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【配套K12】高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明教案新人教A版必修5

时间:

小初高试卷教案类

3.4.1
项目 课题 3.4.1 基本不等式 ab ?

基本不等式的证明
内容

a?b 的证明 2

修改与创新

一、知识与技能 1.创设用代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等 式; 2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程; 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路,即 由条件到结论,或由结论到条件 二、过程与方法 1.采用探究法,按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用 的方法进行启发式教学; 2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生 的主体作用; 教学 目标 3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极 思考,从而培养他们的数学学习兴趣 三、情感态度与价值观 1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验现实世界和日常生活 中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数 学观点进行归纳、抽象,使学生感受数学、走进数学,培养学生严谨的 数学学习习惯和良好的思维习惯; 2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨 的思维习惯,主动、积极的学习品质,从而提高学习质量; 3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃 认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘、数学的 简洁美、数学推理的严谨美,从而激发学生的学习兴趣

教学 重、

教学重点 1.创设代数与几何背景,用数形结合的思想理解基本不等式;

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小初高试卷教案类 难点 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程; 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路 教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明; 2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路 教学 多媒体及课件 准备 导入新课

探究:上图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客,你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系 教学过 程 吗?

(教师用投影仪给出第 24 届国际数学家大会的会标,并介绍此会标是根 据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风 车,代表中国人民热情好客 .通过直观情景导入有利于吸引学生的注意 力,激发学生的学习热情,并增强学生的爱国主义热情) 推进新课 师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?如何找? (沉静片刻) 生 应该先从此图案中抽象出几何图形 师 此图案中隐含什么样的几何图形呢?哪位同学能在黑板上画出这个 K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 几何图形? (请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评) (其中四个直角三角形没有画全等,不形象、直观.此时教师用投影片给 出隐含的规范的几何图形) 师 同学们观察得很细致,抽象出的几何图形比较准确 .这说明,我们只 要在现有的基础上进一步刻苦努力,发奋图强,也能作出和数学家赵爽 一样的成绩 (此时,每一位同学看上去都精神饱满,信心百倍,全神贯注地投入到 本节课的学习中来) [过程引导] 师 设直角三角形的两直角边的长分别为 a、b,那么,四个直角三角形的 面积之和与正方形的面积有什么关系呢? 生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和 师 一定吗? (大家齐声:不一定,有可能相等) 师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明,从而说明我们刚才直 觉思维的合理性? 生 每个直角三角形的面积为

1 ab ,四个直角三角形的面积之和为 2ab. 2
2 2 2 2

正方形的边长为 a 2 ? b2 , 所以正方形的面积为 a +b , 则 a +b ≥2ab 师 这位同学回答得很好,表达很全面、准确,但请大家思考一下,他对

a2+b2≥2ab 证明了吗?
生 没有,他仍是由我们刚才的直观所得,只是用字母表达一下而已 师 回答得很好 (有的同学感到迷惑不解) 师 这样的叙述不能代替证明 .这是同学们在解题时经常会犯的错误 . 实 质上,对文字性语言叙述证明题来说,他只是写出了已知、求证,并未 给出证明 (有的同学窃窃私语,确实是这样,并没有给出证明) 师 请同学们继续思考,该如何证明此不等式,即 a +b ≥2ab K12 小学初中高中
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小初高试卷教案类 生 采用作差的方法,由 a +b -2ab=(a-b) ,∵(a-b) 是一个完全平方数, 它是非负数,即(a-b) ≥0,所以可得 a +b ≥2ab 师 同学们思考一下,这位同学的证明是否正确? 生 正确 [教师精讲] 师 这位同学的证明思路很好.今后,我们把这种证明不等式的思想方法 形象地称之为“比较法”,它和根据实数的基本性质比较两个代数式的 大小是否一样 生 实质一样,只是设问的形式不同而已 .一个是比较大小,一个是让我 们去证明 师 这位同学回答得很好,思维很深刻.此处的比较法是用差和 0 作比较. 在我们的数学研究当中,还有另一种“比较法 (教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言) 生 作商,用商和“1”比较大小 师 对.那么我们在遇到这类问题时,何时采用作差,何时采用作商呢? 这个问题让同学们课后去思考,在解决问题中自然会遇到 (此处设置疑问,意在激发学生课后去自主探究问题,把探究的思维空 间切实留给学生) [合作探究] 师 请同学们再仔细观察一下,等号何时取到 生 当四个直角三角形的直角顶点重合时,即面积相等时取等号 (学生的思维仍建立在感性思维基础之上,教师应及时点拨) 师 从不等式 a +b ≥2ab 的证明过程能否去说明 生 当且仅当(a-b) =0,即 a=b 时,取等号 师 这位同学回答得很好.请同学们看一下,刚才两位同学分别从几何图 形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致 (大家齐声)一致 (此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲, 意在强化学生数形结合思想方法的应用)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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小初高试卷教案类 板书: 一般地,对于任意实数 a、b,我们有 a +b ≥2ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立. [过程引导] 师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论,我们应仔细观察、 思考,才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样,我们用它来解决问题时才 能得心应手,也不会出错 (同学们的思维再一次高度集中,似乎能从不等式 a +b ≥2ab 中得出什 么.此时,教师应及时点拨、指引) 师 当 a>0,b>0 时,请同学们思考一下,是否可以用 a、b 代替此不等 式中的 a、b 生 完全可以 师 为什么? 生 因为不等式中的 a、b 师 很好,我们来看一下代替后的结果. 板书:
2 2 2 2

