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江苏省梁丰高级中学2015届高三数学周日练习卷(11)

时间:2015-01-12


江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷(11)
命题:樊爱平 一、填空题 1、复数 审核:徐叶琴 班级______________ 姓名_______________ .
频率 组距

得分_____________

4 ? 3i 的虚部为 1 ? 2i

2、一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 1000 人, 并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示) ,则月 收入在[2000,3500 范围内的人数为 3、根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为 4、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则

0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

a7 ?

.

5、设 l , m 为两条不同的直线,? , ? 为两个不同的平面,下列命 题中正确的是 . (填序号)

i

1 i

While i <8 S End While Print S i+2 2i+3

①若 l ? ? , m // ? , ? ? ? , 则 l ? m ; ②若 l // m, m ? ? , l ? ? , 则 ? // ? ; ③若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则 l // m ;④若 ? ? ? , ?

? ? m, l ? ? , l ? m, 则 l ? ? .

6 、在 ?ABC 中 , 已知 sin A sin B cos C ? sin A sin C cos B ? sin B sin C cos A , 若

a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,则

ab 的最大值为__________. c2

7、已知偶函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数, 且 f (2) ? 0 ,则不等式 8 、 已 知 点

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为__________. x
y P Q F1 O F2 x

O 为 ?ABC 的 外 心 , 且 AC ? 4, AB ? 2 , 则

AO ? BC ? __________.
x2 y 2 9、如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 a b 2 2 2 线段 PF2 与圆 x ? y ? b 相切于点 Q , 且点 Q 为线段 PF2 P 在椭圆 C 上, 的中点,则椭圆 C 的离心率为 .
10、先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、 6) ,骰子朝上的面的点数分别为 m, n ,则 mn 是奇数的概率是 .

?a , 当a ? b时 2 2 2 ,已知函数 f ( x) ? min?x ? 2tx ? t ? 1 , x ? 4 x ? 3?是偶函数(为实 ?b , 当a ? b时 常数) ,则函数 y ? f ( x) 的零点为__________. (写出所有零点)
11、记 min?a , b? ? ? 12、在 ?ABC 中,若 AB ? 2, AC ? BC ? 8 ,则 ?ABC 面积的最大值为
2 2


M E
K F D

13、 设 s, t 为正整数, 两直线 l1 :

t t x ? y ? t ? 0与l2 : x ? y ? 0 的交点是 ( x1 , y1 ) , 2s 2s

T L

对于正整数 n(n ? 2) , 过点 (0, t )和( xn ?1 , 0) 的直线与直线 l2 的交点记为 ( xn , yn ) . A 则数列 ? xn ? 通项公式 xn = .
G

J C
H B I R

14、如图,已知矩形 ORTM 内有 5 个全等的小正方形,其中顶点 A、B、C、D 在矩形 ORTM 的四条边上.若矩形 ORTM 的边长 OR=7,OM=8,则小正方形的边长为
-1-

O

二、解答题 15、 (本小题共 14 分) 已知动点 P (3t , t ? 1)(t ? 0, t ? (1)若 ? ?

?

1 ) 在角 ? 的终边上. 2

6 1 ? sin 2? ? cos 2? (2)记 S ? ,试用将 S 表示出来. 1 ? sin 2? ? cos 2?

,求实数 t 的值;

16、 (本小题共 14 分) 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 ,侧面 PAD 是正三角形,其所在的平面垂直于底面 P ABCD,点 G 为 AD 的中点. (1)求证:BG ? 面 PAD; (2)E 是 BC 的中点,在 PC 上求一点 F,使得 PG // 面 DEF.
F G D

A

B

E

C

-2-

17、 (本小题共 14 分) 为迎接 2010 年上海世博会, 要设计如图的一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目, 2 这三栏的面积之和为 60000cm ,四周空白的宽度为 10cm ,栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm ,怎 样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位: cm ),能使整个矩形广告面积最小.

18、 (本小题共 16 分) 已 知 椭 圆 的 中 心 为 坐 标 原 点 O , 椭 圆 短 半 轴 长 为 1 , 动 点 M (2, t )

(t ? 0)

在直线

x?

a 上. (a为长半轴,c为半焦距) c

2

(1)求椭圆的标准方程 (2)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N.求证:线段 ON 的长为 定值,并求出这个定值.

