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【数学】1.2.0 空间几何体的三视图和直观图课件(新人教A版必修2)

时间:2012-03-06


2012年 2012年3月6日星期二10时41分44秒 日星期二10时41分44秒 10

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1.了解中心投影和平行投影的概念. 了解中心投影和平行投影的概念. 了解中心投影和平行投影的概念 2.会画简单的空间几何体 柱、锥、台、球及其组合 的三视 会画简单的空间几何体(柱 球及其组合)的三视 会画简单的空间几何体 能够识别三视图所描述的模型. 图,能够识别三视图所描述的模型 3.会用“斜二测画法”画出空间几何体的直观图. 会用“斜二测画法”画出空间几何体的直观图. 会用

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在前一节中我们主要学习了柱、 在前一节中我们主要学习了柱、锥、台、球的结构特征, 球的结构特征 对空间几何体有了一个直观性、概念性的认识. 对空间几何体有了一个直观性、概念性的认识. 本节我们将要学习如何将空间几何体用平面图形表示出 同时能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构. 来,同时能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构

我们将在了解投影知识的基础上,学习空间几何体的三 我们将在了解投影知识的基础上, 视图和直观图. 视图和直观图.

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新课引入
大家看(屏幕投影庐山彩照)

师:横看成岭侧成峰, 远近高低各不同。 不识庐山真面目, 只缘身在此山中。
哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗? 这首诗教会了我们怎样观察物体(横看、侧看、 近看、身处山中看)。这也是我们这节课将要 学习的内容——从不同方向看
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欣赏三视图

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欣赏三视图

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在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影. 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影.其 投影 投影线, 投影面. 光线叫做投影线 留下物体影子的屏幕叫做投影面 中,光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.

投射线可自一点发出, 投射线可自一点发出,也可是一束与投影面成一定角度的 平行线,这样就使投影法分为中心投影 中心投影和 平行线,这样就使投影法分为中心投影和平行投影
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观察下列投影图,并将它们进行比较 观察下列投影图 并将它们进行比较

结论: 结论:我们把光由一点向外散射形成的投 影称为中心投影。 影称为中心投影。
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光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影. 光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.其投影 中心投影 投影中心). 线交于一点(投影中心 线交于一点 投影中心 .

在中心投影中, 在中心投影中,如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置,则其投影的大小也随之改变. 的距离、位置,则其投影的大小也随之改变.
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观察下列投影图,并将它们进行比较 观察下列投影图 并将它们进行比较

结论: 结论: 我们把在一束平行光线照射下形 成的投影,称为平行投影。 成的投影,称为平行投影。平行投影按 照投射方向是否正对着投影面, 照投射方向是否正对着投影面,可以分 为斜投影和正投影两种。 为斜投影和正投影两种。
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从图中可以看出, 从图中可以看出,空间 图形经过中心投影后, 图形经过中心投影后,直线 变成直线, 变成直线,但平行线可能变 成了相交的直线. 成了相交的直线.

中心投影后的图形与原图 形相比,虽然改变很多, 形相比,虽然改变很多,但直 观性强, 观性强,看起来与人的视觉效 果一致,最象原来的物体. 果一致,最象原来的物体.所 以在绘画时, 以在绘画时,经常使用这种方 法,但在立体几何中很少用中 心投影原理来画图. 心投影原理来画图.
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如果将投影中心移到无穷远处,则所有的投影线都相互平 如果将投影中心移到无穷远处, 无穷远处 投射线为平行线时的投影称为平行投影. 这种投射线为平行线时的投影称为平行投影 行,这种投射线为平行线时的投影称为平行投影.

