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1994至2003年10年全国高中数学联赛试题及详细解析

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1994 年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2<c (D) a2+b2>c 2、给出下列两个命题:⑴ 设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0;⑵设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是 (A)命题⑴正确,命题⑵也正确 (B)命题⑴正确,命题⑵错误 (C)命题⑴错误,命题⑵也错误 (D)命题⑴错误,命题⑵正确 1 3、 已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n?1), 且 a1=9, 其前 n 项之和为 Sn, 则满足不等式|Sn-n-6|<125 的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 π log sina log cosa log cosa 4、已知 0<b<1,0<a<4,则下列三数:x=(sina) b ,y=(cosa) b ,z=(sina) b (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 n-2 n-1 n-2 n-1 π (A)( n π,π) (B)( n π,π) (C)(0,2) (D)( n π, n π) |x+y| |x-y| 6、在平面直角坐标系中,方程 2a + 2b =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(?-1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是 . 3 ?x +sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[-4,4],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = . ? 4y +sinycosy+a=0 5 5 3.已知点集 A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2?(2)2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>(2)2},则点集 A∩B 中的 整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 θ 4.设 0<θ<π, ,则 sin2(1+cosθ)的最大值是 . . 5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α,则 sinα= . 6.已知 95 个数 a1,a2,a3,?,a95, 每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们的两两之 积的和 a1a2+a1a3+?+a94a95 的最小正值是 . -1- 1 第二试 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z1-4z2=16+20i,设这 个方程的两个根 α、β,满足|α-β|=2 7,求|m|的最大值和最小值. 二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第 1000 项。 2 三、(本题满分 35 分) 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I, ∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R. E A O I B C

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