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【课堂新坐标】高中数学北师大版选修4-4练习:2.2.2-3-4参数方程(含答案解析)

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学业分层测评(七) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、选择题 ? ?x=2cos θ, 1.直线:x+y=1 与曲线? (θ 为参数)的公共点有( ?y=2sin θ ? ) A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 ?x+y=1, ? 【解析】 曲线即 x2+y2=4,由? 2 2 得 2x2-2x-3=0.这里 Δ>0,故有 2 个 ?x +y =4, ? 公共点. 【答案】 C ? ?x=3cos θ, 2.椭圆? 的长轴长和短轴长分别为( ?y=2sin θ ? ) A.3 2 C.3 4 B.6 2 D.6 4 【解析】 由方程可知 a=3,b=2,∴2a=6,2b=4. 【答案】 D ?x=2cos φ, ? 3.直线 3x-4y-9=0 与圆? (φ 为参数)的位置关系是( ?y=2sin φ ? ) 【导学号:12990026】 A.相切 C.直线过圆心 B.相离 D.相交但不过圆心 ? ?x=2cos φ, 【解析】 圆? (φ 为参数)的普通方程为 x2+y2=4,则圆心(0,0)到直线 3x ?y=2sin φ ? |3× 0-4× 0-9| 9 -4y-9=0 的距离 d= = <2, 2 5 3 +42 又 3× 0-4× 0-9=-9≠0,故选 D. 【答案】 D 4.x,y∈R 且满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是( A. 5 C.9 B.10 D.5+2 5 ) ?x=1+ 5cos α, 【解析】 设? (α 为参数), ?y=-2+ 5sin α 则 x-2y=1+ 5cos α+4-2 5sin α=5sin(α-φ)+5,故(x-2y)max=10. 【答案】 B ? ?x= 3 , 5.下列双曲线中, 与双曲线? cos φ (φ 为参数)的离心率和渐近线都相同的是( ? ?y=tan φ y2 x2 A. - =1 3 9 y2 C. -x2=1 3 y2 x2 B. - =-1 3 9 y2 D. -x2=-1 3 ) ? ?x= 3 , x2 【解析】 将双曲线? cos φ (α 为参数)化为普通方程为 -y2=1, 其渐近线方程 3 ? ?y=tan φ 3 2 3 为 y=± x,离心率为 e= ,经验证知 B 正确. 3 3 【答案】 B 二、填空题 6.圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,那么它的参数方程为________. 【解析】 把 ρ=4cos θ 化为 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=2. ?x=2+2cos θ, ? 这里圆心为(2,0),半径为 2,所以它的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=2sin θ ? ?x=2+2cos θ, 【答案】 ? (θ 为参数) ?y=2sin θ ? ? ? ?x=2+t, ?x=3cos α, 7. 直 线 ? (t 为 参 数 ) 与 曲 线 ? (α 为 任 意 实 数 ) 的 交 点 个 数 为 ?y=-1-t ?y=3sin α ? ? ________. 【解析】 消参后, 直线为 x+y=1, 曲线为圆 x2+y2=9, 圆心(0,0)到直线的距离为 小于半径 3,所以直线与圆相交,因此,交点个数为 2. 【答案】 2 ?x=2cos φ, ? 8.对于任意实数,直线 y=x+b 与椭圆? (0≤φ<2π)恒有公共点,则 b 的取 ? ?y=4sin φ 2 , 2 值范围是________. ? ?x=2cos φ, x2 y2 【解析】 椭圆? 可化为 + =1. 4 16 ?y=4sin φ ? 把 y=x+b 代入得, 5x2+2bx+b2-16=0, Δ=4b2-20(b2-16)≥0, 解得-2 5≤b≤2 5. 【答案】 -2 5,2 5] 三、解答题 9.已知点 M(x,y)是圆 x2+y2+2x=0 上的动点,若 4x+3y-a≤0 恒成立,求实数 a 的取 值范围. 【解】 依题意,a≥(4x+3y)max 即可. 由于圆的标准方程为(x+1)2+y2=1, ? ?x=-1+cos θ, 参数方程为? (θ∈R). ? ?y=sin θ 于是点 M 的坐标为(-1+cos θ,sin θ), ∴4x+3y=-4+4cos θ+3sin θ=-4+5sin(θ+φ). 4 其中,tan φ= ,角 φ 的终边过点(3,4), 3 3 4 于是当 sin θ= ,cos θ= 时,(4x+3y)max=1. 5 5 1 3? 此时,点 M 的坐标为? ?-5,5?. 所以实数 a 的取值范围是 1,+∞). x2 y2 10.如图 227, 求椭圆 + =1 的内接矩形中, 面积最大的矩形的长和宽及其最大面积. 9 4 图 227 ? ?x=3cos φ, x2 y2 【解】 已知椭圆 + =1 的参数方程为? (φ 为参数), 9 4 ?y=2sin φ ? 设 P(x,y)是椭圆上在第一象限内的一点, 则 P 点的坐标是 P(3cos φ,2sin φ), 内接矩形面积为 S=4xy=4× 3cos φ· 2sin φ=12sin 2φ. 当 sin 2φ=1,即 φ=45° 时,面积 S 有最大值 12, 这时 x=3cos 45° = 3 2 ,y=2sin 45° = 2. 2 故面积最大的内接矩形的长为 3 2,宽为 2 2,最大面积为 12. 能力提升] 1.设 P(x,y)为椭圆(x-1)2+ A.?1- 2y =1 上的一点,则 x+y 的取值范围是( 3 2 ) ? 10 10? ,1+ 2 2 ? B.R C.? 10 10 ? ? 2 -1, 2 +1? D.?-1- ? 6 6? ,1+ 2 2? x=1+cos α, ? ? 【解析】 设? 6 ? ?y= 2 sin α, 则 x+y=1+cos α+ ∴1- 6 10

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