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2.2.1(二)椭圆及其标准方程(二)

时间:2018-02-06


2.2.1
学习目标

椭圆及其标准方程(二)

加深理解椭圆定义及标准方程,能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.

知识点 椭圆标准方程的认识与推导 思考 1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么? 答案 标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴或 y 轴上. x y 标准方程的代数特征:方程右边为 1,左边是关于 与 的平方和,并且分母为不相等的正值. a b 思考 2 依据椭圆方程,如何确定其焦点位置? 答案 把方程化为标准形式,与 x2,y2 相对应的分母哪个大,焦点就在相应的轴上. 思考 3 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单?并写出求解过 程. 答案 (1)如图所示,以经过椭圆两焦点 F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy.

(2)设点:设点 M(x,y)是椭圆上任意一点,且椭圆的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0). (3) 列式:依据椭圆的定义式 |MF1| + |MF2| = 2a 列方程,并将其坐标化为 ?x+c?2+y2 + ?x-c?2+y2=2a. x2 y2 便于记忆,引入字母 b,令 b2=a2-c2,可得椭圆标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ①

(4)化简:通过移项、两次平方后得到:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),为使方程简单、对称、 ②

(5)从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解(x,y)为坐标 的点到椭圆的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0)的距离之和为 2a,即以方程②的解为坐标的点 都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知, 方程②是椭圆的方程, 我们把它叫做椭圆的标准方程. 梳理 (1)椭圆的标准方程的形式 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 形状、大小 形状、大小相同 a>b>0, b2=a2-c2,焦距为 2c 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b 2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b 2

(2)方程 Ax2+By2=1 表示椭圆的充要条件是 A>0,B>0 且 A≠B. (3)椭圆方程中参数 a,b,c 之间的关系为 a2=b2+c2.

类型一 椭圆标准方程的确定 例 1 求焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3,1)两点的椭圆的标准方程. 解 方法一 (1)当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

? ? 依题意有? ?-2 ? ? a

2 ? 3?2 ?-2? + 2 =1, a2 b

2

3?2

12 + 2=1, b

2 ? ?a =15, ? 解得 2 ?b =5. ?

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 (2)当焦点在 y 轴上时, y2 x2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ?-2? ? 3? ? ? a + b =1, 依题意有? 1 ?-2 3? ? ?a + b =1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?a =5, ? 解得 2 ?b =15. ?

此时不符合 a>b>0,所以方程组无解. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0 且 A≠B),
?3A+4B=1, ? 依题意有? 解得 ? ?12A+B=1,

?A=15, ? 1 ?B=5.

1

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 反思与感悟 求解椭圆的标准方程,可以利用定义,也可以利用待定系数法,选择求解方法 时,一定要结合题目条件,其次需注意椭圆的焦点位置. 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. 3 5 (1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(- , ); 2 2 (2)焦点在 y 轴上,且经过两点(0,2)和(1,0).

解 (1)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由椭圆的定义知: 2a= 3 5 ?- ?2+? +2?2+ 2 2 3 5 ?- ?2+? -2?2=2 10,即 a= 10. 2 2

又 c=2,∴b2=a2-c2=6. ∴所求的椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1. 10 6

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 又椭圆经过点(0,2)和(1,0),

?a +b =1, ∴? 0 1 ?a +b =1,
2 2 2 2

4

0

?a2=4, ? ∴? 2 ?b =1. ?

y2 ∴所求的椭圆的标准方程为 +x2=1. 4 类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用 例 2 如图,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足.当点 P 在 圆上运动时,求线段 PD 的中点 M 的轨迹.

解 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), y0 则 x=x0,y= .因为点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上, 2
2 所以 x2 0+y0=4.



把 x0=x,y0=2y 代入方程①, x2 得 x2+4y2=4,即 +y2=1. 4 所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆. 引申探究 若本例中“过点 P 作 x 轴的垂线段 PD”, 改为“过点 P 作 y 轴的垂线段 PD”.那么线段 PD 的中点 M 的轨迹又是什么?

解 设 M(x,y),P(x0,y0),
2 则 x2 0+y0=4,(*)

x ? ?x= 20, y2 ? 代入(*)式得 +x2=1. 4 ?y=y0 ? 故点 M 的轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 反思与感悟 如果一个动点 P 随着另一个在已知曲线上运动的动点 Q 而运动, 则求 P 点的轨 迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为 (1)设点:设所求轨迹上动点坐标为 P(x,y),已知曲线上动点坐标为 Q(x1,y1).
?x1=g?x,y?, ? (2)求关系式:用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标,即得关系式? ?y1=h?x,y?. ?

