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人教A版高中数学选修1-1课件《3.4生活中的优化问题举例》_图文

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高中数学课件
灿若寒星整理制作

4.4

生活中的优化问题举例

【课标要求】 1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决实际问题.

3. 提高学生综合运用导数知识解题的能力, 培养化归转化的意 识. 【核心扫描】 利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.(重点)

自学导引 1.优化问题 生活中经常遇到求 利润最大用料最省效率最高 、 、 题,这些问题通常称为优化问题. 2.用导数解决优化问题的基本思路 等问

想一想:设两正数之和为常数 c,能否借助导数求两数之积的 a+b 最大值,并由此证明不等式 2 ≥ ab(a,b>0)? 提示 设一个正数为 x,则另一个正数为 c-x,两数之积为 f(x)=x(c-x)=cx-x2(0<x<c),f′(x)=c-2x. c 令 f′(x)=0,即 c-2x=0,得 x= . 2
? c ? c2 c 故当 x=2时,f(x)有最大值 f?2?= 4 ,即两个正数的积不大于这 ? ?

1 两个正数和的平方的 . 若设这两个正数分别为 a , b ,则有 4 (a+b)2 a+b ≥ab(a>0,b>0),即 2 ≥ ab(a,b>0),当且仅当 a 4 =b 时等号成立.

名师点睛 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 第一步:建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系式 y=f(x); 第二步:求函数的导数 f′(x),令 f′(x)=0,求出极值点; 第三步: 比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小, 确定其 最大值或最小值.

2.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题中的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意 义,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x) =0 的情形,如果函数在这点处有极大(小)值,那么不与端点值 比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系式表示, 还应确定出函数关系式中自变量的取值范围.

题型一

用料、费用最省问题

【例 1】 如图, 某工厂拟建一座平面图为矩形, 且面积为 200 m2 的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m, 如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造单价 为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略 不计,且池无盖).

(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式, 并指出其 定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低? 并求出最低总造价. [思路探索] 分析题意 → 写出函数关系式 → 写出定义域 → 对函数关系式求导 → 讨论单调性 → 求最值

200 解 (1)设长为 x m,则宽为 x m. 0<x≤16, ? ? 25 据题意? 200 解得 ≤x≤16, 2 0< x ≤16, ? ?
? 200? 400 ? ? y= 2x+2·x ×400+ x ×248+16 ? ?

000

?25 ? 259 200 =800x+ x +16 000? 2 ≤x≤16?. ? ?

259 200 (2)y′=800- =0,解得 x=18. x2 当 x∈(0,18)时,函数 y 为减函数; 当 x∈(18,+∞)时,函数 y 为增函数. 又∵ 25 ≤x≤16,∴当 x=16 时,ymin=45 000. 2

∴当且仅当长为 16 m、 宽为 12.5 m 时, 总造价 y 最低为 45 000 元. 规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一, 解决这类

问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象, 正确书写函 数表达式,准确求导,结合实际作答.

【变式 1】 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立 方成正比.已知速度为每小时 10 海里时,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元, 问轮船的速度 是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小?

解 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元,那么由题 设的比例关系得 p=k· v3, 其中 k 为比例系数, 它可以由 v=10, 6 p=6 求得,即 k=103=0.006,于是有 p=0.006v3. 又设当船的速度为每小时 v 海里时,行 1 海里所需的总费用为 q 元,那么每小时所需的总费用是 0.006v3+96(元),而行 1 海 1 1 里所需时间为v小时, 所以, 行 1 海里的总费用为: q=v(0.006v3 96 +96)=0.006v + v .
2

96 0.012 3 q′=0.012v- 2 = 2 (v -8 000), v v 令 q′=0,解得 v=20.∵当 v<20 时,q′<0; 当 v>20 时,q′>0,∴当 v=20 时取得最小值,即速度为 20 海 里/小时时,航行 1 海里所需费用总和最小.

题型二

面积、容积的最值问题

【例 2】 如图,要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积 之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告 面积最小? [思路探索] 解答本题可先设出未知量,根据已知条件寻求未知 量间的关系,写出面积函数,进而用导数法求函数的最值以及 取最值时变量的取值.

解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm, y-25 则每栏的高和宽分别为 x-20, 2 ,其中 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18 000, 18 000 由此得 y= +25. x-20 广告的面积
?18 000 ? 18 000x ? S=xy=x? x-20 +25? ?= x-20 +25x, ? ?

18 000[(x-20)-x] -360 000 ∴S′= +25= 2 2+25. (x-20) (x-20) 令 S′>0 得 x>140,令 S′<0 得 20<x<140.

∴函数在(140, +∞)上单调递增, 在(20, 140)上单调递减, ∴S(x) 的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175.即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24 500,故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的 面积最小.

