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湖北省枣阳市鹿头中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

时间:2016-03-12


湖北省枣阳市鹿头中学 2015-2016 学年度下学期高二 年级数学(文科)期末考试试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知两点 M (2, ?3) 、 N (?3, ?2) ,直线 l 过点 P (1, 1) 且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 A. ?4 ? k ? C.

3 4

B. k ? D. ?

3 或 k ? ?4 4

3 ?k?4 4

3 ?k?4 4
2 2

2.若点 P(2,-1)为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0



3. 已知直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 25 交于 A 、 点 C 在圆 O 上, 且 S ?ABC ? 8 , B 两点, 则满足条件的点 C 的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO﹣A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为( )

A.

a

B.

a

C.a

D. a )

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是(

1

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 7.某工厂对一批新产品的长度(单位:mm )进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图, 据此估计这批产品的中位数为( )

(A) 20 (B) 25 (C) 22.5 (D) 22.75 8. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个大小相同的小正方体, 若将这些小正方体均 匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是 ( ) A.

1 12

B.

1 10

C.

3 25

D.

12 125

9.10 件产品中有 3 件次品,不放回地抽取 2 次,在第 1 次抽出的是次品的前提下,则第 2 次抽出正品的概率是

7 A. 30
10.不等式组 ?

7 B. 9

3 C. 10

7 D. 10

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 M,不等式组 ? 表示的点集记为 N, 2 ?0? y?4 ? y?x
) C.

在 M 中任取一点 P,则 P∈N 的概率为( A.

7 32

B.

9 32

9 16

D.

7 16
2

11.下列命题错误的是
2 2





A .命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 则

x2 ? y2 ? 0 ”
B.若命题
2 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件

? ? ? ? ? ? D.若 向 量 a , b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角
12.下列命题中正确的是( ) A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B. “ a ? 0 , b ? 0 ”是“

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b

C .命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 D.命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0

13.已知命题 p:?x∈R, (m+1) (x +1)≤0,命题 q:?x∈R,x +mx+1>0 恒成立. 若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( ) A.m≥2 B.m≤-2 或 m>-1 C.m≤-2 或 m≥2 D.-1<m≤2
x 14.已知命题 p :“存在 x0 ? [1,??) ,使得 (log 2 3) 0 ? 1 ”,则下列说法正确的是( x A. p 是假命题; ?p :“任意 x ? [1,??) ,都有 (log 2 3) ? 1 ” x B. p 是真命题; ?p :“不存在 x0 ? [1,??) ,使得 (log 2 3) 0 ? 1 ” x C. p 是真命题; ?p :“任意 x ? [1,??) ,都有 (log 2 3) ? 1 ” x D. p 是假命题; ?p :“任意 x ? (??,1) ,都有 (log 2 3) ? 1 ”

2

2



二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
15.若命题“ ?x ? R ,使 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围为
2



16.下列四个命题: ①“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定;
2

②“若 x ? x ? 6 ? 0, 则 x ? 2 ”的否命题;
2

3

③在 ?ABC 中, “ A ? 30? ”是“ sin A ?

1 ”的充分不必要条件 2

④“函数 f ( x) ? tan( x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? .(k ? Z ) ” , 其中真命题的序号是 17.给出如下四个命题: .

①若“ p 或 q ”为真命题,则 p 、 q 均为真命题; ②命题“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”的否命题为“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ” ; ③在 ?ABC 中, “ A ? 300 ”是“ sin A ?
2

1 ”的充要条件; 2
2 2 ? ?

④已知条件 p : x ? 3 x ? 4 ? 0 , 条件 q : x ? 6 x ? 9 ? m ? 0 , 若 q 是 p 的充分不必要 条件,则 m 的取值范围是 ?? ?,?4? ? ?4,?? ? ; 其中正确的命题的是 . 18.以下四个命题中是真命题的有 (填序号) .

