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2018版高中数学人教B版必修二学案:1.2.1 平面的基本性质与推论

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1.2 点、线、面之间的位置关系 平面的基本性质与推论 1.2.1 [学习目标] 1.掌握平面的基本性质和三个推论,会用三种语言表述性质与推论.2.了解异面 直线的概念,能用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系. [知识链接] 1.在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、重合. 2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外. [预习导引] 1.平面的基本性质 (1)基本性质 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平 面内,这时我们说,直线在平面内或平面经过直线. (2)基本性质 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 也可简单说成,不共线的三点确定一个平面. (3)基本性质 3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公 共直线. 如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交.这条公共直线叫做两个平面的交线. 2.平面基本性质的推论 (1)推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. (2)推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. (3)推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 3.共面和异面直线 (1)共面:空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内,我们就说它们共面. (2)异面直线:既不相交又不平行的直线. 要点一 三种语言的转换 例 1 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面 α,β,γ 相交于一点 P,且平面 α 与平面 β 相交于 PA,平面 α 与平面 γ 相交于 PB,平面 β 与平面 γ 相交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 解 (1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示如图(1) (2)符号语言表示:平面 ABD∩平面 BDC=BD,平面 ABC∩平面 ADC=AC,图形表示如图 (2). 规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 跟踪演练 1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图 形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α. 解 (1)点 A 在平面 α 内,点 B 不在平面 α 内,如图(1). (2)直线 l 在平面 α 内,直线 m 与平面 α 相交于点 A,且点 A 不在直线 l 上,如图(2). (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q,如图(3). 要点二 点线共面问题 例 2 证明:两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内. 证明 方法一 (纳入法) ∵l1∩l2=A, ∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2?α, ∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内. 方法二 (同一法) ∵l1∩l2=A, ∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3=B, ∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2,l2?α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2?β,∴A∈β. 同理可证 B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内,又在平面 β 内

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