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人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题

时间:2018-06-29


高一数学必修 5《数列》复习提纲

《数列》复习
1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法: (1)观察与归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与 项数 n 在变化过程中的联系,初步归纳公式。 (2)公式法:等差数列与等比数列。 (3)利用 Sn 与 an 的关系求 an : an ? ?

?S1 ,(n ? 1) ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)

(4)构造新数列法; (5)逐项作差求和法; (6)逐项作商求积法

2.等差数列 {an } 中: (1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性; (2) an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d ; (3) {kan } 也成等差数列; (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5) a1 ? a2 ? (6) S n ?

? am , am?1 ? am?1 ?

? a2m , a2m?1 ? a2m?1 ?

? a3m

仍成等差数列.

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d d , S n ? n 2 ? (a1 ? )n , , S n ? na1 ? 2 2 2 2 S2 n ?1 A a , n ? f (n) ? n ? f (2n ? 1) . bn 2n ? 1 Bn

an ?

(7)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ;若 m ?

a p ? aq p?q ,则 am ? 2 2

ap ? q, aq ? p( p ? q) ? a p ? q ? 0 , S p ? q, Sq ? p( p ? q) ? S p?q ? ?( p ? q) ; Sm ? n ? Sm ? Sn ? mnd .
(8)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; (9)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A ?

a?b 叫做 a , b 的等差中项。 2

(10)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

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3.等比数列 {an } 中: (1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。 (2) an ? a1q n ?1 ? amq n ? m ; (3) {| an |} 、 {kan } 成等比数列; {an }、 {bn } 成等比数列 ? {anbn } 成等比数列. (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5) a1 ? a2 ?

? am , ak ? ak ?1 ?

? ak ? m?1,

成等比数列.

( q ? 1) ?na1 ( q ? 1) ?na1 ? ? n ? ? a1 n (6) S n ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q ) . a1 ? q ? ( q ? 1) ? ( q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1? q ? 1? q ?
(7) p ? q ? m ? n ? bp ? bq ? bm ? bn ; 2m ? p ? q ? bm2 ? bp ? bq Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm . (8) “首大于 1”的正值递减等比数列中,前 n 项积的最大值是所有大于或等于 1 的项的积; “首小于 1” 的正值递增等比数列中,前 n 项积的最小值是所有小于或等于 1 的项的积; (9)并非任何两数总有等比中项. 仅当实数 a , b 同号时,实数 a , b 存在等比中项.对同号两实数 a , b 的等 比中项不仅存在,而且有一对 G ? ? ab .也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有 一对(同号时)。 (10)判定数列是否是等比数列的方法主要有:定义法、中项法、通项法、和式法

4.等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列

5.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式 ③1 ? 2 ? 3 ?

? n ? 1 n(n ? 1) ,12 ? 22 ? 32 ? 2

? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

1? 3 ? 5 ?

? (2n ? 1) ? n2 , 1 ? 3 ? 5 ?

? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 .

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用 公式法求和. (3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相 关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选 用错位相减法,将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意:一般错位相减后,其中“新等比 数列的项数是原数列的项数减一的差” ! ) (这也是等比数列前 n 和公式的推导方法之一).
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(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项 相消法求和.常用裂项形式有: ① ②

1 ?1? 1 n(n ? 1) n n ? 1 1 ? 1 (1 ? 1 ) , n(n ? k ) k n n ? k
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)



【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
n ?1 例题 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3 ? an?1 (n ? 2) .

(1)求 a 2 , a 3 ; (2)证明:

an ?

3n ? 1 2 .

2 解: (1) a1 ? 1,? a2 ? 3 ? 1 ? 4, a3 ? 3 ? 4 ? 13 .

(2)证明:由已知 an ? an?1 ? 3

n?1

,故 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 )

? a1 ? 3n ?1 ? 3n ? 2 ?

? 3 ?1 ?