a?b a?b ? ab 即 ab ? (a>0,b>0). 2 2
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式 .它很重要,在数学 的研究中有很多应用,我们常把

a?b 叫做正数 a、b 的算术平均数,把 2

ab 叫做正数 a、b 的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数 (此处意在引起学生的重视,从不同的角度去理解) 师 请同学们尝试一下,能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个 不等式呢? (此时,同学们信心十足,都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空 形式) 要证:

a?b ? ab , 2

只要证 a+b≥2 ab ,

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要证②,只要证:a+b-2 ab ≥0, 要证③,只要证: ( a ? b ) 2 ? 0, 显然④是成立的,当且仅当 a=b 时,④中的等号成立,这样就又一次得 到了基本不等式 (此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤,意在把思维的 时空切实留给学生,让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路, 加大了证明基本不等式的探究力度) [合作探究] 老师用投影仪给出下列问题

如图,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上一点,AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于

AB 的弦 DD′,连结 AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解
释吗? (本节课开展到这里,学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不 等式的常用方法,对基本不等式也已经很熟悉,这就具备了探究这个问 题的知识与情感基础) [合作探究] 师 同学们能找出图中与 a、b 有关的线段吗? 生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得 CD ? 生 由射影定理也可得 CD ?

ab

ab
a?b 分别又有什么几何意义呢? 2

师 这两位同学回答得都很好, 那 ab 与

生 ab 表示半弦长,

a?b 表示半径长 2

师 半径和半弦又有什么关系呢?

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生 由半径大于半弦可得

a?b ? ab 2

师 这位同学回答得是否很严密? 生 当且仅当点 C 与圆心重合,即当 a=b 时可取等号,所以也可得出基本 不等式 ab ? 课堂小结 师 本节课我们研究了哪些问题?有什么收获? 生 我们通过观察分析第 24 届国际数学家大会的会标得出了不等式

a?b (a>0,b> 2

a2+b2≥2ab
生 由 a +b ≥2ab,当 a>0,b>0 时,以 a 、 b 分别代替 a、b,得到
2 2

了基本不等式 ab ?

a?b (a>0,b>0).进而用不等式的性质,由结论 2

到条件,证明了基本不等式 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式 (此处,创造让学生进行课堂小结的机会,目的是培养学生语言表达能 力,也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高) 师 大家刚才总结得都很好,本节课我们从实际情景中抽象出基本不等 式.并采用数形结合的思想,赋予基本不等式几何直观,让大家进一步领 悟到基本不等式成立的条件是 a>0,b>0,及当且仅当 a=b 时等号成立. 在对不等式的证明过程中,体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以 后,同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用 布置作业

活 动 与 探 究 : 已 知

a 、 b

都 是 正 数 , 试 探 索

2 1 1 ? a b

, ab ,

a?b a2 ? b2 , 的大小关系,并证明你的结论 2 2

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小初高试卷教案类 分析: (方法一)由特殊到一般,用特殊值代入,先得到表达式的大小关 系,再由不等式及实数的性质证明 (方法二)创设几何直观情景.设 AC=a,BC=b,用 a、b 表示线段CE、O E、CD、DF的长度,由CE>OE>CD>DF可得. 基本不等式 ab ? 板书设 计 一、实际情景引入得到重要不等式

a?b 的证明 2
课时小结

a2+b2≥2ab

本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与 不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式: ab ? 教学反 思

a?b ,然后从三种角度对基本不 2

等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不 等观念.教师应作好点拨,利用几何背景,数形结合做好归纳总结、逻辑分析,并鼓励学 生从理性角度去分析探索过程,进而更深层次理解基本不等式,鼓励学生对数学知识和方 法获得过程的探索,同时也能激发学生的学习兴趣,

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