-3-

19、 (本小题共 16 分)

已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 2 ,2an ? 1 ? an an?1 ,bn ? an ? 1 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,Tn ? S2 n ? Sn .

?1? ? 为等差数列,并求通项 bn ; (Ⅱ)求证: Tn ?1 ? Tn ; ? bn ? 7 n ? 11 (Ⅲ)求证:当 n ? 2 时, S 2n ? . 12
(Ⅰ)求证:数列 ?

20、 (本小题共 16 分) 已知 f ( x) ?

1 ? ln x . x (1)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上有极值,求实数 a 的取值范围;
(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围;
2

(3)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf (n) ? 2 ?

1 1 1 . ? ? ??? ? 2 3 n ?1

-4-

江苏省梁丰高级中学 2015 届高三数学周日练习卷附加题(11)
命题:樊爱平 审核:徐叶琴 班级______________ 姓名_______________ 得分_____________ 21、B.选修 4-2 矩阵与变换 ?1 2? 已知矩阵 M=? ?的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量. ?2 x?

21、C.选修 4-4 坐标系与参数方程

? 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C1:? cos(? ? ) ? 2 2 4 2 ? x ? 4t , 与曲线 C2: ? (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. ? y ? 4t

-5-

22、 【必做题】 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) . (1)若点 F 到直线的距离为 3 ,求直线的斜率; (2) 设 A, B 为抛物线上两点, 且 AB 不与 x 轴垂直, 若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M , 求证: 线段 AB 中点的横坐标为定值.

23、 【必做题】 已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

1 ,某植物研究所进行 3

该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立。假定某次实验种子 发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的。若该研究所 共进行四次实验,设 ? 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (2)记“关于 x 的不等式 ?x ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P(A) 。
2

-6-

参考答案:

5 3 -2 ? ? 0, 2 ? 8、6 9、 7、 ? -?, 3 2 1 2s 10、 11、 x ? ?3,?1 12、 3 13、 xn ? 14、 5 4 n ?1 1 15、解: (1) P (3t , t ? 1)(t ? 0, t ? ) 是角 ? 的终边上一点, 2 t ?1 则 tan ? ? --------------------------3 分 3t t ?1 3 3 ?1 ? 又 ? ? ,则 ,所以 t ? . ---------------6分 ? 3t 3 2 6 1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? 2sin ? ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 1 cos ? (cos ? ? sin ? ) (2) S ? = = ---9 分 1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? 2sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? sin ? (sin ? ? cos ? ) 3t 1 1 -----12 分? S ? ? --------------14 分 ?S ? ? ?? t ? 1 t ?1 tan ? 3t 16、 (1)连结 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , 所以三角形 ABD 为正三角形,又因为点 G 为 AD 的中点,所以 BG ? AD;---------4 分 因为面 PAD ? 底面 ABCD,且面 PAD 底面 ABCD=AD, 所以 BG ? 面 PAD. ----------------7 分 (2)当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF
1、-1 2、700 3、21 4、13 5、②④ 6、 连结 GC 交 DE 于点 H 因为 E、G 分别为菱形 ABCD 的边 BC、AD 的中点,所以四边形 DGEC 为平行四边形 所以点 H 为 DE 的中点,又点 F 为 PC 的中点 所以 FH 时三角形 PGC 的中位线,所以 PG // FH ------------------------------10 分 因为 FH ? 面 DEF, PG ? 面 DEF 所以 PG // 面 DEF. 综上:当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF. ---------------------------14 分 17、解:设矩形栏目的高为 acm ,宽为 bcm ,则 ab ? 20000 ,? b ? 广告的高为 (a ? 20)cm ,宽为 (3b ? 30)cm (其中 a ? 0, b ? 0 ) 广告的面积 S ? (a ? 20)(3b ? 30) ? 30(a ? 2b) ? 60600 ? 30(a ?

20000 a

40000 ) ? 60600 a

40000 ? 60600 ? 12000 ? 60600 ? 72600 a 40000 当且仅当 a ? ,即 a ? 200 时,取等号,此时 b ? 100 . a ? 30 ? 2 a ?
故当广告矩形栏目的高为 200cm,宽为 100cm 时,可使广告的面积最小. 18、解: (1)又由点 M 在准线上,得

a2 1 ? c2 ? 2故 ? 2 ,? c ? 1 ?2 分 从而 a ? 2 c c

x2 ? y 2 ? 1 ?????4 分 所以椭圆方程为 2 (2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y ( y ? t ) ? 0
即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ?1 4
-7-

t2 ? 1 ?????6 分 4 因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 t 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r 2 ? 1 ? 2 3 ? 2t ? 5 t 所以 ? ,?????8 分 5 2 解得 t ? 4 所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ?????10 分
其圆心为 (1, ) ,半径 r ?

t 2

(3)方法一:由平几知: ON 直线 OM: y ?

