nbhkdz.com冰点文库

河北省衡水中学2013-2014学年高二下学期一调考试数学理试题

时间:2014-04-21


衡水中学 2013—2014 学年度第二学期一调考试
高二年级理科数学试卷

第 I 卷 选择题 (共 60 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的) 1.复数 z 满足 ( z ? i)?2 ? i ? ? 5 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2. “a = 1”是“复数 a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R ,i 为虚数单位)是纯虚数”的( A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要条件 D 既不充分也不必要

3.在证明 f(x)=2x+1 为增函数的过程中,有下列四个命题:

①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数 f(x)=2x+1 满足增 函数的定义是小前提;④函数 f(x)=2x+1 满足增函数的定义是大前提. 其中正确的命题是 A.①② B.②④
1 1

( C.①③
1 )

).

D.②③

4.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+b,b+c,c+a(

A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不小于-2 D.至少有一个不大于-2 5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架舰载机准备着舰,如果甲、 乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )

A. 12
(

B. 18
3

C. 24

D. 48

6, 已知函数 f(x)=x ) 4 A.极大值27,极小值 0

-px -qx

2

的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的极值情况为 4 B.极大值 0,极小值27 4 D.极大值-27,极小值 0

4 C.极大值 0,极小值-27
2

7.已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐

x2 y2 a b

近线方程为 y=2x,则双曲线的焦距等于 ( A. 5 B.2 5

). C. 3 D.2 3

8.已知空间四面体 D ? ABC 的每条边都等于 1,点 E , F 分别是 AB, AD 的中点,则 FE ? DC 等 于 ( )

??? ? ????

A.

1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ?

3 4

? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? 9.函数 f ? x ? ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( cos x, 0 ? x ? ? ? 2
A.



3 2

B. 1

C. 2

D.

1 2

10.已知双曲线的方程为

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过左焦点 F1 作斜率为 的直线交双曲线 2 3 a b
) D. 2 ? 3

的右支于点 P,且 y 轴平分线段 F1 P ,则双曲线的离心率为( A. 3 B. 5 ? 1 C. 2

11 . 把 3 盆 不 同 的 兰 花 和 4 盆 不 同 的 玫 瑰 花 摆 放 在 右 图 图 案 中 的

1, 2,3, 4,5, 6, 7 所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的
摆放方法为( A. 2680 种 ) B. 4320 种 C. 4920 种 D. 5140 种

12.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 ,则下列结论中正确的是( ln x



A.若 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是 f ( x ) 的极值点,则 f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内是增函数 B.若 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是 f ( x ) 的极值点,则 f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内是减函数 C. ?x ? 0, 且 x ? 1 , f ( x) ? 2 D. ?x0 ? 0,

f ( x) 在 ( x0 , ??) 是增函数

第Ⅱ卷 1 2

非选择题 1 3

(共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 用数学归纳法证明 1+ + +?+

1 <n(n∈N,且 n>1),第一步要证的不等式 2 -1
n

是__________________________________________.
?log2x ?x>0?, ? 14.已知函数 f(x)=? x ?3 ?x≤0? ?

且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根,则实

数 a 的取值范围是________. 15. 学校资料室有相同的物理书 3 本,历史书 2 本,数学书 4 本,分别借给四个理科学生和三个 文科学生,每人限借与本学科相关的书一本,求共有 种不同的借法。 x2 y2 16.如图所示,双曲线a2-b2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点 为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切 点分别为 A,B,C,D.则菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比 S1 值S =________. 2 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17.从 4 名男生和 5 名女生中任选 5 人参加数学课外小组,求在下列条件下各有多少种不同的选 法? (1)选 2 名男生和 3 名女生,且女生甲必须入选; (2)至多选 4 名女生,且男生甲和女生乙不同时入选.

18. 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3的菱形,且∠BAD=120°, 且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.

20.已知椭圆的中心在原点,焦点 F 在 y 轴的非负半轴上,点 F 到短轴端点的距离是 4,椭圆上 的点到焦点 F 距离的最大值是 6. (Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率 e ; ? MF ? 3 ? e ,问是否存在一个定点 A , (Ⅱ)若 F? 为焦点 F 关于直线 y ? 的对称点,动点 M 满足 ? MF ? ? 2 使 M 到点 A 的距离为定值?若存在,求出点 A 的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

21. 已知两定点 E(-2,0),F(2,0),动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足为 Q, 点 M 满足 PM ? MQ ,点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

?

?

???? ?

???? ?

???? ??? ? ??? ? (Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,点 N 满足 ON ? OA ? OB (O 为
原点) ,求四边形 OANB 面积的最大值,并求此时的直线 l 的方程.

22.已知函数 f(x)=x-ln(x+a)的最小值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞),有 f(x)≤kx2 成立,求实数 k 的最小值.

衡水中学 2013—2014 学年度第二学期一调考试

高二年级理科数学试卷答案
命题人:陈丽敏
1-5. ACCDC 12. 6-12.ABAAABD

审核人:褚艳春

1 1 13. 1+2+3<2
17. 答案: (1)36 18. (Ⅰ) f
'

14. (1,+∞)



15. 答案:76。

16.

5+2 2

(2)90

? x? ? 3x2 ? 3a ,∵曲线 y ?

f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ∴? ? ? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? 当 x ???

' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,

a,

? a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,
'

当 x?

?

a , ?? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,

?

