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《直线的点斜式方程》教案-公开课-优质课(人教A版必修二精品)

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《直线的点斜式方程》教案 教学目标 1.使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程,并能根据条件,熟练求出直线的点斜式方 程和斜截式方程. 2.会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题,并能根据方程画出方程所表示的 直线. 3.培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力. 4.理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围. 教学重点与难点 重点:直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程. 难点:直线方程点斜式推导过程的理解. 教学过程 一、创设情景 师:上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么,我们能否用给 定的条件(点P0的坐标和斜率 k ,或P1,P2的坐标),将直线上的所有点的坐标( x, y )满足的 关系表示出来呢?这节课,我们一起学习直线的点斜式方程. 二、探求新知 师:若直线 l 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,求直线 l 的方程. 生:(给学生以适当的引导)设点P( x, y )是直线 l 上不同于点 P 0 的任意一点,因为直线 l 的斜率为 k , 由斜率公式得: k? y ? y0 ,可化为: x ? x0 ① y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 〖探究〗 :思考下面的问题:(不必严格地证明,只要求验证) (1)、过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程①吗? (2)、坐标满足方程①的点都在过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上吗? 生:经过探究和验证,上述的两条都成立.所以方程①就是过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的 直线 l 的方程. 因此得到: (一)、直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 其中( x0 , y0 )为直线上一点坐标, k 为直线的斜率. 方程①是由直线上一定点及其斜率确定,叫做直线的点斜式方程,简称点斜式. 师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?(让学生思考,互相讨论) 生1:不能,因为不是所有的直线都有斜率. 生2:对,因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率,有斜率的直线才能写成点斜式方 程,如果直线没有斜率,其方程就不能用点斜式表示. 师:very good! 那么, x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程又是什么? 生:因为 x 轴所在直线的斜率为 k =0,且过点(0,0), 所以 x 轴所在直线的方程是 y =0.(即: x 轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0.) 而 y 轴所在直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示。但 y 轴所在直线上的每 一点的横坐标都等于0. 所以 y 轴所在直线的方程为: x =0. 师:那些与 x 轴或 y 轴平行的直线方程又如何表示呢? 生:(猜想)与 x 轴平行的直线的方程为: y ? y0 ; 与 y 轴平行的直线的方程为: x ? x0 . 师:当直线 l 的倾斜角为0°时, 线 l 方程为: y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0 . 当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点 斜式表示。这时直线方程为: x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . 经过分析,同学们的猜想是正确的. 师:已知直线的斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线 l 的方程. 生:因为直线 l 的斜率为 k ,与y轴的交点是P(0,b),代入直线方程的点斜式, 得直线 l 的方程为: y tan 00 ? 0 ,即 k =0,直线 l 与 x 轴平行或重合,直 y ? b ? k ( x ? 0) 即: y ? kx ? b (二)、直线斜截式方程: o ② b l x y ? kx ? b 我们把直线 l 与 y 轴交点(0, b )的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距(即纵截距)。 方程②是由直线 l 的斜率 k 和它在 y 轴上的截距 b 确定的,所以叫做直线斜截式方程,简称 为斜截式. 师:截距是距离吗? 生:不是,b为直线l在y轴上截距,截距不是距离,截距是直线与坐标轴交点的相应坐 标,是一个实数,可正可负可为零;距离是线段的长度,是非负实数. 师:观察方程 y ? kx ? b ,它的形式具有什么特点? 生: 左端 y 的系数恒为1, 右端的系数 k 和常数 b 均有几何意义:k 是直线的斜率,b 是 直线在 y 轴上的截距. 师:当直线倾斜角为90°时,它的方程能不能用斜截式来表示? 生:不能,因为直线没有斜率. 师:方程 y ? kx ? b 与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢? 生:当 k ? 0 时,直线斜截式方程 y ? kx ? b 就是一次函数的表示形式. 三、例题分析 例1、直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角α =45°,求直线 l 的点斜式方程,并画出直 线l . 师:分析并根据已知条件,先求得直线方程的斜率.代入直线的点斜式方程即可求得. 生:(思考后自主完成解题过程) 解:直线 l 经过点P0(-2,3),斜率是: k ? tan 45? ? 1 . 代入点斜式方程得 y ? 3 ? x ? 2,即y ? x ? 5 . 这就是所求的直线方程,如右图中所示.(画图时, 只需要再找到满足方程的另一个点即可.) 例2、已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2, 试讨论:(1) l1 // l2 的条件是什么?(2) l1 ? l2 的条件是什么? 师:让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论. 生:(思考后互相交流意见、想法。)总结得到: 对于直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2, y P 0? α o x l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2; l1 ? l2

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