正投影: 正投影:投 射线垂直于 投影面

斜投影: 斜投影:投 射线倾斜于 投影面

正投影能正确的表达物体的真实形状和大小, 正投影能正确的表达物体的真实形状和大小,作图比较方 在作图中应用最广泛. 便,在作图中应用最广泛. 斜投影在实际中用的比较少,其特点是直观性强, 斜投影在实际中用的比较少,其特点是直观性强,但作图 比较麻烦,也不能反映物体的真实形状, 比较麻烦,也不能反映物体的真实形状,在作图中只是作为一 种辅助图样. 种辅助图样.
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三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

S

投 射 方 向

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的, 物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的,则 平行投影,如果聚于一点,则为中心投影 中心投影. 为平行投影,如果聚于一点,则为中心投影.
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中心投影: 中心投影:投射线交于一点

投影的分类 斜投影 平行投影 投射线平行 正投影(本节主要学习利用正投影 正投影绘制 正投影(本节主要学习利用正投影绘制 空间图形的三视图, 空间图形的三视图,并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征) 视图了解该空间图形的基本特征)

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把一个空间几何体投影到一个平面上, 把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面 图形.视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形 是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 图形.视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌, 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌,因此我们需 要从多个角度进行投影. 要从多个角度进行投影.

三 视 图

1.光线从几何体的前面向后面 1.光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图 光线从几何体的前面向后 叫做几何体的正视图 正视图. 叫做几何体的正视图. 2.光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 光线从几何体的左面向右面 2.光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 叫做几何体侧视图 侧视图. 叫做几何体侧视图. 3.光线从几何体的 面向下 光线从几何体的上 3.光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图 叫做几何体的俯视图. 叫做几何体的俯视图.

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根据长方体的模型,请您画出它们的三视图, 根据长方体的模型,请您画出它们的三视图,并 观察三种图形之间的关系. 观察三种图形之间的关系. 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样,俯视图和正 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样, 高度一样 长度一样 宽度一样 视图的的长度一样,侧视图和俯视图的宽度一样. 视图的的长度一样,侧视图和俯视图的宽度一样.
高平齐
正视图 正视图

} 侧视图
高度

侧 视 图

长 对正 {

长度

宽相等
宽度

俯视图 俯视图

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视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到 的图形。 的图形。 请观察下面的投影图,并进行比较 并进行比较: 请观察下面的投影图 并进行比较:

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结论:光线从几何体的前面向后面正投影 结论:光线从几何体的前面向后面正投影, 前面向后面正投影 得到投影图,这种投影图叫做几何体的 这种投影图叫做几何体的正 得到投影图 这种投影图叫做几何体的正 视图(也叫主视图 ;光线从几何体的上面 视图 也叫主视图);光线从几何体的上面 也叫主视图 正投影,得到投影图 向下面正投影 得到投影图,这种投影图叫 向下面正投影 得到投影图 这种投影图叫 做几何体的俯视图;光线从几何体的左面 做几何体的俯视图;光线从几何体的左面 俯视图 向右面正投影 得到投影图,这种投影图叫 正投影,得到投影图 向右面正投影 得到投影图 这种投影图叫 做几何体的侧视图 也叫左视图); 侧视图(也叫左视图 做几何体的侧视图 也叫左视图 ; 几何体的正视图 侧视图和俯视图统称 正视图、 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称 为几何体的三视图 三视图。 为几何体的三视图。

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请再次比较上述三个视图, 请再次比较上述三个视图 说说三视图中反应的长、 高的特点。 说说三视图中反应的长、宽、高的特点。

结论: 结论: 长对正” “长对正”, 高平齐” “高平齐”, 宽相等” “宽相等”
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三视图的特点

长对正 高平齐 宽相等

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请同学们画出下列几何图的三视图

圆柱
正视图 侧视图

圆锥
正视图 侧视图 正视图


侧视图

·
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俯视图

俯视图

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俯视图

三视图的作图步骤
1 位置 正视图 侧视图 俯视图 2.运用长对正、高平齐、 2.运用长对正、高平齐、 运用长对正 宽相等的原则画出其它视 图

俯视图方向

侧视图方向

正视图方向

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三视图表达的意义 从前面正对着物体观察,画出主视图, 从前面正对着物体观察,画出主视图,主视 主视图 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形. 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形. 从上向下正对着物体观察,画出俯视图, 从上向下正对着物体观察,画出俯视图,布 俯视图 置在主视图的正下方, 置在主视图的正下方,俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形. 宽及上下两个面的实形. 从左向右正对着物体观察,画出左视图, 从左向右正对着物体观察,画出左视图,布 左视图 置在主视图的正右方, 置在主视图的正右方,左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形. 高及左右两个面的实形. 三视图能反映物体真实的形状和长、 三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
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问题: 同学们能画出长方体的三视图吗? 问题: 同学们能画出长方体的三视图吗
长 高 “俯、侧视图宽相 俯 等’’ 宽
“正、俯视图长对正 俯视图长对正”

