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2012年高考数学按章节分类汇编(人教A必修二):第三、四章直线方程与圆的方程

时间:2014-10-18

2012 年高考数学按章节分类汇编(人教 A 必修二) 第三、四章直线方程与圆的方程
一、选择题 1 . (2012 年高考(陕西理) 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P (3, 0 ) 的直线,则 ( )
2 2



A. l 与 C 相交
2

B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能

. 2012 年 高 考 ( 天 津 理 ) 设 m , n ? R , 若 直 线 ( m ? 1) x + ( n ? 1) y ? 2 = 0 与 圆 ( )
( x ? 1) + (y ? 1) =1 相切,则 m + n 的取值范围是
2 2


3 ] ? [1 + 3 ,+ ? )



A. [1 ?

3 ,1 + 3 ]

B. ( ? ? ,1 ?

C. [2 ? 2 2 ,2 + 2 2 ]

D. ( ? ? ,2 ? 2 2 ] ? [2 + 2 2 ,+ ? )
2 2

3 . (2012 年高考(重庆文) 设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x ? y ? 1 的两个交点,则 | A B |? )

( A.1 B. 2
2



C. 3
2

D.2 )

4 . (2012 年高考(陕西文) 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P (3, 0 ) 的直线,则 ( )

A. l 与 C 相交

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D.以上三个选项均有可能

5 . 2012 年 高 考 ( 山 东 文 ) 圆 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 与 圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 的 位 置 关 系 为 ( )

( B.相交 C.外切 D.相离 2 2 6 . (2012 年高考(辽宁文) 将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是 ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
2 2

) )

A.内切



7 . (2012 年高考(湖北文) 过点 P (1,1) 的直线,将圆形区域 ? ( x , y ) | x ? y ? 4 ? 分两部分, )

使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0

( D. x ? 3 y ? 4 ? 0



8 . (2012 年高考(广东文) (解析几何)在平面直角坐标系 xO y 中,直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 )
x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 A B 的长等于
2 2

( D.1
2 2



A. 3 3

B. 2 3

C. 3

9 . (2012 年高考(福建文) 直线 x ? )

2 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A , B 两点,则弦 A B

的长度等于 A. 2 5 B. 2 3 . C. 3 D.1





10 . (2012 年高考(大纲文) 正方形 A B C D 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC )

上, A B ? B F ?

1 3

动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反 ( )

射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 A.8 B.6 C.4 D.3
2 2

11. (2012 年高考(安徽文) 若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取 )

值范围是 A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1, 3] C. [ ? 3,1]





D. ( ? ? , ? 3] ? [1, ? ? )
2 2

12 . (2012 年高考(重庆理) 对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定 )

是 A.相离 线过圆心
二、填空题

B.相切

C.相交但直线不过圆心

( ) D.相交且直

13. (2012 年高考(浙江文) 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l )

的距离,已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的 距离,则实数 a=_______.
14. (2012 年高考(天津文) 设 m , n ? R ,若直线 l : m x ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴 )

2

2

2

相交于 B ,且 l 与圆 x ? y ? 4 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点,则 ? A O B 面积的最
2 2

小值为_________.
15. (2012 年高考(上海文) 若 n ? ( 2 , 1) 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小为 )

__________(结果用反三角 函数值表示). 16. (2012 年高考(山东文) 如图,在平面直角坐标系 xO y 中,一单位圆的圆心的 ) 初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时, O P 的坐标为____.
17. (2012 年高考(江西文) 过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x ? y ? 1 的两 )
2 2

??? ?

条切线,若两条切线的夹角是 6 0 ? ,则点 P 的坐标是__________。
18. (2012 年高考(北京文) 直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得的弦长为_____________ )
2 2

19 . (2012 年高考 (天津理) 如图,已知 A B 和 A C 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 A C 的 )

延长线相交于 点 D ,过点 C 作 BD 的平行线与 圆相交于点 E ,与 AB 相 交于点
F , A F = 3 , F B =1 , E F =
3 2

,则线段 C D 的长为______________.

20 . (2012 年高考(浙江理) 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为 )

C A F E B

D

曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x
2

2

+(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.

2

21. (2012 年高考(江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 )
y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大

值是____.

考答案 一、选择题 1. 2.

解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ? 3 ? 0 ,所以点 P (3, 0 ) 在圆 C 内部,故选 A.
2 2

【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式, 一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. 【解析】 ∵直线 ( m ? 1) x + ( n ? 1) y ? 2 = 0 与圆 ( x ? 1) + (y ? 1) =1 相切,∴圆心 (1,1) 到直线
2 2

的距离为 d =
1 4

|( m ? 1) + ( n ? 1) ? 2| ( m ? 1) + ( n ? 1)
2 2

=1 ,所以 m n ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2

) ,设 t = m ? n ,
2


3.

t ? t +1 ,解得 t ? ( ?? ,2 ? 2 2 ] ? [2+2 2 ,+ ? ) .
2

【答案】:D 【解析】:直线 y ? x 过圆 x ? y ? 1 的圆心 C (0, 0 ) 则 | A B |? 2
2 2

【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题.
4. 5.

解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ? 3 ? 0 ,所以点 P (3, 0 ) 在圆 C 内部,故选 A.
2 2

解析:两圆心之间的距离为 d ?
r1 ? 2 , r2 ? 3 ,

?? 2 ? 2 ? 2

? ( 0 ? 1) ?
2

17 , 两 圆 的 半 径 分 别 为

则 r2 ? r1 ? 1 ? d ? r1 ? r2 ? 5 ,故两圆相交. 答案应选 B. 【答案】C 【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选 C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中. 7. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达
6.