3n ? 1 3n ? 1 an ? 2 . 2 , 所以证得

?an ? 的通项公式; ?b ? T T ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列, (Ⅱ)等差数列 n 的各项为正,其前 n 项和为 n ,且 3
(Ⅰ)求 求

例题 2. 数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1(n ? 1)

Tn .
两式相减得: an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an (n ? 2) , 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴ an ? 3
n ?1

a ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) , 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 n
故?

an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d ,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 ,
2 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2, d2 ? 10

∵等差数列 ? ∴

bn ? 的各项为正,∴ d ? 0

∴d ? 2

Tn ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 2n 2

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例题 3. 已知数列

?an ? 的前三项与数列 ?bn ?的前三项对应相同,且 a

?2n?1 an ? 8n 对任意的 n ? N* 都成立,数列 bn?1 ? bn 是等差数列.
⑴求数列

?

?

1

? 2a2 ? 22 a3 ? ...

?an ? 与 ?bn ?的通项公式;

? ⑵是否存在 k ? N ,使得 bk ? ak ? (0,1) ,请说明理由.

2 n ?1 2n?1 an 点拨: (1) a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ... ? 2 an ? 8n 左边相当于是数列 前 n 项和的形式,可以联想到已

?

?

知 Sn 求 an 的方法,当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? an . (2)把 bk ? ak 看作一个函数,利用函数的思想方法来研究 bk ? ak 的取值情况.
n ?1 2 解: (1)已知 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ?2 an ? 8n ( n ? N * )①
2 n?2 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ?2 an?1 ? 8(n ? 1) ( n ? N * )②

①-②得, 2

n ?1

4? n an ? 8 ,求得 an ? 2 ,
4 ?1

在①中令 n ? 1 ,可得得 a1 ? 8 ? 2
4? n



所以 an ? 2 ( n ? N*). 由题意 b1 ? 8 , b2 ? 4 , b3 ? 2 ,所以 b2 ? b1 ? ?4 , b3 ? b2 ? ?2 , ∴数列 {bn ?1 ? bn } 的公差为 ? 2 ? (?4) ? 2 , ∴ bn ?1 ? bn

? ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 ,
? (bn ? bn?1 )
? (2n ? 8) ? n2 ? 7n ? 14 ( n ? N * ).

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ?
? (?4) ? (?2) ?

2 4?k (2) bk ? ak ? k ? 7k ? 14 ? 2 ,

7 7 f (k ) ? (k ? ) 2 ? ? 4 ? k 2 4 2 单调递增,且 f (4) ? 1 , 当 k ? 4 时,
所以 k ? 4 时, f (k ) ? k ? 7k ? 14 ? 2 又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,
2

4? k

?1 ,

所以,不存在 k ? N * ,使得 bk ? ak ? (0,1) . 例题 4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列,且 a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项 an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 ① 2 a n+1 = bnbn+1 ②
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∵ an、bn 为正数, 由②得 an?1 ? bn bn?1 , an?2 ? bn?1bn?2 , 代入①并同除以 bn?1 得: 2 bn?1 ? bn ? bn?2 , ∴ { bn } 为等差数列
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∵ b1 = 2 , a2 = 3 , ∴

2 a2 ? b1b2 , 则b2 ?

9 2 ,

bn ? 2 ? (n ? 1)(

9 2 (n ? 1) 2 ? 2) ? (n ? 1),? bn ? 2 2 2 ,

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n(n ? 1) 2 ∴当 n≥2 时, , n(n ? 1) an ? 2 又 a1 = 1,当 n = 1 时成立, ∴ a n ? bn bn ?1 ?
2. 研究前 n 项和的性质 例题 5.

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n 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? a ? 2 ? b ,且 a1 ? 3 .

(1)求 a 、 b 的值及数列 {an } 的通项公式; n bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n . (2)设 解: (1) n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2
n?1

n?1

? a .而 {an } 为等比数列,得 a1 ? 21?1 ? a ? a ,

又 a1 ? 3 ,得 a ? 3 ,从而 an ? 3 ? 2 .又 a1 ? 2a ? b ? 3,?b ? ?3 . n n 1 2 3 n bn ? ? Tn ? (1 ? ? 2 ? ? n?1 ) n ?1 a 3 ? 2 n 3 2 2 2 (2) ,

1 1 1 2 3 Tn ? ( ? 2 ? 3 ? 2 3 2 2 2

?

n ?1 n 1 1 1 1 ? n Tn ? (1 ? ? 2 ? n?1 2 2 ) ,得 2 3 2 2

?

