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高三数学一轮复习课件——立体几何

时间:2018-07-02


知识结构

? 二.空间两直线的位置关系 ? 三.直线和平面平行的判定和性质 ? ? 四.直线和平面垂直的判定和性质 ? 五.两个平面平行的判定和性质 ? 六.两个平面垂直的判定和性质 ? ?七.空间向量 ? ? ?
一.平面的基本性质

一、平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直
线上所有的点都在这个平面内.
A ?? , B ?? ? ? A ? l, B ? l ?

直线l ? ?

?

A

B

l
B1 A1
C A

作 用

用来判定一条直线是否在平面 内,或直线上的点是否在平面内。

C1 D1 E
B

练习1 正方体ABCD—A1B1C1D1, E是BB1上的点。画出平面AEC1 和平面ABCD的交线。 F

D

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共
点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
? ? ? ? P ? ? ? ? ? l且P ? l

作用 1、用来判定两平面是否相交; 2、画两个相交平面的交线; 即: ? A ? ? , A ? ? ? 直线AB为交线. ? ?B ?? , B ? ? 3、证明多点共线. 练习2: 已知ΔABC在平面α外, AB、AC、BC的延长线分别与平面 α交于点M、N、P三

?

?
B

P
A C N

l

点,求证:M、N、P三点共线。

? M

P

练习3:点A ? 平面BCD,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA上的点,若EH与FG交于点P,


(这样的四边形叫做空间四边形) 求证:B,D,P三点共线.

A E H D G B F C

P

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

A, B, C 三点不共线 ? A, B, C 三点确定一平面
1、确定平面 2、证明点、线共面。

B

? ?

A A

C L C

作 用

B

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
l1

l1

?

l2

?

l2

例2:已知三条直线l1 , l2 , l3 两两相交,且不过同
一点,求证:直线l1 , l2, l3 在同一平面内。
l3 B l2 A l1

α

C

例3:直线L与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于

A,B,C三点(A,B,C异于点P),求证:这四
条直线共面。
L

A

a1 B

a2
C a3

α

P

二、空间两直线的位置关系

? ? ? 相交 ? ? 异面
1、异面直线

平行

? 共面 ? (两直线只有一个公共点) ?
(两直线没有公共点) (两直线没有公共点)

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 (也就是既不相交又不平行的两条直线)

如图: 已知E,F分别是所在棱的中点
D1 A1 E D A D1 A1 D A O B E F B1 B C1 B1 C1 F C

AE和BF是异面直线吗?

AE和CF是异面直线吗?
C

2.异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面的特点
l2
l1

m

b

n

?

a

3.异面直线成的角:
如图所示, a、b 是两条异面直线,在空间中任选一点O, 过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′,则a′和 b′所成的锐 角θ, (或直角),称为异面直线a,b所成的角,也叫异 面直线a,b 的夹角。 b b′ a′ θ a O

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ 的取值范围: 0?, ?] ( 90

4.求异面直线所成的角:
求两条异面直线所成角的步骤:
1.选点,引平行线找到所求的角; 2.把该角放入三角形; 3.根据边角关系计算,求角.
在解答过程中要突出“做、 证、指、求”这几步。 C1 D1 E B F C A A1 D B1

例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 BB1,CC1的中点,求AE,BF所成的角

例2:
已知正方体的棱长为a , M 为 AB 的中点, N为 BB1的中点,求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。 解:如图,取A1B1的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE= 由余弦定理, cos∠EBG=2/5
5 6 a, F C1 = a 2 2

D1

C1 B1

A1

E

G
D N C

想一想: 还有其它定角的方法吗?
取EB1的中点F,连NF,有 BE∥NF 则∠FNC1为所求角。 A

M

B

例3.在空间四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA=AC=BD=a, M,N分别是BC,AD的中点,求 异面直线AM,CN所成角。
B M

A N D E C

例4.A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E,F分别是 AB,CD的中点。
2 (1)若EF= 2 AD,求异面直线AD和BC所成的角。 3 (2)若EF= AD,求异面直线AD和BC所成的角。 2 A

E B

G

D
F C

例5.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=1, AA1 =1,求异面直线D1B与AC所成角的余弦值.
D1 A1 C1 B1 C O B G

E D

A

探究:
G

C

A
A D B H F(B) G(C) F E D

H

E

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?