①命题“若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 19. (本小题满分 12 分) (1)写出命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1或x ? 2 ”的逆命题、否命题及逆否命题; (2)写出命题“ ?x 0 ? R, 使得x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的否定形式. 20. (本小题满分 14 分)已知 a ? 0, a ? 1 ,设 P :函数 y ? a 在 R 上单调递减; Q :函数
x

2

y ? x 2 ? (2a - 3)x ? a 2 的图象与 x 轴至少有一个交点.如果 P 与 Q 有且只有一个正确,求 a
的取值范围. 21. (1) 已知

P : ? x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 ,q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) .若“ ?p ”是 “ ?q ”

的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围; 2 2 2 (2) 已知两个关于 x 的一元二次方程 mx -4x+4=0 和 x -4mx+4m -4m-5=0, 求两方程 的根都是整数的充要条件. 22.如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切,过点 B(- 2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P.

4

(1)求圆 A 的方程; (2)当 (3) · =2 时,求直线 l 的方程;

是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

23.甲箱子里装有 3 个白球 m 个黑球,乙箱子里装有 m 个白球,2 个黑球,在一次试验中, 分别从这两个箱子里摸出一个球,若它们都是白球,则获奖 (1) 当获奖概率最大时,求 m 的值; (2) 在 (1) 的条件下, 班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数, 班长有 4 次摸奖机会 (有 放回摸取) ,当班长中奖时已试验次数 ? 即为参加游戏人数,如 4 次均未中奖,则 ? ? 0 , 求 ? 的分布列和 E? . 24. (本题 12 分)已知 (3 x ? 3 x) 展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992。
2 n

(1)求展开式中含有 x 4 的项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项。 参考答案 1-7BACBAB C 8-14DB.BDDBC 15. ?1 ? a ? 3 16.①② 17.④ 18.①②③ 19. (1)逆命题:若 x ? 1或x ? 2 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 (3 分) 否命题:若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1且x ? 2 逆否命题;若 x ? 1且x ? 2 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0
2

(6 分) (9 分)

(12 分) (2)命题的否定: ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 . 考点:1.四种命题;2.全称命题与特称命题

? 3 ? a ? ?a | ? a ? 1? x ? 4 ? :函数 y ? a 在 R 上单调递减 ? 0 ? a ? 1 ; 20.

5

函数 y ? x ? (2a - 3)x ? a 的图象与 x 轴至少有一个交点,
2 2

即 ? ? ?2a - 3? - 4a ? -12a ? 9 ≥0,解之得 a
2 2

?

3 4.
3? ? 4?

? a ? ?a | 0 ? a ? 1?? ?a | a ? ? (1)若 P 正确,Q 不正确,则 ? 3 ? a ? ?a | ? a ? 1? ? 4 ?. 即

3? ? a ? ?a | a ? 1?? ?a | a ? ? 4? ? (2)若 P 不正确,Q 正确,则
即a ? ?

? 3 ? a ? ?a | ? a ? 1? ? 4 ?. 综上可知,所求 a 的取值范围是
21. (1) 0 ? m ? 3 ; ( 2) m ? 1 . 试题解析: (1) P : ?2 ? x ? 10 , Q : 1 ? m ? x ? 1 ? m . ∵“非 P ”是“非 Q ”的充分不必要条件,∴ Q 是 P 的充分不必要条

?m ? 0, ? 件.? ?1 ? m ? ?2, ? 0 ? m ? 3 . ?1 ? m ? 10, ?
∴实数 m 的取值范围为 0 ? m ? 3 . ( 2 ) ? mx 2 ? 4 x ? 4 ? 0 是 一 元 二 次 方 程 , ? m ? 0 . 又 另 一 方 程 为

x 2 ? 4mx ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? 0























??1 ? 16?1 ? m ? ? 0 ? 5 ? ?? ,解得 m ? ?? ,1? . 2 2 ? 4 ? ?? 2 ? 16m ? 4 4m ? 4m ? 5 ? 0

?

?

?4 ?m ? Z ? ∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,? ?4m ? Z ?4 m 2 ? 4 m ? 5 ? Z ? ?
? 5 ? ? m 为 4 的 约 数 . 又 ? m ? ?? ,1? , ? m ? ?1 或 1 . 当 m ? ?1 时 , 第 一 个 方 程 ? 4 ?

