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《正弦函数,余弦函数的图像》教案

时间:2017-06-01


1.4.1《正弦函数,余弦函数的图像》的教案
鸡东县第二中学 一、 教学目标: 知识与技能:1.理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法; 2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数 过程与方法:学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程,理解并掌握用 正弦线作正弦函数图象的方法, 通过观察发现确定函数图象 形状的关键点.从一般到殊、从特殊到一般。 情感态度与价值观:体会数形结合、化归转化的数学思想。 教学重点:正弦函数、余弦函数的“五点作图法”; 教学难点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 教学方法:讲授、启发、探究发现教学. 二、 教学过程: (一)复习引入: 1 复习以前学过的函数图象的作法——描点法, 2 复习正弦线、 余弦线: 设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x, y), 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则有
sin ? ? y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

陈会平

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. (二)讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) : 为了作三角函数的图象, 三角函数的自变量要用弧度制来度量, 使自变量与

函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同, 否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆, 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2 π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实 数的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0, , , ,?,2π 的正弦线正弦 线(等价于“列表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点 与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 (等价 于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦 函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象.
? 6
? 3 ? 2

根据终边相同的同名三角函数值相等, 把上述图象沿着 x 轴向右和向左 连续地平行移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动, 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点

x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. (2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形 变换得到余弦函数的图象? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ? ) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移
2

?

? 2

单位即得余弦函数 y=cosx 的”
y 1 -4?

y=sinx
o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

正 弦 函

-6?

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-1 y 1

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

-6?

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-1

数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲 线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中, 五个关键点是: (0,0) ( ? ,1)
2

(?,0) ( 3? ,-1) (2?,0)
2

余弦函数 y=cosx (?,-1) ( 3? ,0) (2?,1)
2

x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) ( ? ,0)
2

只要这五个点描出后, 图象的形状就基本确定了. 因此在精确度不太高 时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例:

例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx

探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、 翻转等)来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 例 2:画出函数 y= -cosx,x?[0, 2p]的简图.(师生共同完成) 让学生通过以有的知识画出 y=cosx 的图象, 然后引导他们发现图象的实 质. 学生自主探究——余弦函数图象上的五个关键点,指出余弦函数同样可 以采用五点法作图; 设计意图:师生共同完成例题,巩固“五点法”。过程如下: 解: (1)按五个关键点列表,描点并将它们用光滑的曲线连接起来: (2)按五个关键点列表, 描点并将它们用光滑的曲线连接起来: 思考:能否从函数图象变换的角度出发,利用 y=sinx,x∈[0,2π ]的图 象来得到 y=1+sinx,x∈[0,2π ]的图象?同样的,能否从函数 y=cosx , x∈[0,2π ]的图象得到函数 y=-cosx,x∈[0,2π ]的图象? 设计意图:使学生从图象变换的角度认识函数之间的关系 归纳总结——图象的平移问题. 六、巩固与练习 (1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π ]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π ]的简图

七、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 八、作业: 课本 32页 练习 2 、3

预习:正弦、余弦函数的性质


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