“正、侧视图高平齐” 正 侧视图高平齐”

正视图

侧视图
从上面看

宽 从左面看

俯视图
从正面看

“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律, 长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律, 长对正 是画图和读图的重要依据. 是画图和读图的重要依据.
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基本几何体三视图

上一节学习的棱柱、棱锥、 上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台 的三视图是怎样的? 的三视图是怎样的?

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棱柱的三视图





六棱柱

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棱锥的三视图





正三棱锥

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棱锥的三视图





正四棱锥

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棱台的三视图





正四棱台

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圆台的三视图





圆台

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圆台的三视图





圆台

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例1、画下例几何体的三视图 、

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例2、画下例几何体的三视图 、

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例3、画下例几何体的三视图 、

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想一想:下列正三棱锥的三视图是怎样的 想一想 下列正三棱锥的三视图是怎样的? 下列正三棱锥的三视图是怎样的




正三棱锥 练一练: 试画出:四棱柱、四棱锥的三视图 练一练 试画出:四棱柱、四棱锥的三视图.
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请您画出圆柱的三视图 俯



圆柱

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请您画出圆锥的三视图





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请您画出圆台的三视图





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请您画出六棱柱的三视图





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请您画出六棱锥的三视图





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请您画出四棱台的三视图





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请您画出球的三视图





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三通水管

图2

图1 如果要做一个水管的三叉接头,工人事先看到的不是图1 如果要做一个水管的三叉接头,工人事先看到的不是图1, 而是图2,然后根据这三个图形制造出水管接头. 而是图2 然后根据这三个图形制造出水管接头.
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画出下面这个组合图形的三视图. 画出下面这个组合图形的三视图.

遮挡住看不见的线用虚线
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请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型. 请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型. 圆锥

圆台

冰淇淋

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(1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体 (4) 两个圆台组成的简单组合体
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五棱锥

三棱柱

四个圆柱组成的简单组合体

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2.根据下列三视图,想象对应的几何体. 根据下列三视图,想象对应的几何体. 根据下列三视图

三棱柱

圆台

四棱柱
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四棱柱与 圆柱组成的 简单组合体

5.如图,已知几何体的三视图,想象对应的几何体的结构特征 如图,已知几何体的三视图, 如图

?

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图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 图片都是空间图形在平面上的反映, 以了解空间图形的一些性质和特征. 以了解空间图形的一些性质和特征. 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法, 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图. 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般 采用中心投影或平行投影. 采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线 或垂直线 仍保持水平(或垂直 或垂直线)仍保持水平 或垂直), 在中心投影中,水平线(或垂直线 仍保持水平 或垂直 ,但 斜的平行线则会相交,交点称为消点. 斜的平行线则会相交,交点称为消点.
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中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象, 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复 又不易度量. 杂,又不易度量. 立体几何中常用平行投影(斜投影 来画空间图形的直观图 立体几何中常用平行投影 斜投影)来画空间图形的直观图, 斜投影 来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法 斜二测画法. 这种画法叫斜二测画法. 投影规律 1.平行性不变,但形状、长度、 1.平行性不变,但形状、长度、 平行性不变 夹角会改变; 夹角会改变; 2.平行直线段或同一直线上的 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变; 两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 3.在太阳光下, 在太阳光下 直线在地面上的投影长不变. 直线在地面上的投影长不变.

