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第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题

时间:2012-12-12


第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一.课标要求: 1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式 解决,要加强等价转化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押轴 题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综 合运用数学知识解决问题的能力。 但圆锥曲线在新课标中化归到选 学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以 以下三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图 形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法 和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合 型较大, 解题中需要根据具体问题、 灵活运用解析几何、 平面几何、 函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析 几何与其他数学知识的联系。 预测 2013 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解 答题中间的小问。 三.要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这 是求曲线方程的基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是 定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的 关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法: 根据题中给定的轨迹条件, 用一个参数来分别动点的坐标, 间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参 数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线 中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何 知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、 设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用, 要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、 例 3. (1)设 AB 是过椭圆 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结 合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 四.典例解析 题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆
模型的解 翻译回去 讨论方程的解 实际问题 建立坐标系 转化成数学问题 数学模型方程

若 弦 AB 过 圆 锥 曲 线 的 焦 点 F , 则 可 用 焦 半 径 求 弦 长 , |AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系, 再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标 (x,y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定 点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本 上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、 探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行 轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合 理选择曲线模型, 然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析 与判断,解题的一般思想是:

x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆
的轨迹方程,并说

x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心 M
明它是什么样的曲线。

2 (2)双曲线 x ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点, 9

求 ?PF F2 的重心 M 的轨迹方程。 1 点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹 方程的方法。
2 例 2.设 P 为双曲线 x ? y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为 4

线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程是 题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题



点评: 利用中间变量法 (转移法) 是求轨迹问题的重要方法之一。

B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦, a 2 b2

-1-

椭圆的左焦点为 F1 ( ?c,0) ,则△F1AB 的面积最大为( A.



例 6. (1)椭圆 C:

bc

B.

ab

C.

ac

D.

b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2, a 2 b2
4 14 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3

x2 y2 (2)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左右焦点分 a b
别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且 | PF1 | ? 双曲线的离心率的最大值是( A. )

点 P 在椭圆 C 上,且 PF1 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

4| PF2 | ,则此
7 2

(Ⅱ 若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心, ) 交椭圆 C 于 A, B 两点, 且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

(2)已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0) 、 、 。 (Ⅰ )求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ )设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1 、
'

(3)已知 A(3,2) 、B(-4,0) 是椭圆 ,P 一点,则|PA|+|PB|的最大值为( A. 10 B. ) C.

x2 y2 ? ? 1上 25 9

10 ? 5

10 ? 5

D.

10 ? 2 5

F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。
五.思维总结 1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研 究的问题背景平面几何的一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、 简化解题过程 ① 方程思想,解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和 圆锥曲线, 因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进 行整体处理,就简化解题运算量。 函数思想,对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一 些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③ 掌握坐标法,坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法 的训练。 ④ 对称思想,由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件 相对集中,减少一些变量和未知量,简化计算,提高解题速度,促 成问题的解决。 ⑤ 参数思想, 参数思想是辩证思维在数学中的反映, 一旦引入参数, 用参数来划分运动变化状态,利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方 程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静止来控制 变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不

(2)点评:“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键,也

5a 2 ? a 成立的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的 是不等关系 3c
不等式,从而得出 e 的取值范围。

x2 2 例 4. (1)设 P 是椭圆 2 ? y ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q a
为椭圆上的一个动点,求

PQ 的最大值。

(2) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点,

? 1? 左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A ?1, ? . ? 2?
① 求该椭圆的标准方程; ② P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; 若 ③ 过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。 题型 3:证明问题和对称问题

x2 y2 例 5. (1)如图,椭圆 2 ? a b

=1(a>b>0)与过点 A(2,0)

求”的效果。 ⑥ 转化思想,解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联 系,直角坐标方程与参数方程,极坐标之间联系及转化,利用平移

B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e= 求椭圆方程;

3 . 2

(Ⅰ )

得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构 造思想也是不可缺少的思想方法,复习也应给予足够的重视。

(Ⅱ F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点, )设 求证:∠ ATM=∠ 1 T。 AF

-2-


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