5.平行关系的传递性
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行

若a∥b,b∥c,

则a∥c

例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线 AB与 C1D1 ,AD1与 BC1 是什么位置关系?为什么?
D1
A1 B1

C1

D A B

C

例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证 EFGH是一个平行四边形。 A

解题思想:
把所要解的立体几何问题 转化为平面几何的问题是 解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。

H

E
D G

B

F

C

6.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。

右图平行六面体中与∠BAD相等 的角是哪些角,为什么? 与∠BAD互补的角是哪些,为什么? A

D1 A1 D B B1 C

C1

填空:
平行 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。 异面 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线,也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有______________。 相交、异面 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。

判断对错:
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。(? ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 (? )

3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。

( ?)

4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定 与另一条直线垂直。 (? )

思考题:
1、a与b是异面直线,且c∥a,则c与b一定( )。 (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是( )对。 (A)6 (B)3 (C)8 (D)12 3、一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定( ) 平面。 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个

D1 A1 D A B B1

C1 D1

C1 A1 C B A

B1

C

D

D1 A1 B1

C1

D
A B

C

三、直线和平面平行的判定和性质定理
1.直线和平面的位置关系有哪些?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(1)直线在平面内:

l ??
(2)直线与平面相交:

?
l

l

l ?? ? P
(3)直线与平面平行:

?

P

P

l

l‖ ?

?

2.直线和平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”)

a ??? ? b ? ? ? ? a‖ ? a‖ b ? ?
练习1 判断下列说法是否正确:

a
?

b

(1)若直线a与平面 ? 内的一条直线平行 ,则 a

(2)若直线 a//b , a//c ,且 b、c ? ? ,则 a‖ ? (3)若两条平行直线中的一条与 平面 ? 平行,则
另一条也与平面 ? 平行

与平面 ? 平行

例题.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,(1)若E、F
分别为A1D1、AB的中点,求证:EF//平面BB1D1D; (2)若G为DD1中点,试判断BD1与平面AGC位置关系.

A1

E

D1 B1 D

C1

D1

C1 B1 C
O

A1
G

O

C

D A

A

F

B

B

思考

证明直线与平面平行的方法是什么?

1.在平面内寻找一条直线 2.证明这条直线与已知直线平行.

3.直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行, 经过这条直线的平面与已知平面 相交,那么这条直线与交线平行.
(线面平行,线线平行)

?

a
b

?

? ? a?? ? ? a‖ b ? ? ? ? b? ?
练习: 如图, ? ? ? ? l , a‖? , a‖ ? .
求证 : a‖ l

a‖ ?

?

l

?

b ?

?

c

a

四.直线和平面垂直的判定和性质

1.直线和平面垂直的定义:
如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂 直,我们就说这条直线与这个平面相互垂直。

l

2.直线和平面垂直的判定定理:
如果一条直线与平面内的两条相交直线 都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

l
M

? ? ? b b ?? ? ? a?b ? M ?? l ?? ? l?a 线不在多,重在相交! ? l ?b ? ?

a ??

a

判 断 对 错

a ??? b ?? ? ? ?? l ?? l?a ? l ?b ? ?


?

l
a

b

3.直线和平面垂直的性质定理:
性质1 性质2 如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直 线垂直于平面的任意一条直线. 如果两条平行线中的一条与平面垂 直,那么另一条也与这个平面垂直.
a‖ b ? ??b ?? a ???
?

a

b

A

例1.空间四边形ABCD, AB ? AC,DB ? DC, 求证:BC ? AD.
常用方法 线线垂直— 线面垂直—线线垂直 D1 例2. 在正方体AC1中,取DD1 的中点E,AC和BD交于O点。 求证:OB1⊥面EAC A1 E B1
B D

E
C

C1

D
O A B

C

4.三垂线定理: 正射影
自一点P向平面 ? 引垂 线,垂足Q叫做点P在平 面 ? 上的正射影.(简称 射影)

P

?
F

Q

如果图形F上的所有点在一平 面内的射影构成图形F1,则F1叫 做图形F在这个平面内的射影.