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例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为 轴,对称轴 所在的直线为X轴 对称轴MN 在六边形 中 所在的直线为 所在直线为Y轴 两轴交于点O. 所在直线为 轴,两轴交于点 .画对应的 X' ,Y ' 轴,两轴相交 于点 O' ,使 ∠X 'OY ' = 45o
y
F A M E D x

y'

O

O

x'

B

N C

注意: 建系时要尽量考虑图形的对称性 注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置. 画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置 画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.
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1 (2)以O为中心,在 x 上取 A D = AD ,在 y 轴上取 M N = 2 MN 以 为中心, ' M'为中心,画 '为中心,画 B'C' x 轴,并等于 BC ,再以 为中心, 以点 N 为中心,
'

'

'

'

'

'

E'F'

x' 轴,并等于 EF
y
F A M E
D x

y′
A′
B′

O

F ′ M ′ E′
N′

O′

D′

C′

x′

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,铅垂放置的线段长变为原 注意:水平放置的线段长不变, 来的一半. 来的一半.
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(3)连接 A'B' , C' D' , E'F' , F' A' , 并擦去辅助线 ’轴和 ’轴,便获得 连接 并擦去辅助线x 轴和y 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A' B'C' D' E'F' 正六边形 水平放置的直观图
y
F A M E D x

y′
A′
B′

O

F ′ M ′ E′
N′

O′

D′

C′

x′

B

N C

~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤 请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~ 请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤
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斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴,两轴相交于 点. 在已知图形中取互相垂直的x轴和 在已知图形中取互相垂直的 轴和y轴 两轴相交于O点 画直观图时,把它画成对应的x 两轴交于O 画直观图时,把它画成对应的 ’轴、y’轴,两轴交于 ’,使 它们确定的平面表示水平平面. ∠x'Oy' = 45o (或135o ) ,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或 轴的线段, (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 已知图形中平行于 轴或y轴的线段 成平行于x’轴或 轴的线段. 轴或y’轴的线段 成平行于 轴或 轴的线段. (3)已知图形中平行于 轴的线段,在直观图中保持原长度不 已知图形中平行于x轴的线段, 已知图形中平行于 轴的线段 平行于y轴的线段 长度为原来的一半. 轴的线段, 变;平行于 轴的线段,长度为原来的一半.

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关于水平放置的 的直观图的画法 的画法, 关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画 在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版. 法.在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.

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例2.用斜二测画法画长 宽,高分别是 . 斜二测画法画长,宽 高分别是4cm,3cm,2cm的长方 的长方 画长 高分别是 体的直观图

联想水平放置的平 面图形的画法, 面图形的画法,并注意 到高的处理

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( 1) 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45o , ∠xOz = 90o.
(2)画 底 面 . 以 O 为 中 心 , 在 x 轴 上 取 线 段 M N , 使 M N = 4 c m ; 在 轴 上 取 线 段 P Q , 使 P Q = 1.5c m ; 分 别 过 点 M 和 N 作 y 轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q 作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD

Z

Z

y
D
O

y
Q
O

x

M

C

N

A

x

P

B

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(3) 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
cm长 上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.

(4) 成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
, 改为虚线) 就可得到长方体的直观图.

D′

Z
B′
O

C′
Q

A′

y
A′

D′

C′
B′
C

D
P

C

M

N

x
A

D

A

B

B

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例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图 已知几何体的三视图,

Z ·
O′

y′

·′ O · O
正视图

·′ O · O
侧视图

y

x′

O

x
·
俯视图

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三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构 根据三视图, 根据三视图,我们可以得到一个精确的空间几 何体,正是因为这个特点 正是因为这个特点, 何体 正是因为这个特点,使它在生产活动中得 到广泛应用(比如零件图纸 建筑图纸等).直观 比如零件图纸、 到广泛应用 比如零件图纸、建筑图纸等 直观 图是对空间几何体的整体刻画, 图是对空间几何体的整体刻画,我们可以根据 直观图的结构想象实物的形象. 直观图的结构想象实物的形象.
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直观强、 中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 斜投影 不改变原 正投影 物形状

正视图 侧视图 俯视图

}

三视图

视图 可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象

直观图 长对正、高平齐、 长对正、高平齐、宽相等 根据三视图, 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体
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斜二测画法


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