到最小,所以需该直线与直线 O P 垂直即可.又已知点 P (1,1) ,则 k O P ? 1 ,故所求直线的斜 率为-1.又所求直线过点 P (1,1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ? x ? 1 ? ,即
x ? y ? 2 ? 0 .故选 A.

【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通 过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线 O P 垂直,利用这一条件求出斜率, 进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
8. 9.

解析:B.圆心到直线的距离为 d ? 【答案】B

5 3 ?4
2 2

? 1 ,所以弦 A B 的长等于 2 r ? d
2

2

?2 3 .

【解析】圆心 (0, 0 ) ,半径 r ? 2 ,弦长 | A B |? 2 2 ? (
2

| ?2 | 1 ?3
2

) ? 2 3
2

【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力. 10. 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通 过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次 数即可. 【解析】 解:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的 过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时, 需要碰撞 8 次即可.
11. 【解析】选 C 圆 ( x ? a ) ? y ? 2 的圆心 C ( a , 0 ) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的
2 2

距离为 d 则 d ?r ?
12.
2 ? a ?1 2 ? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

【答案】C 【解析】圆心 C ( 0 , 0 ) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?
1 1? k
2

?

1 1

?

2 ? r ,且圆心

C (0, 0 ) 不在该直线上.

法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆 的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用 d 与 r 的大小为判断.当 0 ? d ? r 时,直线与圆相交,当 d ? r 时,直线与圆相切,当 d ? r 时,直线与圆相离.
二、填空题 13. 【答案】
7 4

【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题,利用单数综合解决曲线到直线的距 离转为点到直线的距离. 【解析】C2:x +(y+4) =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d 故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? 另一方面:曲线 C1:y=x +a,令 y ? ?
1 ?( 1 4 2
2 2 2

?

0 ? (?4) 2

? 2 2

,

d ?r ? d ?

2 ?

2

.
2

2x ? 0

,得: x
1 ? a

?

1 2

,曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离的

点为( ,
2

1

1 4

? a) ?

? a

), d ? ?

2 ?

2

4 2

?

a ?

7 4

.

14. 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 A ( 0 ,

1 n

), B (

1 m

, 0 ) ,直线与圆相交所得的弦长为 2,

圆心到直线的距离 d 满足 d

2

? r

2

? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 d ?
2

3 ,即圆心到直线的距离

d ? m

?1
2

?
2

? n

3 , 所以 m

2

?n

2

?

1 3

. 三 角形 的面积 为 S ?

1 1 2 m

?

1 n

?

1 2 mn

,又

S ?

1 2 mn

? m
1 2

1
2

?n

2

? 3 ,当且仅当 m ? n ?

1 6
1 2

时取等号,所以最小值为 3 .

15.

[解析] k l ?

,所以 l 的倾斜角的大小为 arctan

.

16.答案: (2 ? sin 2,1 ? cos 2)

解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转

了 2 弧度,此时点 P 的坐标为
) ? 2 ? sin 2 , 2 ? y P ? 1 ? sin( 2 ? ) ? 1 ? cos 2 , . 2 OP ? ( 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 ) x P ? 2 ? cos( 2 ?

?

C D
3? 2

另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程 为?
? x ? 2 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

,且 ? PCD ? 2 , ? ?

?2,

3? ? ? x ? 2 ? cos( 2 ? 2 ) ? 2 ? sin 2 则点 P 的坐标为 ? ,即 OP ? ( 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 ) . 3? ? y ? 1 ? sin( ? 2 ) ? 1 ? cos 2 2 ?

17. 【答案】( 2 ,

2 )

【解析】本题主要考查数形结合的思想,设 p(x,y),则由已知可得 po(0 为原点)与切线的
?x ? ?x2 ? y2 ? 4 ? ? 夹角为 3 0 ,则|po|=2,由 ? 可得 ? ?x ? y ? 2 2 ?y ? ? ?
0

2 2

.

【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,直角三角形的性质,以及切线的性质,已知 切线往往连接圆心与切点,借助图形构造直角三角形解决问题,培养了学生数形结合的思 想,分析问题,解决问题的能力.
18. 【答案】 2 2

【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为
d ? 2 1 ? ( ? 1)
2 2

l 2

,圆心到直线的距离

?

2 , 以 及 圆 半 径 r ? 2 构 成 了 一 个 直 角 三 角 形 , 因 此

(

l 2

) ? r
2

2

?d

2

? 4 ?2 ? 2 ? l

2

?8 l?

? 2 .

2

【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆, 对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题.
19.

【答案】

4 3

【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定 理,相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵ A F = 3 , F B =1 , E F = ∵BD∥CE,∴
2

3

,由相交弦定理得 A F ? F B = E F ? F C ,所以 F C = 2 ,又
? FC = 8 3
2

AF AB

=

FC BD

, BD =

2 AB AF

4 3

?2=

8 3

,设 C D = x ,则 A D = 4 x ,再由切割线
4 3

定理得 B D = C D ? A D ,即 x ? 4 x = (
20.

) ,解得 x =

4 3

,故 C D =

.

【答案】

9 4

【解析】C2:x +(y+4) =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: d 故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? 另一方面:曲线 C1:y=x +a,令 y ? ?
1 ?( 1 4 2
2

2

2

?

0 ? (?4) 2

? 2 2

,

d ?r ? d ?

2 ?

2

.
2

2x ? 0

,得: x
1 ?a

?

1 2

,曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离的

点为( ,
2

1

1 4

? a) ?

? a

), d ? ?

2 ?

2

4 2

?

a ?

9 4

.

21. 【答案】

4 3

.

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 ( 4, 0 ) ,半径为 1.
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A ( x 0 , kx 0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆
C 有

公共点; ∴存在 x 0 ? R ,使得 A C ? 1 ? 1 成立,即 A C m in ? 2 . ∵ A C m in 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是
4 3

4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 3

.

.


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