规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量, 将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利 用导数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 ①找关系:分析实际问题中各量之间的关系;②列模型:列出 实际问题的数学模型;③写关系:写出实际问题中变量之间的 函数关系 y=f(x); ④求导: 求函数的导数 f′(x), 解方程 f′(x)=0; ⑤比较:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的数值的大 小,最大(小)者为最大(小)值;⑥结论:根据比较值写出答案.

【变式 2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解 如图,设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 S=2π Rh

+2π R2, V 由 V=π R h,得 h= 2, πR
2

V 2V 2 2 则 S(R)=2π R + 2 π R , 2+2π R = R πR 2V 令 S′(R)=- 2 +4π R=0,解得 R= R 3 V , 2π

V 从而 h= = π R2

3 4V 3 V = =2 ,即 h=2R. π 2π ?3 ?2 V ? π ? ? 2π ? V

因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值. 所以,当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.

题型三

成本最省、利润最大问题

【例 3】 (12 分)甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶 到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v 千米/时的平方成正比,比例系数为 b(b>0);固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出 这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

审题指导

[ 规范解答] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间 s 为v,全程运输成本为
?a ? s s ? ? 2 + b v y=a· + b v · = s ?v ?,(2 分) v v ? ?

∴所求函数及其定义域为

?a ? ? y=s?v+bv? ?,v∈(0,c] ? ?

(4 分)

(2)由题意 s、a、b、v 均为正数.
? a? ? y′=s?b-v2? ?=0 ? ?

得 v=

a b.但 v∈(0,c].

(6 分)

①若

a b≤c,则当 v=

a b时,全程运输成本 y 最小;(8 分)

②若

a b>c,则 v∈(0,c],

此时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减函数. 所以当 v=c 时,y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小, 当 当 a b≤c 时,行驶速度 v= a b>c 时,行驶速度 v=c. a b; (12 分) (10 分)

【题后反思】 正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是 解题的主要思路.另外需注意: ①合理选择变量,正确给出函数关系式. ②与实际问题相联系. ③必要时注意分类讨论思想的应用.

【变式 3】 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C 1 =100+4q, 价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p=25-8q.求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 解 收入 利润
? 1 ? 1 2 ? ? R=q· p=q 25-8q =25q-8q , ? ?

? 1 2? L=R-C=?25q-8q ?-(100+4q) ? ?

1 2 =-8q +21q-100(0<q<200), 1 L′=-4q+21,

1 令 L′=0,即-4q+21=0,求得唯一的极值点 q=84. 所以产量为 84 时,利润 L 最大. 方法技巧 转化与化归思想在生活优化问题中的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题,通过认真阅 读理解关于实际问题的材料,建立相关数学模型,转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题.其解决问题的过程就 体现了转化与化归的思想,基本思路如图:

【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销,在一年内,预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函 3x+1 数关系为 Q= (x≥0),已知生产此产品的年固定投入为 3 x+1 万元, 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元. 若每件产品售价 为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数.如果年 广告费投入 100 万元,企业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?

[思路分析] (1)利用题中等量关系找出 y 与 x 的函数关系式, 将 x=100 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0; (2)求出(1)中函数关系式的导函数,再利用导数求最值. 解 (1)由题意,每年销售 Q 万件,共计成本为(32Q+3)万元.销售

收入是(32Q+3)· 150%+x· 50%,所以年利润 y=(年收入)-(年成本) 3 1 1 -(年广告费)= (32a+3)+ x-(32Q+3)-x= · (32Q+3-x)= 2 2 2
2 ? 3 x + 1 - x +98x+35 1? ? ? 32× +3-x?= (x≥0),所以所求的函数关系式 2? x + 1 2 ( x + 1 ) ? ?

-x2+98x+35 为 y= (x≥0).当 x=100 时,y<0,即当年广告费投入 2(x+1) 100 万元时,企业亏损.

-x2+98x+35 (2)由 y=f(x)= (x≥0)可得 2(x+1) (-2x+98)· 2(x+1)-2(-x2+98x+35) f′(x)= 4(x+1)2 -x2-2x+63 = 2(x+1)2 令 f′(x)=0,则 x2+2x-63=0. 所以 x=-9(舍去)或 x=7. 又 x∈(0,7)时,f′(x)>0; x∈(7,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)极大值=f(7)=42.

又因为在(0,+∞)上只有一个极值点, 所以 f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42. 故当年广告费投入 7 万元时,企业年利润最大. 方法点评 用导数解最值应用题,一般应分为五个步骤: (1)建立函数关系式 y=f(x);(2)求导函数 y′;(3)令 y′=0,求出 相应的 x0;(4)指出 x=x0 处是最值点的理由;(5)对题目所问作 出回答,求实际问题中的最值问题时,可以根据实际意义确定 取得最值时变量的取值.

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