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2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第12章 第2讲 直接证明与间接证明 Word版含解析]

时间:2015-04-10


第2讲
一、选择题

直接证明与间接证明

1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故该奇数是 3 的倍数.” 上述推理( A 小前提错 C 正确 ) B 结论错 D 大前提错

解析 大前提,小前提都正确,推理正确,故选 C. 答案 C 2.对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题中真命题是( A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m?α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n 解析 对于平面 α 和共面的直线 m, n, 真命题是“若 m?α, n∥α, 则 m∥n”. 答案 C 3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 A.2ab-1-a b ≤0 ?a+b?2 C. 2 -1-a2b2≤0
2 2 2

).

(
2

).

a4+b4 B.a +b -1- 2 ≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0

解析 因为 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0,故选 D. 答案 D 4. 命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n, 那么数列{an}一定是等差数列” 是否成立( A.不成立 解析 ). B.成立 C.不能断定 D.能断定

∵Sn=2n2-3n,

∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1 时,a1=S1=-1 符合上式). 又∵an+1-an=4(n≥1),

∴{an}是等差数列. 答案 B ).

1 1 1 5.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+b,b+c ,c+a( A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 解析 ∵a>0,b>0,c>0, 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ∴?a+b?+?b+ c?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2

? 1? ?c+c?≥6,当且仅当 a=b=c 时,“=”成立,故三者不能都小于 2,即至 ? ? 少有一个不小于 2. 答案 D 6.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质:(n+1)*1=n*1+1, 则 n*1= ( A.n 解析 答案 ). B.n+1 C.n-1 D.n2

由(n+1)*1=n*1+1,得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=n. A

二、填空题 7 .要证明“ 3 + 7 < 2 5 ”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 ________(填序号). ①反证法,②分析法,③综合法. 答案 ②

8.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. 解析 取 a=2,b=1,得 m<n.再用分析法证明: a- b< a-b? a< b+ a-b?a<b+2 b· a-b+a-b?2 b· a-b>0,显 然成立. 答案 m<n 1 9 9.已知 a,b,μ∈(0,+∞)且a+b=1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围 是________.

1 9 解析 ∵a,b∈(0,+∞)且a+b=1, ?1 9? ?9a b? ∴a+b=(a+b)?a+b?=10+? b +a?≥10+2 9=16,∴a+b 的最小值为 16. ? ? ? ? ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 答案 (0,16] 10.若 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b 与 a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的是_______. 解析 ①②正确;③中 a≠c,b≠c,a≠b 可能同时成立,

如 a=1,b=2,c=3.选 C. 答案 ①② 三、解答题 |a|+|b| 11.已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| 证明 要证

a⊥b?a·b=0,
|a|+|b| ≤ 2. |a+b|

只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2), 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0, 上式显然成立,故原不等式得证. 12.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明
2 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 =S1S3,

2 即 a1 (1+q)2=a1· a1· (1+q+q2),

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;

当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 13.已知 f(x)=x2+ax+b. (1)求:f(1)+f(3)-2f(2); 1 (2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于2. (1)解 ∵f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,

∴f(1)+f(3)-2f(2)=2. (2)证明 1 假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于2.

1 1 1 1 1 1 则-2<f(1)<2,-2<f(2)<2,-2<f(3)<2, ∴-1<-2f(2)<1,-1<f(1)+f(3)<1. ∴-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2, 这与 f(1)+f(3)-2f(2)=2 矛盾. ∴假设错误,即所证结论成立. 14. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若

f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0.
1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解 (1)证明 ∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,

∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,

c 1?1 ? 又 x1x2= ,∴x2= ? ≠c?, a a?a ?
1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0, 1 ?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾,∴ ≥c, a a a ? ? ? ? 1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

a

(3)证明

由 f(c)=0,得 ac+b+1=0,

∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a
即-

b 1 < .又 a>0, 2a a

∴b>-2,∴-2<b<-1.


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