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同角三角函数的基本关系式(1)

时间:2013-06-13

1.2.2 同角三角函数的基本关系式(1)
一、课题:同角三角函数的基本关系式(1) 二、教学目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2.掌握三种基本关系式之间的联系; 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 三、教学重点:三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。 四、教学过程: (一)复习: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P( x, y) , 它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么:

sin ? ?

y x y r x r , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , sec ? ? , csc ? ? . r r x x y y

(二)新课讲解: 1.同角三角函数关系式: (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . (2)商数关系:

sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? . cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? .
说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如
2 2

tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) ; 2

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

? cos? ? ? 1? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , c o s ?
2.例题分析: 例 1 (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

sin ? 等。 tan ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5
2 2

2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (

12 2 5 ) ? ( )2 , 13 13

又∵ ? 是第二象限角,∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ?

tan ? ?

sin ? 12 ?? , cos ? 5
2 2

5 ,从而 13

cot ? ?

1 5 ?? . tan ? 12
2 2

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 又∵ cos ? ? ?

∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2

4 5

3 5

3 sin ? 3 ?? ; , tan ? ? 5 cos ? 4 3 sin ? 3 ? . 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? , tan ? ? 5 cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ?
-1-

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。

总结:已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角 的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。解题时产生 遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平 方根。 例 2 已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .
2 2 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

sin ? , cos ?
2

∴ (cos? ? tan ? )2 ? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1,即有 cos ? ? 又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ?

1 , 1 ? tan 2 ?

1 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

s i n ? t a n? ? ?

c o? ? s

tan ? ? t2? 1 an ; 2 1 ? t a n?
1 1 ? tan 2 ? , ?? 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?

当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ? ?

cos ? cos ? 2 2 , 即 sin ? ? , 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , sin ? cot ? 2 1 cos ? 1 m2 ? cos 2 ? ? cos 2 ? (1 ? ) ? 1 ,即 cos 2 ? (1 ? 2 ) ? 1, cos 2 ? ? ∴ , m cot 2 ? cot 2 ? 1 ? m2 又∵ m ? 0 ,∴ ? 为象限角。
解: ∵ cot ? ? 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? ?

tan ? ? t2? 1 an . 2 1 ? t a n? 例 3 已知 cot ? ? m ( m ? 0 ) ,求 cos? s i n ? t a n? ? ? c o? ? ? s

m2 ; m2 ? 1

m2 . m2 ? 1

3.总结解题的一般步骤: ①确定终边的位置(判断所求三角函数的符号) ; ②根据同角三角函数的关系式求值。 五、课堂练习:六、小结:1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 3.在以上的题型中:先确定角的终边位置,再根据关系式求值。如已知正弦或余弦,则先用平方 关系,再用其它关系求值;若已知正切或余切,则可构造方程组来求值。 七、作业:

-2-


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