6

x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 的根为非整数;而当 m ? 1 时,两方程的根均为整数,∴两方程的根均为整
数的充要条件是 m ? 1 . 2 2 22. (1)圆 A 的方程为(x+1) +(y-2) =20; (2)直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y +6=0; (3) ·B 是定值,且 ·B =-5.

试题分析:第(1)问由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径,进而求出圆 A 的方程;第(2) 问注意直线 l 的斜率不存在时也符合题意,以防漏解,另外应注意用好几何法,以减小计算 量;第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论. 试题解析: (1)设圆 A 的半径为 R. ∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切,

∴R=

=2
2


2

∴圆 A 的方程为(x+1) +(y-2) =20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,即 kx-y+2k=0.连接 AQ, 则 AQ⊥MN. ∵ =2 ,∴|AQ|= =1.





=1,得 k= .

∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. (3)∵AQ⊥BP,∴ ∴ = · · =( + + · = · ) · · . =0.

当直线 l 与 x 轴垂直时,得 则 ∴ · = ,又 · =(1,2) ,



=-5.

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2) .



解得







7



·



· ·B





=-5. ·B =-5.

综上所述,

是定值,且

考点:①求圆的方程;②是否为定值问题. 23. (1)2 或 3; (2) (2) ? 的分布列

?
P

1

2

3

4

0

3 10

21 100

147 1000

1029 10000

2401 10000

E? ? 1.5726
试题解析: (1)在第一个箱子中摸出一个球是白球的概率为 P 1 ? 摸 出 一 个 球 是 白 球 的 概 率 为

3 ,在第二个箱子中 m?3

m , 所 以 获 奖 概 率 m?2 6 3 m 3 3 即 m ? 6 时取等号, P?P ? ? ? , 当且仅当 m ? , 1P 2 ? m m?3 m?2 m? 6 ?5 2 6 ?5 m 3 m 3 又 因 为 m 为 整 数 , 当 m?2 时 , P? , 当 m?3 时 , ? ? m ? 3 m ? 2 10 P2 ? P?

3 3 m 3 ? ? ,所以 m ? 2 或 3 时, Pmax ? ????4 分 10 m ? 3 m ? 2 10
3 ,由 n 次独 10
0

(2) ? 的取值有 0,1,2,3,4,由(1)可知班长摸奖一次中奖的概率为 立重复试验的恰好发生 k 次的概率计算公式可得:

?
P

1

2

3

4

3 10

7 3 ? 10 10

49 3 ? 100 10

343 3 ? 1000 10

343 ? 7 10000

E? ?

3000 ? 2100 ? 2 ? 1470 ? 3 ? 1029 ? 4 15726 ? ? 1.5726 10000 10000

考点:1.古典概型;2.离散型随机变量的概率分布列与期望. 24.
0 1 n 试题解析:令 x ? 1 得展开式各项系数和为 4 ,二项式系数为 Cn ? Cn ? …… ? Cn ? 2n

n

由题意得: 4n ? 2n ? 992 ,解得 n ? 5

2分

8

r r (1) Tr ?1 ? C 5 3 ?x

10 ? r 3

10 ? r 4分 ? 4 ? r ? 2 ∴ T3 ? C 52 ? 3 2 ? x 4 ? 90 x 4 3 (2)∵ n ? 5 ,∴展开式共 6 项,二项式系数最大项为第三、四项
当 ∴ T3 ? C ? 3 ? x ? 90 x , T4 ? C ? 3 ? x
2 5 2 4 4

3 5

3

13 3

? 270 x

13 3

. .8 分

(3)展开式中第 k ? 1 项系数最大

?C5k ? 3k ? C5k ?1 ? 3k ?1 7 9 ? ? ? k ? ,,kk? 8N ∴? k k ? k ?1 k ?1 2 2 C ? 3 ? C ? 3 ? 5 ? 5
∴ k ?4
14
14

4 ∴ T5 ? C 5 ? 3 4 ? x 3 = 405 x 3

12 分

9


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