1 n ? n) n ?1 2 2 ,

1 1 ? (1 ? n ) 2 2 ? n ] ? 4 (1 ? 1 ? n ) Tn ? [ 3 1? 1 2n 3 2n 2n ?1 2 .

例题 6. 数列 {an } 是首项为 1000,公比为 10 的等比数列,数列 {bn } 满足 1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? lg ak ) (k ? N* ) , k (1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n . 解: (1)由题意: an ? 10 ∴
4? n

1

?

,∴ lg an ? 4 ? n ,∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1的等差数列,

lg a1 ? lg a2 ?

? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n bn ? [3n ? ]? 2 ,∴ n 2 2

?bn ? 0 21 ? S6 ? S7 ? b ? 0 {b } n ? 1 ? 6 ? n ? 7 n n 2 . 由 ,得 ,∴数列 的前 项和的最大值为
(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 , 7?n 3? 2 )n ? ? 1 n 2 ? 13 n Sn? ? b1 ? b2 ? ? bn ? ( n ? 7 2 4 4 ∴当 时, 当 n ? 7 时,

S n? ? b1 ? b2 ?

? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn ? 2S7 ? (b1 ? b2 ?

1 13 ? bn ) ? n2 ? n ? 21 4 4

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? 1 2 13 ? n ? n (n ? 7) ? ? 4 4 Sn? ? ? 1 13 ? n 2 ? n ? 21 (n ? 7) ? 4 ?4 ∴ .
例题 7. 已知递增的等比数列{ an }满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (1)求{ an }的通项公式 an ; (2)若

bn ? an log 1 an , S ? b ? b ? n 1 2
2

? bn 求使 Sn ? n ? 2n?1 ? 30 成立的 n

的最小值. 解: (1)设等比数列的公比为 q(q>1) ,由

1 a1q+a1q +a1q =28,a1q+a1q =2(a1q +2) ,得:a1=2,q=2 或 a1=32,q= 2
2 3 3 2

(舍)

∴an=2· 2

(n-1)

=2

n

2 (2) ∵ ,∴Sn=-(1· 2+2· 22+3· 23+…+n· 2n) ∴2Sn=-(1· 22+2· 23+…+n· 2n+1) ,∴Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1=-(n-1)· 2n+1-2, 若 Sn+n · 2n+1>30 成立,则 2n+1>32,故 n>4,∴n 的最小值为 5.

bn ? an log 1 an ? ?n ? 2n

* 例题 8. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 ?1, Sn , an?1 成等差数列, n ? N , a1 ? 1 . 函数 f ( x) ? log3 x .

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 满足

bn ?

1 (n ? 3)[ f (an ) ? 2] ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 T ,试比较 n

5 2n ? 5 Tn与 ? 12 312 的大小.
解: (I) ?1, Sn , an ?1 成等差数列,? 2Sn ? an ?1 ? 1 ① 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? an ? 1 ②. a ? n ?1 ? 3. ①-②得: 2(Sn ? Sn?1 ) ? an?1 ? an ,? 3an ? an?1 , an 当 n=1 时,由①得? 2S1 ? 2a1 ? a2 ? 1 , 又 a1 ? 1,

? a2 ? 3,?

a2 ? 3, a1

(II)∵ f ?x ? ? log3 x ,? f (an ) ? log3 an ? log3 3 ? n ? 1 , 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ) (n ? 3)[ f (an ) ? 2] (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3 ,
n ?1

