 ? 2mn ? 2n

题四 题面:把下式因式分解
2x2 ? 2x ?1

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题五
题面:把多项式 3x2 ?11x ?10 分解因式。
题六
题面:把多项式 5x2 ? 6xy ? 8y2 分解因式。

题七
题面:已知二次方程 x2 ? 3x ?1 ? 0 的两根分别为?、? ,求:
(1) 1 ? 1 ;(2)| ? ? ? | ;(3)? 3 ? ? 3 . ??

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讲义参考答案
金题精讲
题一
答案: (x ? y ? z)(x ? y ? z)

题二
答案: (x2 ?1)(x ?1)(x2 ? x ?1) (化成次数最低)法二: x5 ? x3 ? x2 ?1

题三
答案: (m ?1)2

题四

答案 2x2 ? 2x ?1 ? 2(x ? 1? 3 )(x ? 1? 3 )

2

2

题五
答案:原式= (x ? 2)(3x ? 5) .

题六
答案:原式= (x ? 2y)(5x ? 4y) .
题七 答案:
解:由韦达定理知:? ? ? ? 3,?? ? 1. (1) 1 ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 3;
? ? ?? 1 (2)| ? ? ? |? (? ? ? )2 ? 4?? ? 32 ? 4 ? 5 ; (3)? 3 ? ? 3 ? (? ? ? )(? 2 ? ?? ? ? 2 )

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