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广东广州市2019届高三数学一轮复习模拟试题精选 圆锥曲线与方程 Word版含答案

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圆锥曲线与方程
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知抛物线 A. 4 【答案】B 2.已知圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和直 线 OP 相较于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是( A.圆 【答案】D 3.若直线 mx- ny = 4 与⊙O: x +y = 4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 点个数是( A.至多为 1 【答案】B ) B.2 C.1 D .0
2 2

的焦点为 F,过 F 的直线与该抛物线相交于 ) B. 8 C. 12 D. 16

两点,则

的最小值是(

) D.双曲线一支

B.椭圆

C.抛物线

x2 y 2 ? ? 1 的交 9 4

x2 y 2 ? 2 ? 1? a>b>0 ? 2 b 4.椭圆 a 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A .在椭圆上存在点 P
满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )

2 A. (0, 2 )

1 B. (0, 2 ) 1 D.[ 2 ,1]

C.[ 【答案】D

2 ? 1 ,1]

5. 已知双曲线 E 的中心为原点,F (3, 0) 是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则双曲线 E 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 6 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 5

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】C 6.抛物线 y
2

? 2p x

的焦点为 F,点 ABC 在此抛物线上,点 A 坐标为(1,2).若点 F 恰为△ABC ) C.

的重心,则直线 BC 的方程为( A.

x? y ?0

B.

2x ? y ?1 ? 0

x? y ?0

D.

2x ? y ?1 ? 0

【答案】B

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7. 已知 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF⊥x 轴, OP∥AB(O 为原点), a2 b2
)

则该椭圆的离心率是(

A.

2 2

B.

2 4

C.

1 2

D.

3 2

【答案】A 8.抛物线 x ? ?2 y 的准线方程是(
2

) C. x

A.

y?

1 2

B. y

?

1 8

?

1 4
)

D. x

?

1 8

【答案】D 9.方程

x ? 1 lg( x 2 ? y 2 ? 1) ? 0 所表示的曲线图形是(

【答案】D 10.椭圆的两个焦点是 F1(-1, 0), F2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中 项,则该椭圆方程是( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

【答案】C 11.我们把离心率为黄金比

x2 y2 5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆” .设 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)为“优美 a b 2
)

椭圆” ,F、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它短轴的一个端点,则∠ABF 等于( A.60° B.75° C.90° D.120°

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【答案】C 12.设双曲线 M

:

x2 ? y 2 ? 1, 点C (0,1), 若直线x ? y ? 1 ? 0 交双曲线的两渐近线于点 A、B, 2 a
)

且 BC

? 2 AC ,则双曲线的离心率为(
5 2
B.

A.

10 3

C.

5

D.

10

【答案】B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知过点 P(1,0)且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 |AB|= 【答案】 .

y 2 ? 4x 交于 A、B 两点,则弦长

16 3
1 2 x 的焦点,与抛物线相切于点 P(?4,?4) 的直线 l 与 x 轴的交点为 Q , 4


14.设 F 为抛物线 y ? ? 则 ?PQF 的值是 【答案】

? 2
x2 y 2 ? ? 1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,∠F1PF2=900,则△F1PF2 的面积为 25 9

15.已知 P 为椭圆 ___________; 【答案】9 16.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,直线 CD 过焦点 F1,则?F2CD 的周长为_______ 25 16

【答案】20 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知直线 L: y ? kx ? 1 与抛物线 C: y ? 面积为 S .

x2 ,相交于两点 A, B ,设点 M (0, 2) , ?MAB 的

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(Ⅰ)若直线 L 上与 M 连线距离为 1 的点至多存在一个,求 S 的范围.

? CD| 恒成立, (Ⅱ) 若直线 L 上与 M 连线的距离为 1 的点有两个, 分别记为 C , D , 且满足 S ? ? |
求正数 ? 的范围. 【答案】 (1)由已知, 直线 L 与抛物线相交,所以

? y ? kx ? 1 ? x 2 ? kx ? 1 ? 0, ? ? k 2 ? 4 ? 0 ,即 k 2 ? 4 … (1) ? 2 y ? x ?
又直线 L 与以 M 为圆心的单位圆相离或相切,所以 d ?

3 k ?1
2

? 1 , k 2 ? 8 …(2)

由(1) (2)得: 4 ? k ? 8
2

S?

1 1 3 3 2 | AB | ?d ? 1? k 2 ? k 2 ? 4 ? ? k ? 4 ? (0,3] 2 2 2 k ?1 2
(2)由题意可知,当直线 L 与以 M 为圆心的单位圆相交于点 C,D 时,可得

k 2 ? 8 ,且 | CD |? 2 1 ?

9 k2 ?8 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1



f (k ) ?

S 3 (k 2 ? 4)(k 2 ? 1) 2 ? (k ? 8) , | CD | 4 k2 ?8

令t

? k 2 ? 8(t ? 0) ,

y?

3 (t ? 4)(t ? 9) 3 36 15 ? t ? ? 13(t ? 0) ,当且仅当 k ? ? 14 取到最小值是 4 4 t 4 t
15 4
2

所以, ? ?

18.已知椭圆 4 x

? y 2 ? 1及直线y ? x ? m ,当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围.

【答案】由 ?

?4 x 2 ? y 2 ? 1 2 2 得 5 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 ?y ? x ? m

因为直线与椭圆有公共点

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所以 ? ? 4m 19.抛物线 C :
2

? 20(m 2 ? 1) ? 0 ,解得 ?