?{an } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列,? an ? 3n?1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 4 6 5 7 n n ? 2 n ?1 n ? 3 2n ? 5 1 1 1 1 1 ? 5 ? ? ( ? ? ? ) 12 2(n ? 2)(n ? 3) , 2 2 3 n?2 n?3 5 2n ? 5 Tn与 ? 12 312 的大小,只需比较 2(n ? 2)(n ? 3) 与 312 的大小即可. 比较 又2(n ? 2)(n ? 3) ? 312 ? 2(n2 ? 5n ? 6 ? 156) ? 2(n2 ? 5n ? 150) ? 2(n ? 15)(n ? 10) 5 2n ? 5 2(n ? 2)(n ? 3) ? 312, 即Tn ? ? ; * * 12 312 ∵ n ? N , ∴当 1 ? n ? 9且n ? N 时, 5 2n ? 5 2(n ? 2)(n ? 3) ? 312,即Tn ? ? ; n ? 10 12 312 当 时,
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* 当 n ? 10且n ? N 时,

2(n ? 2)(n ? 3) ? 312,即Tn ?

5 2n ? 5 ? 12 312 .

3. 研究生成数列的性质
n n 例题 9. (I) 已知数列 ?c n ?,其中 cn ? 2 ? 3 ,且数列 ?cn ?1 ? pcn ?为等比数列,求常数 p ; (II) 设 ?a n ?、 ?bn ?是公比不相等的两个等比数列, cn ? a n ? bn ,证明数列 ?c n ?不是等比数列.

解: (Ⅰ)因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有 (cn+1-pcn)2=( cn+2-pcn+1) (cn-pcn-1) , 将 cn=2n+3n 代入上式,得 + + [2n 1+3n 1-p(2n+3n)]2 + + - - =[2n 2+3n 2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n 1+3n 1)], 即[(2-p)2n+(3-p)3n]2 - - =[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1],

1 整理得 6 (2-p) (3-p)· 2n· 3n=0,
解得 p=2 或 p=3. (Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为 p、q,p≠q,cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证 c2 ≠c1· c3. 事实上, c2 =(a1p+b1q)2= a1 p2+ b1 q2+2a1b1pq, c1· c3=(a1+b1) (a1 p2+b1q2)= a1 p2+ b1 q2+a1b1(p2+q2). 由于 p≠q,p2+q2>2pq,又 a1、b1 不为零, 因此 c2 ? c1· c3,故{cn}不是等比数列.
2
2 2 2 2 2 2

例题 10. n2( n≥4)个正数排成 n 行 n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且

1 3 a 42 ? , a 43 ? 8 16 所有公比相等 已知 a24=1,
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求 S=a11 + a22 + a33 + ? + ann

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解: 设数列{ a1k }的公差为 d, 数列{ aik }(i=1,2,3,?,n)的公比为 q 则 a1k = a11 + (k-1)d , akk = [a11 + (k-1)d]qk
-1
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? ?a 24 ? (a11 ? 3d )q ? 1 ? 1 ? 3 ?a 42 ? (a11 ? d )q ? 8 ? 3 ? 1 a 43 ? (a11 ? 2d )q 3 ? ? 16 ,解得:a11 = d = q = ± 2 依题意得: ?
又 n 个数都是正数,
2

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1 k k ∴a11 = d = q = 2 , ∴akk = 2

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S ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? ? ? n ? n 2 2 2 2 , 1 1 1 1 1 S ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 ,
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两式相减得:

S ? 2?

1 2
n ?1

?

n 2n

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f ( n) * 例题 11. 已知函数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ,记 an ? 3 , n ? N .

(1)求数列 {an } 的通项公式;

an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 2n (2)设 ,若 Tn ? m(m ? Z ) ,求 m 的最小值; 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ? p 2n ? 1 a1 a2 an (3)求使不等式 对一切 n ? N * 均成立的最大实数 p . bn ?

?log3 (2a ? b) ? 1 ?a ? 2 ? ? 解: (1)由题意得 ?log3 (5a ? b) ? 2 ,解得 ?b ? ?1 ,
? f ( x) ? log3 (2x ? 1) an ? 3l o 3g(2n?1) ? 2n ?1, n ? N * 2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 bn ? ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n n 2 , 2 2 2 2 2 (2)由(1)得 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n?1 2 2 2 2 2 2n 2 ② ①-②得
1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 ? ? n ?1 ? n ?1 ? Tn ? 3 ? n ? 2 ? ? 3? n 2 2 2 2 2n , 2 2 .