(3)代换: 将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程, 并把所得方程化简即可. 跟踪训练 2 如图所示,B 点坐标为(2,0),P 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,∠POB 的 平分线交直线 PB 于点 Q,求点 Q 的轨迹方程.

|BQ| |OB| 解 由三角形角平分线性质得 = =2. |QP| |OP| → → ∴BQ=2QP. 设 Q(x,y),P(x0,y0),则(x-2,y)=2(x0-x,y0-y),
? ?x-2=2x0-2x, ∴? ∴ ? ?y=2y0-2y,

2 , ?x =3x- 2 ? 3y ?y = 2 .
0 0

又∵点 P 在单位圆 x2+y2=1 上. 3x-2 2 3 2 ∴( ) +( y) =1. 2 2 ?3x-2?2 9 2 ∴点 Q 的轨迹方程为 + y =1. 4 4

x2 1.方程 +y2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为( m 1 A.(1,+∞) B.( ,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,1) 2

)

答案 A 解析 因为焦点在 x 轴上,故 m>1,故选 A. 2.设 B(-4,0),C(4,0),且△ABC 的周长等于 18,则动点 A 的轨迹方程为( x2 y2 A. + =1(y≠0) 25 9 x2 y2 C. + =1(y≠0) 16 16 答案 A 解析 由已知|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.由椭圆的定义可知,点 A 的 轨迹是椭圆的一部分,且 2a=10,2c=8,即 a=5,c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9,则 x2 y2 椭圆方程为 + =1.当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A,B,C 三点不能构成三角形.因此, 25 9 x2 y2 顶点 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 9 x2 y2 3.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB a b 的中点坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程为____________. 答案 x2 y2 + =1 18 9 y2 x2 B. + =1(y≠0) 25 9 y2 x2 D. + =1(y≠0) 16 9 )

解析

? 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? x y ?a +b =1,②
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? ①-②得 + =0, a2 b2 y1-y2 b2?x1+x2? ∴kAB= =- 2 , x1-x2 a ?y1+y2? b2 由题意,得 x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB= 2, a 又 kAB= 0+1 1 b2 1 = ,∴ 2= , a 2 3-1 2

又 c2=a2-b2=9,∴b2=9,a2=18, x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 x2 4.在椭圆 +y2=1 中, 有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2 出发经椭圆反射后经过另一个焦 3 点 F1,再次被椭圆反射后又回到 F2,则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_______. 答案 4 3 解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为 4a,即 4 3.

5.△ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 b=6,求顶点 B 的轨迹方程. 解 以直线 AC 为 x 轴,AC 的中点为原点,建立直角坐标系, 设 A(-3,0),C(3,0),B(x,y), 则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12, ∴B 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆, 且 a′=6,c′=3,b′2=27. x2 y2 故所求的轨迹方程为 + =1(y≠0). 36 27

1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表: 标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

不同点

图形

焦点坐标 定义 a、b、c 的关系

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

平面内到两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹 a2=b2+c2

相同点

x2 y2 2.所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点;在 2+ 2=1 a b y2 x2 x2 y2 与 2+ 2=1 这两个标准方程中,都有 a>b>0 的要求,如方程 + =1(m>0,n>0,m≠n)就 a b m n x y x2 不能肯定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与直线截距式 + =1 类比, 如 2+ a b a y2 =1 中,由于 a>b,所以在 x 轴上的“截距”更大,因而焦点在 x 轴上(即看 x2,y2 分母的 b2 大小). 要区别 a2=b2+c2 与习惯思维下的勾股定理 c2=a2+b2.