2

? OK OM ?????11 分

t 2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

t ? y? x ? 4 ? 2 由? 得 xK ? 2 ?????13 分 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
? ON ? (1 ?
2

t2 4 ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 4 t ?4

t2 t2 ) xK ? (1 ? ) xM 4 4 ?????15 分

所以线段 ON 的长为定值 2 .?????16 分 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则

FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 )
2

?????11 分

FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又 所以, ON ?

?????13 分

MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ???15 分
x0 2 ? y0 2 ? 2 为定值?????16 分

19、解: (Ⅰ)由 bn ? an ? 1 ,得 an ? bn ? 1 ,代入 2an ? 1 ? an an ?1 , 得 2(bn ? 1) ? 1 ? (bn ? 1)(bn ?1 ? 1) , ∴ bn bn ?1 ? bn ?1 ? bn ? 0 ,从而有 ∵ b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , ∴?

1 1 ? ? 1, bn ?1 bn

1 1 ?1? ? n ,即 bn ? .?????5 分 ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴ bn n ? bn ?

(Ⅱ)∵ Sn ? 1 ?

Tn ?1

1 1 1 1 ? ? ,∴ Tn ? S 2 n ? S n ? ? ? 2 n n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? , n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2

?

1 , 2n

Tn ?1 ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1
??????????????????????????10 分
-8-

∴ Tn ?1 ? Tn .

(Ⅲ)∵ n ≥ 2 , ∴ S 2n

? S 2n ? S 2n?1 ? S 2n?1 ? S 2n?2 ? ??? ? S 2 ? S1 ? S1
? T2 n?1 ? T2 n?2 ? ??? ? T2 ? T1 ? S1 .
1 7 , S1 ? 1, T2 ? , 2 12

由(2)知 T2 n?1 ? T2 n?2 ? ??? ? T2 ,∵ T1 ? ∴ S 2n

? T2 n?1 ? T2 n?2 ? ??? ? T2 ? T1 ? S1
? ? n ? 1? T2 ? T1 ? S1 ?

20、解: (1)

? 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ; -------------------------3 分 ? 函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, ??) 为减函数 ? 当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,而函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 有极值. ? a ?1 ,解得 0 ? a ? 1 . ---------------------------5 分 ?? a ? 1 ? 1 ? 2 (2)由(1)得 f ( x) 的极大值为 f (1) ? 1 ,令 g ( x) ? x ? 2 x ? k ,所以当 x ? 1 时,函数 g ( x) 取得最小
值 g (1) ? k ? 1 ,又因为方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,那么 k ? 1 ? 1 ,即 k ? 2 ,所以实数 k 的取值范
2

7 1 ? n ? 1? ? ? 1 ? 7n ? 11 . 12 2 12 1 ? x ? (1 ? ln x) ln x 1 ? ln x ,? f ?( x) ? x ?? 2 f ( x) ? 2 x x x

??16 分

1 ? ln x ? 2x ? x2 , x 1 ? ln x ln x 令 h( x ) ? ? 2 x ? x 2 ,所以 h?( x) ? ? 2 ?2 ? 2 x ,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 x x 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ? 当 x ? 1 时,函数 h( x) 取得极大值为 h(1) ? 2
(另解:

围是: k ? 2 .

----------10 分

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? k ,? k ?

? 当方程 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? k 有实数解时, k ? 2 .) 1 1 (3) 函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 为减函数,而 1 ? ? 1( n ? N *, n ? 2) ,? f (1 ? ) ? f (1) ? 1 n n 1 1 1 ?1 ? ln(1 ? ) ? 1 ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n n 1 1 1 --------------12 分 ? ln n ? ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ??? ? ln n ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ??? ? 2 3 n ?1 1 1 1 即 1 ? ln n ? 2 ? ? ? ??? ? ,而 n ? f (n) ? 1 ? ln n , 2 3 n ?1 1 1 1 结论成立. -----------16 分 ? nf (n) ? 2 ? ? ? ??? ? 2 3 n ?1