2n ? 3 ,n? N* n 2 设 ,则由 2n ? 5 n ?1 f (n ? 1) 2n ? 5 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 2n ? 3 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2 5 f ( n) 2n 2n ? 3 f ( n) ? ,n? N* n 2 得 随 n 的增大而减小 f ( n) ?
?当n ? ?? 时, Tn ? 3 又 Tn ? m(m ? Z ) 恒成立,? mmin ? 3 1 1 1 1 p? (1 ? )(1 ? )?(1 ? )对n ? N * a1 a2 an 2n ? 1 (3)由题意得 恒成立

F (n) ?


1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) a1 a2 an ,则 2n ? 1
1 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) a1 a2 an a n ?1 2n ? 3 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1 (1 ? ? 2(n ? 1) 4(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1

F(n ? 1) ? F(n ) ?

2n ? 2 (2n ? 1)( 2n ? 3)

2?n ? 1? ?1 2?n ? 1?

? F (n) ? 0,? F (n ? 1) ? F (n),即F (n) 是随 n 的增大而增大

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F (n) 的最小值为

F (1) ?

2 2 2 3 ?p? 3 p max ? 3 3 3 3 , ,即 .

(二)证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
* 例题 12. 数列 {an } 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N . ⑴求数列 {an } 的通项公式;

⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ; 1 * * * ⑶设 b n = n(12 ? an ) (n ? N ), Tn ? b1 ? b2 ? ? bn (n ? N ) ,是否存在最大的整数 m ,使得对任意 n ? N , 均有 Tn ? 32 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)由题意, an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列,设公差为 d , 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |

m

? a1 ? a2 ?

? an ?

n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an
? S5 ? (Sn ? S5 ) ? 2S5 ? Sn ? n2 ? 9n ? 40
2 ? ?9n ? n n?5 Sn ? ? 2 ? ?n ? 9n ? 40 n ? 6 故 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ) n (12 ? a ) 2 n ( n ? 1) 2 n n ?1 , n (3)

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n2 , 2

n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? . ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? ( ? )] 2(n ? 1) 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 ? Tn 2 m n m Tn ? ? * * 32 对任意 n ? N 成立,即 n ? 1 16 对任意 n ? N 成立, 若

1 m 1 n ? ? , (n ? N* ) n ?1 的最小值是 2 , 16 2 ? m的最大整数值是 7. m Tn ? . * m ? 7 , 32 即存在最大整数 使对任意 n ? N ,均有
a 例题 13. 已知等比数列 {bn } 与数列 {an } 满足 bn ? 3 n , n ? N*. (1)判断 {an } 是何种数列,并给出证明; (2)若 a8 ? a13 ? m, 求b1b2 b20 . a

解: (1)设 {bn } 的公比为 q,∵ bn ? 3 n ,∴ 3a1 ? q n ?1 ? 3a n ? a n ? a 1 ? ?n ? 1? log3 q 。 所以 {an } 是以 log 3 q 为公差的等差数列. (2)∵ a8 ? a13 ? m, 所以由等差数列性质可得 a1 ? a20 ? a8 ? a13 ? m,

a1 ? a2 ? a3 ? ?

?a20 ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 10m ? b1b2 2

b20 ? 3( a1 ?a2 ?

? a 20 )

? 310m

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2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题 14. 已知数列 {an } 和 {bn }满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ? an an?1 ( n ? N * ) , 且 {bn }是以 q 为公比的等比数列. (I)证明: an? 2 ? an q ;
2

(II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明:数列 {cn }是等比数列; 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? a2 n ?1 a2 n . (III)求和: a1 a2 a3 a4

an ?1an ? 2 an ? 2 bn ?1 ? ?q ?q 2 a a a b n n n ?1 解法 1: (I)证:由 n ,有 ,∴ a n ?2 ? a n q ?n ? N *? .
2 (II)证:∵ a n ? a n ?2 q ,

?a2n?1 ? a2n?3q2 ?

? a1q2n?2 , a 2n ? a 2n ?2 q 2 ? ...? a 2 q 2n ?2 ,

??cn ? 是首项为 5,公比为 q2 的等比数列.

?cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1q2n?2 ? 2a2 q2n?2 ? (a1 ? 2a2 )q2n?2 ? 5q2n?2 .

1 1 1 1 ? q 2? 2 n ? 2 q 2? 2 n 2n a a 1 a (III)解:由(II)得 2 n ?1 ,a ,于是 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 1 1 ?( ? ? a2 n a1 a3 ? 1 a2 n ?1 )?( 1 1 ? ? a2 a4 ? 1 ) a2 n

?

1 1 1 (1 ? 2 ? 4 ? a1 q q

? ?

1 q
2n?2

)?

1 1 1 (1 ? 2 ? 4 ? a2 q q

?

1 q
2n?2

)

3 1 1 ? (1 ? 2 ? 1 ? 2 q q

1 q
2n?2

)
.

1 1 ? ? a a2 q ? 1 1 当 时,

?

1 3 1 1 ? (1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 q q

?

1 q
2n?2

) ? 3n

2 .

1 1 ? ? a 当 q ? 1 时, 1 a2

?

1 3 1 1 ? (1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 q q

?

1 ) q 2n?2

3 1 ? q ?2 n 3 q2n ? 1 ? [ ] ? ( ) 2 q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) . 2 1 ? q ?2
?3 n, q ? 1, 1 ? ?2 ? ?? q 2n ? 1 a2 n ? ? [ 2n?2 2 ],q ? 1. ?? q ( q ? 1) ?

1 1 ? ? a1 a2


解法 2: (I)同解法 1(I).

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cn ?1 a2 n ?1 ? 2a2 n ? 2 q 2 a2 n ?1 ? 2q 2 a2 n ? ? ? q 2 ( n ? N* ) c a ? 2 a a ? 2 a 2 n ?1 2n 2 n ?1 2n (II)证: n ,又 c1 ? a1 ? 2a2 ? 5 ,

??cn ? 是首项为 5,公比为 q2 的等比数列.
(III)由解法 1 中(II)的类似方法得 a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 )q a ? a2 n a ? a2 a3 ? a4 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 n ?1 a1 a2 a2 n a1a2 a3 a4 a2 n ?1a2 n ,
2n?2

? 3q2n?2 ,

a2 k ?1 ? a2 k 3q 2 k ? 2 3 ?2 k ? 2 ? 4k ?4 ? q a2 k ?1a2 k 2q 2 2, ,n . , k ? 1,

1 1 ... 1 3 ? ? ? ? 1 ? q ? 2 ? ... ? q ?2 n ? 2 a a a 2 2 2n ∴ 1 .
例题 15. 设数列 {an }的前n项和为S n , 且S n ? (1 ? ? ) ? ?an , 其中? ? ?1,0 (1)证明:数列 (2)设数列 通项公式;

?

?

{an } 是等比数列;

{an } 的公比 q ? f (? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? ,b =f (b ) {b } ,求数列 n 的 n n-1 (n∈N*,n≥2)

1 ? 1) ,求数列 {Cn } 的前 n 项和Tn. bn (1)证明:由 Sn ? (1 ? ? ) ? ? an ? Sn?1 ? (1 ? ? ) ? ? an?1 (n ? 2) an ? ? (n ? 2), ∴数列 {an } 是等比数列 相减得: an ? ?? an ? ? an ?1 ,? an ?1 1 ? ?
(3)设 ? ? 1 , Cn ? an ( (2)解:

1 1 1 ?{ } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的等差数列,∴ ? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1 . ?bn ? 1 . b1 bn bn n ?1 1 n ?1 1 1 n ?1 (3)解: ? ? 1 时 , an ? ( ) ,? Cn ? an ( ? 1) ? ( ) n 2 bn 2

1 1 ?Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( )2 ? 2 2

1 ? n( )n?1 ① 2


①-②得:
n ? ? 1 ?n ? 1 ?1? Tn ? 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? 2 ?2? ? ? ? ?2? ? ∴

所以: Tn ? 4(1 ? ( )n ) ? 2n( )n .

1 2

1 2

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