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zlh1正弦函数的图像与性质

时间:2016-11-25

正弦函数的图像与性质
我们知道,实数集与角的集合之间可以建立一一对应的关系,而一个 确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样,任意给定一 个实数 x,有唯一确定的值 sinx(或 cosx)与之对应.由这个对应法 则所确定的函数 y=sinx(或 y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数) , 其定义域是 R. 遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形 状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调 性、奇偶性、最值、对称性、周期性等等.特别地,从前面的学习中 我们可以看到,三角函数具有“周而复始”的变化规律.下面我们就 来研究正弦函数、余弦函数的图像和性质. 首先,我们来看一下本章章头图表示的“简谐振动”的实验. 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成 了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为 坐标轴的横轴.把漏斗灌上 细沙并拉离 平衡位置,放手使它摆动, 同时匀速拉 动纸板, 这样就可以在纸板 上得到一条 曲线, 它就是简谐运动的图 像 . 物理中把 简谐运动的图像叫做 “正弦 曲线”或“余 弦曲线”.它表示了漏斗对 平衡位置的 位移 s(纵坐标)随时间 t(横坐标)的变化的情况.如图所示. 一、 【学习目标】 1、理解正弦函数、余弦函数的几何法、五点法作图; 2、 通过例题和练习能熟练的掌握正余弦函数图像的画法 (包括平移、 对称和伸缩) 3、通过课后小练达到能利用函数图像解决复杂的问题的目的. 二、 【自学内容和要求及自学过程】 阅读教材 31—32 页内容,回答问题(正弦函数、余弦函数的图像) <1>怎样做出正弦函数、余弦函数的图像? 结论:做正弦函数、余弦函数的图像有三种方法:描点法、几何法、 五点法. 描点法:按照列表、描点、连线三步法做出正弦函数、余弦函数 图像的方法.

几何法:利用三角函数线 来做出正弦 函数和余弦函数在 [0 , 2 π ]内的图像, 再通过平移得到 y=sinx 和 y=cosx 的 图像 . 如图所示,在直角 坐标系的 x 轴上取一点 O1,以 O1 为圆 心, 单位长为 半径作圆,从圆 O1 与 x 轴 的交点 A 起, 把圆 O1 分成 12 等份.过圆 O1 上 个 分 点 做 x 轴的垂线,得到对应 于 0,π /6, π /3 ,π /2 ,…, 2 π等 角的正弦线 . 相应地,再把 x 轴上从 0 到 2π这一段分成 12 等份.把角 x 的正弦线 向右平移,使他的起点与 x 轴上的点 x 重合,再把这些正弦线的终点 用光滑的曲线连接起来,就得到函数 y=sinx,x ? [0,2π]的图像. 如图所示 . 因为终边相同的角具有相同的三角函数值,所以函数 y=sinx, x ? [2kπ, 2 (k+1 ) π),k ? Z 且 k≠0 的图像, 与函数 y=sinx, x ? [0,2π]的图像完全一致.于是我们只用将函数 y=sinx,x? [0,2 π]的图像向左向右平行移动(每次平移 2π个单位长度) ,就可以得 到正弦函数 y=sinx,x? R 的图像.如图所示. 我们知道,y=cosx=sin (x+π/2) ,所以, ,余弦函数是正弦函数向左平移π/2 个单位长度 而得到的. 五点法:先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这 五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲 线在一个周期内的图像. 观察正弦函数的图像可以看出, 起关键作用的有以下五个点: (0, 0) , (π/2,1) , (π,0) , (3π/2,-1) , (2π,0). 观察余弦函数的图像可以看出, 起关键作用的有以下五个点: (0, 1) , (π/2,0) , (π,-1) , (3π/2,0) , (2π,1). 事实上, 描出这五个点以后, 函数 y=sinx, x? [o,2π]和 y=cosx, x ? [o,2π]的图像形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时, 我们常常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,就 得到函数的简图.这种方法是非常实用的. <2>什么是正弦曲线、余弦曲线? 结论:正弦函数 y=sinx,x ? R,余弦函数 y=cosx,x ? R 的图像称为正 弦曲线、余弦曲线.图像如上图所示. 三、 【综合练习与思考探索】 练习一:教材例 1(注意图像的平移和对称关系) 练习二:教材 33 页思考. 练习三:教材 34 页练习 1、2 四、 【作业】 1、必做题:1.4A 组第 1 题. 2、选做题:整理本节内容,形成文字到作业本上. 五、 【小结】

本节课主要学习了正弦函数、余弦函数的图像和画法,主要掌握 几何法和五点法,以后做题中主要运用的是五点法. 六、 【教学反思】 要让学生理解,理解是属于第一要位的. 七、 【课后小结】 1、用五点法画出下列函数的图像 <1>y=2-sinx [0,2π ];<2>y=0.5+sinx[0,2π ]. 2、方程 2x=cosx 的解得个数有几个? 3、画出函数 y=2|sinx|的简图. 4、方程 sinx=x/10 的根的个数为多少? 5、用五点法做函数 y=2sin2x[0,2π ]图像时,首先应描出的五点的横 坐标是多少? 6、求方程 lgx=sinx 实数根的个数.


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2 +2kπ](k∈Z)上都是减 函数,其值从1减小到-1 (5) 周期性: 由sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取 得的这种性质...

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