40 分钟课时作业
一、选择题 1.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析

? ?1 x y 方程 mx +ny =1,即 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件为?m>0, 1 1 m n 1 ? > , ?1 n m
2 2 2 2

1 >0, n

即 m>n>0.故选 C. 2.到两定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 答案 B 解析 ∵|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|, ∴M 的轨迹是以 F1,F2 为端点的线段,故选 B. x2 3.椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、 F2, 过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, 一个交点为 P, 4 则|PF2|等于( A. 3 7 B. 3C. D.4 2 2 ) )

答案 C 解析 不妨设 F1 的坐标为( 3,0),P 点坐标为(x0,y0), ∵PF1 与 x 轴垂直,∴x0= 3. x2 1 把 x0= 3代入椭圆方程 +y2=1,得 y2 0= . 4 4 1 7 ∴|PF1|= .∴|PF2|=4-|PF1|= . 2 2 x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点 P a b 的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 答案 B

1 1 解析 由题意知|PO|= |MF2|,|PF1|= |MF1|, 2 2 又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义知 P 点的轨迹是椭圆. x2 y2 5.如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a a+6 A.a>3 C.a>3 或 a<-2 答案 D 解析 焦点在 x 轴上,则标准方程中 x2 项的分母应大于 y2 项的分母,即 a2>a+6,解得 a>3 或 a<-2,且 x2,y2 项分母应分别大于 0,综上,a>3 或-6<a<-2. x2 y2 6.已知椭圆 + =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左,右焦点,若△F1PF2 为直角三角形, 4 2 则这样的点 P 有( ) B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 )

A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 C 解析 当∠PF1F2 为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点 P 有 2 个;同理当∠PF2F1 为直 角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2 最大,且为直角,此时这 样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 二、填空题 x2 y2 7.已知椭圆 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,到另一焦点的距离为 7,则 m m 16 =________. 答案 25 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴a=5, ∴a2=25,即 m=25. x2 8.设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是 10 ________. 答案 6 2 解析 将 P,Q 两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径,设 Q(x, y),则圆心(0,6)到椭圆上点的距离 d= x2+?y-6?2= -9y2-12y+46= ≤5 2,所以 P,Q 两点间的最大距离为 6 2. x2 → → 9.设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上,若F1A=5F2B,则点 A 3 的坐标是________. 2?2 -9? ?y+3? +50

答案 (0,± 1) 解析 根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d). F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点, 其坐标分别为(- 2,0),( 2,0), → → 可得F1A=(m+ 2,n),F2B=(c- 2,d). m+6 2 n → → ∵F1A=5F2B,∴c= ,d= . 5 5 m+6 2 2 ? ? 5 m n ∵点 A,B 都在椭圆上,∴ +n2=1, +( )2=1. 3 3 5
2

解得 m=0,n=± 1,故点 A 坐标为(0,± 1). x2 10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 +y2=1 的中心和右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则|OP|2 2 +|PF|2 的最小值为________. 答案 2 解析 由题意可知,O(0,0),F(1,0), 设 P( 2cosα,sinα), 则|OP|2+|PF|2=2cos2α+sin2α+( 2cosα-1)2+sin2α =2cos2α-2 2cosα+3=2(cosα- 所以当 cosα= 三、解答题 x2 y2 11.已知方程 + =1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. 5-2m m+1 解 (1)当方程表示焦点在 x 轴上的椭圆时, 4 则有 5-2m>m+1>0,解得-1<m< ; 3 (2)当方程表示焦点在 y 轴上的椭圆时, 4 5 则有 m+1>5-2m>0,解得 <m< . 3 2 4 4 5 综上,m 的取值范围为(-1, )∪( , ). 3 3 2 12.点 M(x,y)与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 M 的轨迹方 程.
? |MF| 1? 解 设 d 是点 M 到直线 x=8 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P=?M? = ?, d ? 2? ?

22 ) +2, 2

2 时,|OP|2+|PF|2 取得最小值 2. 2

?x-2?2+y2 1 由此得 = . 2 |8-x| 将上式两边平方,并化简,得 3x2+4y2=48, x2 y2 即点 M 的轨迹方程为 + =1. 16 12 x2 13.已知 x 轴上一定点 A(1,0),Q 为椭圆 +y2=1 上任一点,求线段 AQ 中点 M 的轨迹方程. 4 解 设中点 M 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x0,y0). 1 , ?x=x + 2 利用中点坐标公式,得? y ?y= 2 ,
0 0

? ?x0=2x-1, ∴? ? ?y0=2y.

x2 2 x2 0 2 ∵Q(x0,y0)在椭圆 +y =1 上,∴ +y0 =1. 4 4 将 x0=2x-1,y0=2y 代入上式, 得 ?2x-1?2 +(2y)2=1. 4

1 故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是(x- )2+4y2=1. 2


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