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高二数学正弦函数的图像与性质_图文

时间:2017-07-26

函 数 y=Asin(?x+?)的图象

数学使人聪颖

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数学使人深刻 数学使人缜密

数学使人坚毅
数学使人智慧

物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都 是常数).

函数y=Asin(ωx+φ),其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时, A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离,通常称为这个振动的振幅; 往复一次所需的时间 T ?
2?

振动的周期;

?

,称为这个

称为振动的频率;

1 ? 单位时间内往复振动的次数 f ? ? , T 2?

? x ? ? 称为相位;x=0时的相位φ称为初相。

知识回顾:
y
1-1

y ? sin x x ?[0,2? ]
?
2

o
-1 -

? 6

?

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (

?
2
2

最低点: ( 3? ,?1) 与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

-

,1)

新课讲解:
1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

解:1.列表

x
sin x 2 sin x

0 0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?2

y=2sinx y=sinx
2? ?

y=

1 sinx 2

x

周期相同

y 2
1 O ?1

y=2sinx y=sinx
? 2? y 2 x

1 y= sinx ?2 2

1
2?

O
?1 ?2

?

x

一、函数y=Asinx(A>0)的图象

y

2
1

y=2sinx
2?

O ?1 ?2

?

x

y=

1 sinx 2

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最 大值 为A,最小值为-A.
? 函数y=Asinx

思考:函数y ? f ( x )与函数 y ? Af ( x )的图象有何关系?

1 y ? sin x 的图象。 例2 作函数 y ? sin 2 x 及 2
1. 列表:
x
2x sin 2 x
0 0 0

?
? 2

4

?

2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

y 2 2. 描点:

连线:

1 O ?1 ?2 ?

y=sinx
2? 3? x

y=sin2x

1 对于函数 y ? sin x 1. 列表: 2
x
1 x 2
sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2

2?
?

3?
3? 2

? 4

2? 0

1

0

-1

2. 描点 作图:
y

1
?

1 y=sin x 2
2? 3? 4? x

O
?1

y=sinx

y 1 O ?1 ?

1 y=sin x 2
2? 3? 4? x

y=sinx

y=sin2x

振幅相同

二、函数y=sin?x(?>0)的图象
y 1

y=sin1 x
2
2?
3? 4? x

O

?

?1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。

2

(? >0且?≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1 1 时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍(纵坐标 ? 不变) 而得到的。

?函数y=sin?x

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? f (k x )的图象有何关系?

练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 :

(1) y ? sin 4 x

1 (2) y ? sin x 3

(3)

1 1 y ? sin x 的图象与y ? sin x的图象的关系: 2 2
图象上各点纵坐标

图象上各点横坐标 1 1 1x y ? sin y ? sin x y ? sin x 2 2 2 伸长为原来的 2 倍 缩短为原来的一半 1

y ? 1 sin x 2
2? 3? 4? x

O

?

?1

y ? sin x

1 1 y ? sin x 2 2

例3 作函数 y ? sin( x ?

?

x
x?

?
3 ?
3 )

? 3
0
0
1 y

3 5? 6
? 2

) 及y ? sin( x ?
4? 3
?
0
y ? sin( x ?

?

4 11? 6
3? 2

)的图象。
7? 3
2?
0

sin( x ?

1

-1
?
3 )

?

?
4

O

?

2? ?
4

x

3 ? ?1y ? sin( x? )

三、函数y=sin(x+φ)图象
?
4

1 O

y ? sin( x ?

?
3

)

?

?
3

2? ?
?
4 )

x

?1

y ? sin( x ?

?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的

图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位而得到的。

思考:函数y ? f ( x)与y ? f ( x ) ? b的图象有何关系?

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 ? ? 例4 作函数y ? sin( 2 x ? ) 及y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 3 4 11? ? 2? 7? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?

?

sin( 2 x ? ) 3 y 1
O

3 ?

0
0

? 2

?
0

3? 2

2?
0

1

-1
y ? sin(2 x ? ) 3

? y ? sin( 2 x ? ) 4 ?1

?

? 2

?

?

x

6

y=sin2x

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
y 1 O

? y ? sin( 2 x ? ) 4 ?1

?

? 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?

?

x

6

y=sin2x

思考:函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( ax ? b )的图像 有何关系?

1 ? 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ?
函数y ? sin x
(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数 y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期 (T ? 1 ? 6? )内的图象. 3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 . 后 将 简 图 再 , "描 点 的值, 得到"五点", 再描点作图 .
X x y
0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

小结
? y=Asin(ωx+φ)的各种变化方式

课后作业: 课本

P49 练习A1(2)(4)
2(3)(4)

?

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