-9-

附加题答案: 21.、A. 证明:(1)连结 GD,由 B、D、E、G 四点共圆,可得∠EGA=∠B,同理∠FGA=∠C,故∠BAC+∠ EGF=∠BAC+∠B+∠C=180°.(5 分) (2) 由题知 E、G、F、A 四点共圆,故∠EAG=∠EFG.(10 分) 21、B 解:矩阵 M 的特征多项式为 ?λ -1 -2? f(λ )=? ?=(λ -1)(λ -x)-4.(1 分) ?-2 λ -x? 因为 λ 1=3 方程 f(λ )=0 的一根,所以 x=1.(3 分) 由(λ -1)(λ -1)-4=0 得 λ 2=-1,(5 分) 设 λ 2=-1 对应的一个特征向量为 α =? ?,
? ?-2x-2y=0, 则? ?-2x-2y=0, ?

?x? ?y?

得 x=-y,(8 分)

令 x=1,则 y=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α =?

? 1? ?.(10 分) ?-1?

21、C.解:曲线 C1 直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x 4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 . --------------6 分 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 -------8 分 ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB . 21、D. 证明: 因为 x>0,y>0,x-y>0, 1 1 所以 2x+ 2 2-2y=2(x-y)+ x -2xy+y x-y =(x-y)+(x-y)+ 所以 2x+
2

-----------------------10 分 (4 分) 1 x-y =3,

2

1 x-y

3
2

≥3

x-y

2

·

2

1 ≥2y+3.(10 分) x -2xy+y2 22、解: (1)由已知, x ? 4 不合题意.设直线的方程为 y ? k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为 (1, 0) , 因为点 F 到直线的距离为 3 ,所以 ??????1 分

? 3, ?????2 分 1? k 2 2 2 解得 k ? ? ,所以直线的斜率为 ? . ?????4 分 2 2 (2)设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , y0 4 ? x0 因为 AB 不垂直于 x 轴,则直线 MN 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0 4 ? x0 直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ????5 分 ( x ? x0 ) , y0

3k

4 ? x0 ? ? y ? y0 ? y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 ? 4 x, ?

- 10 -

x0 2 2 ???7 分 ) y ? y0 y ? y0 ? x0 ( x0 ? 4) ? 0 , 4 4 y0 所以 y1 ? y2 ? , ?????8 分 4 ? x0 2 y0 y ? y2 因为 N 为 AB 中点,所以 1 ???9 分 ? y0 ,即 ? y0 , 2 4 ? x0 所以 x0 ? 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 . ????10 分 23、 (1)由题意知L ? 的可能取值为 0,2,4?????1 分 ? “? ? 0” 指的是实验成功 2 次,失败 2 次. 1 24 2 1 3 ?????2 分 ? P(? ? 0) ? C 4 ( ) (1 ? ) 2 ? 3 3 81 “? ? 2” 指的是实验成功 3 次,失败 1 次或实验成功 1 次,失败 3 次. 1 1 40 3 1 3 1 1 ?????3 分 ? P(? ? 2) ? C 4 ( ) (1 ? ) ? C 4 ( )(1 ? ) 3 ? 3 3 3 3 81 “? ? 4” 指的是实验成功 4 次,失败 0 次或实验成功 0 次,失败 4 次. 1 17 4 1 4 0 ?????4 分 ? P(? ? 4) ? C 4 ( ) ? C4 (1 ? ) 4 ? 3 3 81 24 40 17 148 ?????5 分 ? E? ? 0 ? ? 2? ? 4? ? 81 81 81 81 2 (2)由题意知: “不等式 ?x ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数 R”为事件 A. 当 ? ? 0 时,不等式化为 1>0,其解集是 R,说明事件 A 发生;?????6 分 当 ? ? 2 时,不等式化为 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ? ? ? ?4 ? 0 ,所以解集是 R,说明事件 A 发生;?????7 分 1? ? 2 2 当 ? ? 4 时,不等式化为 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ? (2 x ? 1) ? 0 其解集 ? x x ? R x ? ? , 2? ?
消去 x 得 (1 ? 说明事件 A 不发生. ?????8 分 ∴ P ( A) ? P (? ? 0) ? P (? ? 2) ? 答:故随机变量 ? 的数学期望为

24 40 64 ?????9 分 ? ? 81 81 81

148 .?????10 分 81

- 11 -


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