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最有用的导数的概念课件_图文

时间:2017-12-14

1.1变化率与导数

学习目标

1 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念 2 了解导数概念的形成,理解导数的 内涵 3 通过运动员高台跳水问题的探究体 会逼近、类比的数学思想方法

一.温故知新 1、平均变化率
一般地,函数 f ( x)在区间上

[ x1 , x2 ]的平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ?x 2+?x ?-f ?x 2 ? = x2 ? x1 ?x

二、问题情境 引入新课
在跳水运动中,运动员相对于水面高度h(单位:m)与起跳后的 h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10(如图) 时间t(单位:s)存在函数关系:
65 计算运动员在0≤t≤ 49

这段时间 0m/s ,思考 里的平均速度:v=______ 下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题?

答: (1)不是。先上升,后下降。

(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映某一刻的运动状态。

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在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 h

求t=2时的瞬时速度?
我们先考察t=2附近的情况。 任取一个时刻2+△t,△t是时 o 间改变量, △t可以是正值,也可以是负 △t<0时 值,但不为0. 2+△t 当△t<0时,在2之前; 当△t>0时,在2之后。
2

t △t>0时 2+△t

计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049
△t = 0.00001,

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

实例探究,形成概念

当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 ? 13.1".
当t=t0时的极限又如 何表示呢?

h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t 表示" h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y ? | x ? x0, 即 f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
?x ? 0

温馨提示

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) . ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

学以致用

例题1

(1)以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物 体, 1 2 t秒时的高度为s(t ) ? v0t ? gt ,求物体在时刻t0处 2 的瞬时速度. (2)求函数y=2x2+1在 x0到 x0 ? ?x 之间的平均 变化率,并求其在 x ? x0 处的导数. ' ' ' f (2) (3)求函数f(x)=x2+1, , , f ( ? 1 ) f ( x)

求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 );

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

一差、二比、三极限

练一练
1 (1) 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x 1 (2) 求函数 y ? x ? 在 x=2 处的导数.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

x

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

1 ∴f′(1)=- 2=-1 1

练一练
1 1 ? ?x (2)解:?y ? (2 ? ?x) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x)
? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x )

?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

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课堂小结:
1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? . (3)求极限 lim ?t lim ?t
?x ?0 ?x ?0

?s v? ; ?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2) 求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y ?x

?x

布置作业 留有余味

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