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14直线与平面垂直的判定与性质 2

时间:2014-05-30


直线与平面垂直的判定与性质 【知识要点】
1、 判定线面垂直的方法 1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 2、 判定两线垂直的方法 1、 定义:成 90 ? 角 2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直 4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂 直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 3、 判定面面垂直的方法 1、 定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 4、 面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为 90 ? 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 5、 各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90? 2、直线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90? 3、斜线与平面所成的角的取值范围是: 0? ? ? ? 90?

?0?,90??

?0?,90??
?0?,90?? ?0?,180??

4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是: 0? ? ? ? 180 ?

典型例题: 例 1、已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC ,求证: BC ? AD

A

B E C

D

例 2、 如图, 已知

平面



是⊙

的直径, 是⊙

上的任一点, 求证:



例3、已知:正方体ABCD-A1B1C1D1中,证明:AC1⊥平面A1BD.

例4、四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD.求证:AD⊥BC.

例5、如图,斜边为AB的 Rt ?ABC ,过A作 PA ? 平面ABC , AE ? PB , AF ? PC , E , F 分别为垂足 求证: PB ? 平面AEF
P E

F A

B
A

C

例 6、如图,P 是△ABC 所在平面外一点,PA=PB,CB⊥平面 PAB,M 是 PC 的中点,N 是 AB 上 的点,AN=3NB,求证:MN⊥AB;

同步练习 一、选择题 1、下列命题正确的是( ) A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直 C.垂直于同一平面的两条直线平行 D.平行于同一平面的两条直线平行 2、如果一条直线 l 与平面 ? 的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面 ? 的位置关系( A. l ? ? B. l ? ? C. l // ? D. l ? ?或l // ? 3、在下列四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是 (
A A C A C C C A



)

D B B D

B

D B

D

( A) ( B) (C ) ( D) 4、若 a, b, c 表示直线, ? 表示平面,下列条件中,能使 a ? ? 的是( ) ( A) a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? ( B ) a ? b, b // ? (C ) a b ? A, b ? ? , a ? b ( D) a // b, b ? ?

5、 已知l 与 m 是两条不同的直线, 若直线l ? 平面? , ①若直线 m ? l , 则 m // ? ; ②若 m ? ? , 则 m // l ; ③若 m ? ? ,则 m ? l ;④ m // l ,则 m ? ? 。上述判断正确的是(
( A) ①②③ ( B ) ②③④ (C ) ①③④ ( D) ②④

) ( )
A1 D A

6、已知直线 a、b 和平面 M、N,且 a ? M ,那么 (A) b ∥M ?b⊥a (C)N⊥M ?a∥N a ? N ? M ?N ?? ( D

D1

F B1

C1

(B)b⊥a ? b∥M )

C E B

三、简答题 1.已知 PA⊥ ⊙ O 所在的平面,AB 是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上任意一点,过 A 点作 AE⊥ PC 于 点 E,求证:AE⊥ 平面 PBC
P

E A O C B

2、(2009 年广东卷文) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P- EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG


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