5 5 ?m? 2 2

y 2 ? 4x 与直线 y ? 2 x ? k 相交于 A, B 两点,且 AB ? 15

(Ⅰ)求 k 的值. (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F ,若存在,求 点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设
2

A? x , y ? , B ? x , y
1 1 2
2

2

? ,由直线与抛物线方程联立可得:

4x ? 4(k ? 1) x ? k ? 0
?x ? x ? 1 ? k ? ?? k xx ? ? ? 4
1 2 2 1 2



AB ? 1 ? 2
2

2

?x ? x ?
1 2 2

2

? 4x x
1

2

可得

5 ?1 ? k ? ? k ? 15 即 k ? ?1
(Ⅱ)假设存在动点 P( x0 , y0 ) ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F , 由题意可知, AB 的中点 M 坐标为 (1,1) 由三角形重心的性质可知, PF 即 (1 ? x0 , ? y0 ) ? 2(0,1) ? ?

? 2FM
0

? x ?1 即 P(1, ?2) 满足抛物线方程 ? y ? ?2
0

故存在动点 P( x0 , y0 ) ,使得 ?ABP 的重心恰为抛物线 C 的焦点 F

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) F (? 2,0) ,F2 ( 2,0) , a b 20. 已知椭圆 的两个焦点分别为 1 点 M( 1 ,0 )
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,设点 N (3, 2) ,记直线 AN , BN 的 斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值. 【答案】 (Ⅰ)依题意,由已知得 c ? 解得 a ?

2 , a2 ? b2 ? 2 ,由已知易得 b ? OM ? 1,

3.
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则椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

? x ? 1, ? 2 ?x 6 ? y2 ? 1 x ? 1, y ? ? ? (II) ①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? 3 解得 3 .
2? 6 6 2? 3 ? 3 ?2 为定值. 2 2



A(1,

6 6 k1 ? k2 ? ) B(1, ? ) 3 , 3 ,则

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) .

x2 ? y2 ? 1 2 2 2 2 将 y ? k ( x ? 1) 代入 3 整理化简,得 (3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 3 ? 0 .
依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

6k 2 3k 2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 2 则 3k ? 1 , 3k ? 1 .
又 y1

? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) ,
k1 ? k2 ? 2 ? y1 2 ? y2 ? 3 ? x1 3 ? x2

所以

?

(2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) (3 ? x1 )(3 ? x2 ) [2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 6] 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?

?

?

12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 ?

3k 2 ? 3 6k 2 ? 4 ? ? 6] 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 6k 2 3k 2 ? 3 9 ? 3? 2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1

?

12(2k 2 ? 1) ? 2. 6(2k 2 ? 1)

综上得 k1 ? k2 为常数 2.

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21.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3 ,过右焦点 F2 的直线 l 交 a2 b2

双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)若 ?F 1 AB 的面积等于 6

2 ,求直线 l 的方程.
c a
2

【答案】 (Ⅰ)依题意, b ,∴双曲线的方程为: x ?3 , ? 2 ? a ? 1 , c ? 2 (Ⅱ)设 A ,F , ( xy ,1 ) , B ( xy ,2 ) :y ? kx (? 2 ) 1 2 2 (2,0) ,直线 l

?

y2 ? 1. (4 分) 3

? y ? k (x ? 2) ? 2 2 2 2 由? ,消元得 ( , k ? 3 ) x ? 4 k xk ?? 43 ? 0 y2 2 x ? ? 1 ? 3 ?
2 2 4 k 4 k ? 3 ,y , k ?? 3 时, x ? x ? , x x ? ? y ? k ( x ? x ) 1 2 12 1 2 1 2 2 2 k? 3 k? 3
2 2 2 2 ( 4 k ) ? 4 ( k ? 3 ) ( 4 k ? 3 ) 的面积 ?F AB S ? c yy ?? 2 k ? xx ? ? 2 k 1 1 2 1 2 2 k ? 3

?2 k ?

k2 ?1 4 2 2 ?6 3 ? , k ? 8 k ? 9 ? 0 ? k ? 1 ? k ? ? 1 k2 ?3

所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2 ) .

22.设动点 P 线 C.

? x, y ? ? x ? 0? 到定点 F ? ?

1 1 ? , 0 ? 的距离比到 y 轴的距离大 .记点 P 的轨迹为曲 2 ?2 ?

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A

?1,0? ,且圆心 M 在 P 的轨迹上, BD 是圆M在 y 轴的截得的弦,当M运动时弦长

BD 是否为定值?说明理由;
(3)过 F ?

?1 ? , 0 ? 做互相垂直的两直线交曲线 C 于 G、H、R、S,求四边形 GRHS 面积的最小值. ?2 ?
由题意知,所求动点 P

【答案】 (1)

? x, y ? 为以 F ? ?

1 1 ? , 0 ? 为焦点,直线 l : x ? ? 为准线的抛 2 ?2 ?

物线,方程为

y2 ? 2x ;

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? a2 ? ? a2 ? , a ? ,半径 r ? ?1 ? ? ? a 2 (2) 设圆心 M ? 2? ? 2 ? ?
? ? a2 ? a2 ? 2 2 ? y ? a ? a ? 圆的方程为 ? x ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? ?
令x ? 0得B
2 2

2

? 0,1? a? , D ?0, ?1? a?
? ?

? BD ? 2

即弦长 BD 为定值; (3)设过 F 的直线方程为 y ? k ? x ?

1? ? , G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? 2?

? 1? ? k2 ?y ? k ? x ? ? 2 2 2 由? 2 ? 得 k x ? ? k ? 2? x ? ? 0 ? 4 ? y2 ? 2x ?
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 1 ? 同理得 RS ? 2 ? 2k 四边形 GRHS 的面积 T ?
2

2 k2

GH ? 2 ?

2 k2

1? 2? 1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2k ? ? 2 ? 2 ? k ? 2 ? ? 8 . 2? k ? k ? ?

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