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果它和 这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 .
PO ? ? , a ? ? ? ? ? a ? PA OA ? ? , a ? OA?

?

F1

P

a
?
O A

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和 这个平面的一条斜线垂直, 那么 它也和这条斜线的射影垂直 .

P

a
?
O A

PO ? ? , a ? ? ? ? ? a ? OA OA ? ? , a ? PA?
P
练 习 1.如图 ABCD 为矩形, PD ? 面ABCD 由三垂线定理可得到哪些线是垂直 的?
A
D

C
B

2.四面体ABCD中,AB ? DC AD ? BC,求证:AC ? BD

A

G

B
E O F

D

C 3.直角三角形ABC中,角C为直角, P AC=2,BC= ,PC 平面BCD, ? 2 3 PC=3。求点P到直线AB的距离。 C B D

A

五.两个平面平行的判定和性质
1.空间两个平面的位置关系

? ? ?两个平面相交

两个平面平行

?
?

?

?

2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面的两条相交直线都 与另一个平面平行,那么这两个 平面平行。

?
?

O

b

a

a ? ? ,b ? ? , a ? b ? O? ? ? ?‖ ? a‖ ? ,????b‖ ? ?

3. 两个平面平行的性质定理

?
?
?

1.如果两个平行平面和第三个 平面都相交,那么交线互相平 行

a
b

?‖ ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a‖ b ? ? ? ? b? ?
2.如果两个平面平行,那么其中 一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面。

?
?

a

?‖ ? ? ? ? a‖ ? a ???

六.两个平面垂直的判定和性质
1. 两个平面垂直的定义 (1) 二面角 平面内的一条直线把平面分为两部 分,其中的每一部分叫做半平面.从 一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.这条直线叫做二 面角的棱,每个半平面叫做二面角的 面. 如图,二面角及表示方法. C ?

?

l
A

?

?
D

B

?

l

?
A

B

二面角?-AB- ?

二面角? ? l ? ?

二面角C-AB- D

(2) 二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的大小用它的平面角来度量

注意:二面角的平面角必须满足:
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱 0 0 4)二面角的范围是 0 ? 180 平面角是直角的二面角叫做直二面角 (3) 两个平面垂直的定义:

?
?

l

如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就称这两个平 面互相垂直.

(4) 二面角的平面角的作法 1.利用定义. 3.作棱的垂面.

?
?

l

?
?
B

A A

2.利用三垂线定理及其逆定理.

O

l

? P
? A
10

?
B

A Bl

l

? P

练习:作出下列各图中的二面角的平面角:
D1 A1 D A B B1 O C B E D C1

A

A

F B
E
O
C
C D 四棱锥中 AD ? CE 二面角C--AD--E

二面角B—B1C—A

二面角A--BC--D

例1.如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影 是 底 面 Rt△ABC 斜 边 AC 的 中 点 O , 若 PB=AB=1 , BC= 2,求二面角P-AB-C的正切值。

解:取AB 的中点为E,连PE,OE



P

∴ OE⊥AB , 由三垂线定理知 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角

∵O为 AC 中点, ∠ABC=90? 1 ∴OE∥BC且 OE ? 2 BC


E

A
O

B

1 3 在Rt△PBE中,BE ? 2,PB=1,PE ? 2
1 2 ? ? 2 ,PO 2

在Rt△POE中, OE 2 tan?PEO ? ∴ 求 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为



C

P



2 2

E

O

2. 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直.