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

19. 【解析】(1)如图,连接 BD.∵M,N 分别为 PB,PD 的中点,∴在△PBD 中,MN∥BD. 又 MN?平面 ABCD,∴MN∥平面 ABCD. 3 3 ? ? (2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 6),M?- , , 6?,N( 3,0, 6),C( 3,3,0). 2 2 ? ? 设 Q(x,y,z),则 C Q =(x- 3,y-3,z),C P =(- 3,-3,2 ∵C Q =λC P =(- 3λ,-3λ,2 6λ),∴Q( 3- 3λ,3-3λ,2 1 2 6? ?2 3 → → → → 由 A Q ⊥C P ?A Q · C P =0,得 λ=3.即:Q? ,2, 3 ?. 3 ? ? 对于平面 AMN:设其法向量为 n=(a,b,c). 3 3 ? → → ? ∵AM =?- , , 6?,A N =( 3,0, 6). ? 2 2 ? a= 9 , ? ? 1 ??b=3, ? ?c=- 186. 3





6). 6λ).





3 3 ? → ? ?- a+ b+ 6c=0, n=0, ?AM · 2 2 则? ?? → ? ? n=0 ?A N · ? 3a+ 6c=0

∴n=?

6? ? 3 1 ?. , ,- 18 ? ?9 3 5 6? ? 3 ,1, 6 ?. ?3 ?

同理对于平面 QMN,得其法向量为 v=?

n· v 33 记所求二面角 A-MN-Q 的平面角大小为 θ,则 cosθ=|n|· |v|= 33 . 33 ∴所求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为 33 . 20. 解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得
?a ? 4, 解得a ? 4, c ? 2 . ? ?a ? c ? 6,

所以椭圆的标准方程为 离心率 e ?

y 2 x2 ? ? 1 .????????6 分 16 12

2 1 ? . ??????????7 分 4 2
? MF ? ? e得 ? MF ? ?

(2) F (0, 2), F ?(0,1) ,设 M ( x, y), 由
x 2 ? ( y ? 2) 2 x ? ( y ? 1)
2 2

?

1 ????????9 分 2

化简得 3x2 ? 3 y 2 ? 14 y ? 15 ? 0 ,即 x2 ? (y ? )2 ? ( )2 ????????11 分 故存在一个定点 A(0, ) ,使 M 到 A 点的距离为定值,其定值为 . ???12 分 21.
7 3 2 3

7 3

2 3

16k 2 12 ? S? OANB ? 2S?OAB ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) ?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

22. 解:(1)f(x)的定义域为(-a,+∞). 1 x+a-1 f′(x)=1- = .???2 分 x+a x+a 由 f′(x)=0,得 x=1-a>-a. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-a,1-a) - ?

1-a 0 极小值

(1-a,+∞) + ?

因此,f(x)在 x=1-a 处取得最小值, 故由题意 f(1-a)=1-a=0,所以 a=1. ??? 5 分 (2)当 k≤0 时,取 x=1,有 f(1)=1-ln2>0, 故 k≤0 不合题意. ???6 分 2 当 k>0 时,令 g(x)=f(x)-kx , 2 即 g(x)=x-ln(x+1)-kx .

g′(x)=

x x+1

-2kx=

? x ? 2kx ? (1 ? 2k )? x ?1

.

令 g′(x)=0,得 x1=0,x2=

1-2k >-1. ??? 8 分 2k

1 1-2k ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调 2 2k 2 递减,从而对任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,即 f(x)≤kx 在[0,+∞)上恒成 1 立,故 k≥ 符合题意.??? 10 分 2 1 1-2k ? 1-2k?,g′(x)>0,故 g(x)在?0,1-2k?内单调 ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, ? ? ? 2k ? 2k ? 2 2k ? ? ? 1-2k?时,g(x )>g(0)=0,即 f(x )≤kx2不成立,故 0<k<1不合 递增,因此当取 x0∈?0, 0 0 0 2k ? 2 ? ? 1 题意. 综上,k 的最小值为 . ??? 12 分 2


赞助商链接

2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试理科数学试题...

2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试理科数学试题及答案 - 2018 学年度下学期一调考试 高三年级数学(理科)试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非...

河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期一调考试数学(...

河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期一调考试数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期一调考试...

河北省衡水中学2018届高三上学期一调考试数学(理)试题 ...

河北省衡水中学2018届高三上学期一调考试数学(理)试题 Word版 - 2017—2018 学年度上学期高三年级第一调考试 数学理科试卷 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 12 个...

2015-2016学年河北省衡水中学高二下学期期末数学(理)试题

2015-2016学年河北省衡水中学高二下学期期末数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。2015~2016 学年度下学期高二年级期末考试 数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(...

衡水中学2016届高三下学期一调考试(理)数学试题

衡水中学2016届高三下学期一调考试(理)数学试题_数学_高中教育_教育专区。河北衡水中学 2016 年高三年级一调考试 数学试卷(理科)第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题...

河北省衡水中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(...

河北省衡水中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案 - 2016-2017 学年度高二年级下学期期末考试(理科) 数学试卷 一、选择题(每小题 5 ...

河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学(理)试题 ...

河北省衡水中学2017届高三下学期调考试数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中...河北省衡水中学2013届高... 7页 免费 衡水中学2013—2014学年... 11页 免费...

2017-2018学年河北省衡水中学高二下学期期末考试数学(...

2017-2018学年河北省衡水中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案 - 2017-2018 学年度高二年级下学期期末考试(理科) 数学试卷 一、选择题(每小题 5 ...

河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学(...

河北省衡水中学2016-2017学年高二学期调考试数学(理科)试题 Word版_数学_高中教育_教育专区。高中数学,数学试卷,数学试题,数学资料,月考试卷 ...

河北省衡水中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(...

河北省衡水中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题 ( word版含答案) - 2016-2017 学年度高二年级下学期期末考试(理科) 数学试卷 一、选择题(每小题...