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高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2类比推理学案2无答案新人教A版选修2_2

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类比推理 学习目标:1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性, 2.掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理. 学习重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 学习难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程: 一、课前准备: (2n ? 1) 1. 练习: ① 对于任意正整数 n ,猜想 与 (n ? 1) 2 的大小关系? 答: . ②在平面内,若 a ? c, b ? c ,则 a // b . 类比到空间,你会得到什么结论? 答: 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗? 答: 3.有什么能使结论正确的推理形式呢?思考下面的推理: ① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的大行星,因 此 ; ③ 奇数都不能被 2 整除,2011 是奇数,所以 . 4. 上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?是什么推理? 答: . . . 二、讲授新课: (一)新知 1.演绎推理的定义:根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊命题为真的推理叫演绎推 理. 2.演绎推理的特征:由一般到特殊的推理. 3.演绎推理规则: (1)三段论推理包括:①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理对特殊情况做出判断. (2)三段论可以表示为 大前提:M 是 P. 小前提:S 是 M. 结 论:S 是 P (二)典型例题: 【例 1】用三段论的形式写出下列演绎推理 (1) 菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直; (2) 若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角; (3) 0.33 2 是有理数; (4) y ? sin x( x ? R) 是周期函数. 【解析】 1 ? 动动手:设 k 为实数,求证:方程 x2 ? kx ? (k ?1) ? 0 一定有实根. 【证明】因为方程 x2 ? kx ? (k ?1) ? 0 的判别式 ? ? k 2 ? 4(k ?1) ? (k ?1)2 ? 0 , 所以方程一定有实数根. 上面的证明过程中, 大前提是: 小前提是: 结论是: 【例 2】已知 a 、 b 、 m 均为正实数, b ? a ,求证: 【证明】 b ? b?m . a a?m 动动手:指出下列运算的大前提、小前提和结论: 已知 lg 2 ? m ,求 lg 0.8 的值. 【解析】 (1) lg a ? n lg a(a ? 0) , n ( ( ) ) lg8 ? lg 2 , 3 2 所以 lg8 ? 3lg 2 . (2) lg ( ( ( ( ) ) ) ) b ? lg b ? lg a(a ? 0, b ? 0) , a lg 0.8 ? lg 8 , 10 所以 lg 0.8 ? lg8 ? lg10 ? 3lg 2 ?1 ? 3 m ?1 三、总结提升 1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) ,按照严格的逻 辑法则得到新结论的推理过程. 演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结 论完全蕴涵于前提之中; (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正 确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具; (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少创造性,但却具有条例清晰、令人信服的 论证作用,有助于科学的理论化和系统化. 2.合情推理与演绎推理的区别 合情推理 演绎推理 归纳推理 推理 形式 区别 推理结 论 结论不一定正确,有待进一步证明 由部分到整体、个 别到一般的推理 演绎推理 由特殊到特殊 的推理 由一般到特殊的 推理 在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下,得到的 结论一定正确 联系 合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的 四、反馈练习 1.“所有 9 的倍数(M)都是 3 的倍数(P) ,某奇数(S)是 9 的倍数(M) ,故某奇数(S) 是 3 的倍数(P).”上述推理是 ( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 2.“? 四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提 ( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 3.“因对数函数 y ? log a x 是增函数(大前提) ,而 y ? log1 x 是对数函数(小前提) , 3 所以 y ? log1 x 是增函数(结论).”上面的推理的错误是( 3 ) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 4.补充下列推理的三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为 0, 3 又因为 a 与 b 互为相反数且 . 所以 b ? 8 . (2)因为 , 又因为 e ? 2.71828 ? 是无限不循环小数, 所以 e 是无理数. 5.将下列推理恢复成完全的三段论 (1)因为 ?ABC 三边长依次为 5,12,13,所以 ?ABC 为直角三角形; (2)函数 y ? x 2 ? x ? 1的图象是一条抛物线. 【解析】 6.用三段论证明通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d( a1 、d 为常数) 的数列 {an } 是等差数列. 【证明】 五、学后反思 演绎推理 教学过程: 一、课前准备: 1. 练习: ①答: (n ? 1)2 ? 2n ?1 ②答:在空间中,若 a ? c, b ? c ,则 a // b ;或在空间中,若 ? ? ? , ? ? ? ,

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