?

l
?

l ??? ??? ? ? l ? ??
3. 两个平面垂直的性质定理

?
如果两个平面垂直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面

??? ? ? ? ? ? m? ? ??l ?? l?? ?
l?m ? ?

l
?

m

七.空间向量.
1.空间向量及运算.
1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量. 2.空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的 有向线段表示同一个向量. 3.在空间,如果表示向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. 4.平行于同一个平面的向量叫做共面向量. ? ? ? ? ? ? 5.共线向量定理:对空间任意两个向量 a 和 b b ? 0 , a‖ b的 ? ? 充要条件是存在实数 ? ,使 a = ? b . ? 6.共面向量定理:如果两个向量 ? ? ? xa ? ? ? ? p a ? p 与向量 a 和 b 不共线, 则向量 ? ? ? yb b a, b共面的充要条件是存在实数 ? ? ? ?

?

?

? ? ? ? x, y ,使 p ? xa ? yb.

p ? xa ? yb

7. 空间一点P与不共线的三点A、B、C共面的充要条件是:
O
A B C

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 对任意一点O,有: OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1 )

8. 空间向量基本定理: ? ? ? 如果三个向量 a, b, c 不共线, ? ? 那么对空间任一向量 p ,存 在一个唯一的有序数 ? ? ? ? ? 组 x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc

P

?

? ?? ? ? ? a, b, c 叫空间向量的一个基底, a, b, c 都叫做基向量. ? ? p ? zc ? ? ? ? ? ? ? yb c ? p ? xa ? yb ? zc b ? ? xa a

?

? ? ? ? ? ? 9.空间向量的数量积 a? ? a b cos a, b b
性质
(1)

? ? ?? a ? b ? a? ? 0 b
?2 ? ? ? 2 a ? a ?a ? a

(2)

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? a b

(3)

(4)

? ? ? ? a? ? a ?b b

?? ? ??? ? ? ? ? 1.设 i, j , k 为两两垂直的单位向量,如果 OP ? ai ? b j ? ck , 则 ? a, b, c ? 叫做向量的坐标,也叫做点 P 的坐标. ? ? 2. 设a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? 则 ?2 ? 2 z a ? a ? x12 ? y12 ? z12 c ? ? P? a, b, c ? a ? ? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? b ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ?k ? ?? b y x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 i O j ab? ?? ? a a‖ b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 x ??? ? ? ? OP ? ? a, b, c ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? ? a ?b x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? ? cos a, b ? ? ? ? a b x12 ? y12 ? z12 x2 2 ? y2 2 ? z2 2

2.空间向量的坐标运算.

3.设A ? ? x1 , y1 , z1 ? , B ? ? x2 , y2 , z2 ?

??? ? 则 AB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ??? ? AB ? ? x ? x ?2 ? ? y ? y ?2 ? ? z ? z ?2 1 2 1 2 1 2

空间向量在解题中的作用 (1) 证明线线平行,线面平行,线线垂直,线面垂直. (2) 求线线角,线面角,面面角.

八.直线与平面成的角.
1.平面的斜线和平面成的角

O

cos ? ? cos ?1 cos ? 2
由此得 ? ? ?1

?

? ? 1 A

?2

B

C

平面的斜线和它在平面内的射影成的角,是这条斜线和这 个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角, 叫做斜线和平面所成的角. 如果直线和平面垂直那么就说直线和平面所成的角是直角. 如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角 是00的角.

练习:
1.直线AB与直二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面分别交于A、B 两点,且A,B ? l ,画出直线AB与 ? 和 ? 所成的角,并讨论

?1 ? ? 2 的取值范围.
2.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1的侧棱 与底面边长都相等, A在底面 ABC 1 内的射影为 △ ABC 的中心,则 AB1与 底面 ABC 所成角的正弦值等于( B )
1 A. 3

? A
D ?2
?1

C
B
C1

l

?
A1

B. 2 3

C.

3 3

D. 2 3

B1
A

O
B

C

九. 空间距离
1.点到平面的距离
当垂足不易确定时,常用等体 积法求点到平面的距离

P

?

O

2.点到直线的距离 3.异面直线间的距离


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【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件:8.6 立体几何中的向量方法(专题拔高配套PPT课件) - 8.6 立体几何中的向量方法 第八章 8.6 立体几何中的向量方法 ...