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高中数学人教A版选修1-1学业分层测评6 椭圆及其标准方程 Word版含解析

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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 x2 y2 1.椭圆16+25=1 的焦点坐标是( A.(± 4,0) C.(± 3,0) ) B.(0,± 4) D.(0,± 3) 【解析】 根据椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在 y 轴上,所 以对应的焦点坐标为(0,± 3),故选 D. 【答案】 D x2 y2 2.如果方程a2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的 a+6 取值范围是( A.a>3 C.a>3 或 a<-2 【解析】 2 ) B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 2 ? ?a -a-6>0, 由 a >a+6>0,得? ?a+6>0, ? ?a<-2或a>3, ? 所以? 所以 a>3 或-6<a<-2. ? ?a>-6, 【答案】 D ) 3.已知 a= 13,c=2 3,则该椭圆的标准方程为( x2 y2 A.13+12=1 x2 y2 x2 y2 B.13+25=1 或25+13=1 x2 C.13+y2=1 x2 y2 2 2 D.13+y =1 或 x +13=1 【解析】 a= 13,c=2 3, ∴b2=( 13)2-(2 3)2=1, a2=13,而由于焦点不确定, ∴D 正确. 【答案】 D 4.已知圆 x2+y2=1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线,垂 足为 P′,则 PP′的中点 M 的轨迹方程是( A.4x +y =1 x2 2 C. 4 +y =1 2 2 ) y2 B.x + 1 =1 4 2 y2 D.x + 4 =1 2 【解析】 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x x0 = 2 ,y=y0. ∵P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上, 2 ∴x2 0+y0=1.① 将 x0=2x,y0=y 代入方程①, 得 4x2+y2=1. 故选 A. 【答案】 A x2 y2 5. 椭圆25+ 9 =1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则|ON|等于( A.2 C.8 ) B.4 3 D.2 【解析】 如图, F2 为椭圆的右焦点, 连接 MF2, 则 ON 是△F1MF2 的中位线, 1 ∴|ON|=2|MF2|, 又|MF1|=2,|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF2|=8,∴|ON|=4. 【答案】 B 二、填空题 x2 y2 6.椭圆m+ 4 =1 的焦距是 2,则 m 的值是________. 【解析】 当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4, 又 2c=2, ∴c=1. ∴m-4=1,m=5. 当椭圆的焦点在 y 轴上时,a2=4,b2=m, ∴c2=4-m=1,∴m=3. 【答案】 3 或 5 7.已知椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点,则椭圆 C 的标准方程为________. 【导学号:26160032】 x2 y2 【解析】 法一: 依题意, 可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 且可知左焦点为 F′(-2,0). ? ?c=2, 从而有? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2, 解得? ?a=4. ? x 2 y2 又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的标准方程为16+12=1. 2 2 2 2 x2 y2 法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0), ? 42+ 92=1, 则?a b ?a2-b2=4, 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去),从而 a2=16, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为16+12=1. x2 y2 【答案】 16+12=1 x2 y2 8.椭圆 9 + 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4, 则|PF2|=________,∠F1PF2 的大小为________. 【解析】 由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2. 在△PF1F2 中, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 cos ∠F1PF2= =- 2|PF1||PF2| 2. ∴∠F1PF2=120° . 【答案】 2 120° 三、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8; (2)椭圆两焦点间的距离为 16,且椭圆上某一点到两焦点的距离 分别等于 9 或 15. x2 y2 【解】 (1)①若焦点在 x 轴上,可设椭圆的标准方程为a2+b2= 1(a>b>0). 由题意知 2a=8,∴a=4, 又点 P(3,2)在椭圆上, 9 4 64 ∴16+b2=1,得 b2= 7 . x2 y2 ∴椭圆的标准方程为16+64=1. 7 ②若焦点在 y 轴上,设椭圆标准方程为 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0). ∵2a=8,∴a=4, 又点 P(3,2)在椭圆上, 4 9 ∴16+b2=1,得 b2=12. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为16+12=1. x2 y2 y2 x2 由①②知椭圆的标准方程为16+64=1 或16+12=1. 7 (2)由题意知,2c=16,2a=9+15=24, ∴a=12,c=8,b2=80. 又焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, x2 y2 y2 x2 ∴所求方程为144+80=1 或144+80=1. 10.已知 B,C 是两个定点,|BC|=8,且△ABC 的周长为 18, 求这个三角形顶点 A 的轨迹方程. 【解】 以过 B,C 两点的直线为 x 轴,线段 BC 的中点为原点, 建立平面直角坐标系. 由|BC|=8,可知点 B(-4,0),C(4,0). 由|AB|+|BC|+|AC|=18, 得|AB|+|AC|=10>|BC|=8. 因此,点 A 的轨迹是

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