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2018年高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用押题专练理!

时间:2018-01-28


专题 12 函数模型及其应用

1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为 ( ).

解析 由题意可得 y=(1+10.4%)x. 答案 D 2.甲、乙两人沿同一方向去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 , v2 (v1 ? v2 ) .甲一半 路程使用速度 v1 , 另一半路程使用速度 v 2 , 乙一半时间使用速度 v1 , 另一半时间使用速度 v 2 , 甲、 乙两人从 A 地到 B 地的路程与时间的函数图象及关系, 有下面图中个不同的图示分析 (其 中横轴表示时间,纵轴 S 表示路程) ,其中正确的图示分析为( ) . A.(1) B.(3) C.(1)或(4) D. (1)或(2)

S C
B A t1 t2 t

S C
B A t1 t2 t

S
C B A t1 t2 t

S

C B A t1 t2 t

(1)

(2)

(3)

(4)

解析 根据题目描述分析图像可知 D 正确 答案 D 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最大利润 为 ( ).

A.45.606 万元 C. 45.56 万元

B.45.6 万元 D.45.51 万元

解析 依题意可设甲销售 x 辆, 则乙销售(15-x)辆, 总利润 S=L1+L2, 则总利润 S=5.06x -0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+0.15×10.22+30(x≥0),∴当 x =10 时,Smax=45.6(万元). 答案 B 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利 润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多少年 时,其营运的年平均利润最大 ( ).

A.3

B.4

C.5

D.6

5.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小 矩形的长、宽分别为 x,y 剪去部分的面积为 20,若 2≤x≤10,记 y=f(x),则 y=f(x)的图象 是 ( ).

10 解析 由题意得 2xy=20,即 y= x ,当 x=2 时,y=5,当 x=10 时,y=1 时,排除 C, D,又 2≤x≤10,排除 B. 答案 A 6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从 这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用, 当截取的矩形面积最大时, 矩形两边长 x、 y 应为( ).

A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 24-y x 解析 由三角形相似得 = , 24-8 20 5 得 x=4(24-y), 5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180,

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案 A 7.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 加密 发送 解密 明文――→密文――→密文――→明文 已知加密为 y=ax-2(x 为明文, y 为密文), 如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”, 再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 ________. 解析 依题意 y=ax-2 中,当 x=3 时,y=6,故 6=a3-2,解得 a=2.所以加密为 y= 2x-2,因此,当 y=14 时,由 14=2x-2,解得 x=4. 答案 4 8.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为

每件________元.

9.现有含盐 7%的食盐水为 200 g,需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且在 6% 以下(不含 5%和 6%)的食盐水,设需要加入 4%的食盐水 x g,则 x 的取值范围是__________. 解析 根据已知条件:设 y= 200×7%+x4% ,令 5%<y<6%,即(200+x)5%<200×7% 200+x

+x·4%<(200+x)6%,解得 100<x<400. 答案 (100,400) 10.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价 付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部 分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 8,0<x≤3, ? ? 解析 由已知条件 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8, 由 y=22.6 解得 x=9. 答案 9 11.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使 用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关 系分别如图①、②所示.

(1)分别求出通话费 y1,y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜?



(1)由图象可设 y1=k1x+29,y2=k2x,把点 B(30,35),C(30,15)分别代入 y1,y2 得 k1

1 1 =5,k2=2. 1 1 ∴y1=5x+29,y2=2x. 1 1 2 (2)令 y1=y2,即5x+29=2x,则 x=963. 2 当 x=963时,y1=y2,两种卡收费一致; 2 当 x<963时,y1>y2,即使用“便民卡”便宜; 2 当 x>963时,y1<y2,即使用“如意卡”便宜. 12.某单位有员工 1 000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力,决 定优化产业结构,调整出 x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润 3x ? ? 为 10 a-500 万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. ? ? (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润,则最多 调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少? 解 (1)由题意得:10(1 000-x)( 1+0.2x%)≥10×1 000,

即 x2-500x≤0,又 x>0,所以 0<x≤500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业. 3x ? ? (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 a-500 x 万元,从事原来产业的员工的年 ? ? 3x ? 3x2 ? 总利润为 10(1 000-x)(1+0.2x%)万元, 则 10 a-500 x≤10(1 000-x)(1+0.2x%), 所以 ax-500 ? ? 1 ≤1 000+2x-x-500x2, 2x2 2x 1 000 所以 ax≤500+1 000+x,即 a≤500+ x +1 恒成立, 2 1 000 因为500x+ x ≥2 2x 1 000 500× x =4,

2x 1 000 当且仅当500= x ,即 x=500 时等号成立. 所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5,即 a 的取值范围为(0,5]. 13.某市出租车的计价标准是:3 km 以内(含 3 km)10 元;超过 3 km 但不超过 18 km 的部 分 1 元/km;超出 18 km 的部分 2 元/km.

(1)如果某人乘车行驶了 20 km,他要付多少车费?某人乘车行驶了 x km,他要付多少车 费? (2)如果某人付了 22 元的车费,他乘车行驶了多远? 解(1)乘车行驶了 20 km,付费分三部分,前 3 km 付费 10(元),3 km 到 18 km 付费 (18-3)×1=15(元), 18 km 到 20 km 付费(20-18)×2=4(元), 总付费 10+15+4=29(元). 设付车费 y 元,当 0<x≤3 时,车费 y=10; 当 3<x≤18 时,车费 y=10+(x-3)=x+7; 当 x>18 时,车费 y=25+2(x-18)=2x-11.

(2)付出 22 元的车费,说明此人乘车行驶的路程大于 3 km,且小于 18 km,前 3 km 付费 10 元,余下的 12 元乘车行驶了 12 km,故此人乘车行驶了 15 km. 14. 某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场. 如图, 运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外, 其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元.

(1)设半圆的半径 OA=r(米),设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r); (2)由于条件限制 r∈ [30,40],问当 r 取何值时,运动场造价最低?最低造价为多少?(精 确到元) 解 (1)塑胶跑道面积

10 000-π r2 S=π [r2-(r-8)2]+8× ×2 2r = 80 000 100 2 r +8π r-64π .∵π r <10 000,∴0<r< π .


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