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高中数学中应用分类讨论思想解题的探讨

时间:2011-02-26










高中数学中应用分类讨论思想解题的探讨
邱仁斌 (广州市美术中学,广东广州510000)
式。 摘要:分类讨论是一种重要的数学思想方法。其最集中的 运用体现在高中数学解题中的参数问题上。参数广泛地存在于 中学教学的各类问题中,是近几年来高考重点考查的热点问题 之一。本文从分类讨论思想的本质出发,以具体例子进行分析。 将舍有分类思想的一类数学问题化难为易、化繁为简。 关键词:分类讨论;研究对象:化繁为简 分类讨论是一种霞要的数学思想方法.是按照数学对象的 相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法。其贯 穿在整个高中数学学习的全过程。分类讨论不仅在数学知识的 探究和概念学习中十分莺要.而且在解决数学问题过程中有着 重要的作用。学会用这种思想方法解决问题,对提高学生的思 维能力、解决问题的能力有很大的帮助。 分类讨论的思想在数学解题过程巾被广泛的应用.而分类 讨论思想在解题-fl最直接的体现是在解决带有参数的题目中。 参数广泛地存在于中学数学的各类问题中.也是近几年来高考 重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标 准.含参数的同题可分为两种类型:一种类型的问题是根据参 数在允许值范嗣内的不同取值(或取值范围)。去探求命题可能 出现的结果.然后归纳出命题的结论:另一种类型的问题是给 定命题的结论去探求参数的取值范罔或参数应满足的条件。这 两类参数『nJ题是基于两个不同的角度出发的。从条件到结论和 从结论反推条件.只能得到参数成立的条件。解决这一类型的 参数问题.通常要用“分类讨论”的方法.即根据问题的条件和 所涉及到的概念.运用的定理、公式、性质以及运算的需要,图 形的位置等进行科学合理的分类.然后逐类分别加以讨论.探 求出各自的结果.最后归纳出命题的结论.达到解决问题的目 的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。 一、合理的分类 把一个集合A分成若干个非空真子集A。(扛l,2,3。……,n) (凡≥2,凡E,v)。使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个 子集。即 q)AlUA 2UA 3U……UA一; 若O<a<1.则原不等式等介于 卜 ●一髫●一石 妃 性.从而影响甬数的最值.因此要对对称轴的位置进行讨论。 2,根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准 数学中的某些公式、定理、性质在不间条件下有不同的结 论.在运用时要分类讨论,分类的依据是公式中的条件。
4—2m+2=一2m+6

解:烨2。撒让(算一芋)2-手+2j
①当孕<2时,IlP
m<4,函数在【2,31..E为ill/函数,最小值为

②当2≤芋≤3时,I!p 4≤m≤6时,ym=@一手)k等二_+2=
一丁m2杉.
③当_m>3时,即m>6时,y.m=32-3m+2=一3m+l 1 综上所述,即m<4时,yJ,_产4-2m+2=一2m+6

4≤m≤6时,五-产(并一手)2-等二_+2=一等二+2
m>6时,ym庐32_3m+2=一3m+1 1

本题中,二次函数的对称轴省=Tm的位置影响函数的单调

例2解关于茗的不等式:log.(1-上)>l。
解对数不等式时.需要利用对数函数的单调性,把不等式 转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同,故需对口进行分类讨论。

解:若a>l,则原不等式等价于l-上>佰?一a<o
卜 如 j1 如<

_。h


综上所述,当n>l时,原不等式的解集为{菇1 0一a<o} 1-a


(酗。NA产中(iJ∈N,且i巧)。
则称对集合A进行了一次科学的分类。 科学的分类满足两个条件:条件①保证分类不遗漏;条件

当O<a<i时,原不等式的解集为{省Ila<Tl_}
又如.等比数列前几项和公式是分别给出的: fnaI(g=1)

②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质,尽可
能减少分类。 二、确定分类的标准 由数学概念引起的分类讨论:如绝对值定义、不等式定义、 二次函数定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线 所成的角等等。 1.根据数学概念来确定分类标准
fo(口>o)

踮I哔笋(q#1)
所以在解这类问题时。如果q是可以变化的量,就要以q 为标准进行分类讨论。

例3求和S,=。+Ⅱ2+…相忙——。
解:当a=O时,Sn--O; 当口≠O时。此题为等比数列求和,

例如:绝对值的定义是:IⅡI_{O(a=O) LⅡ(畎o)

①若口≠l时,则由求和公式,s产巫}盟。
②若a=l时,鼯凡。


所以在解含有绝对值的不等式1109上茹I+1109上(3--x)I≥l


综合可得s。:f丛占竽(口≠1)
【凡.
(萨1) 由于等比数列定义本身有条件限制.等比数列求和公式是 分类给出的。因此,应用等比数列求和公式时也需要讨论,这里 进行了两层分类:第一层分类的依据是等比数列的概念。分为

时。就必须根据确定log.茗,log。(3-x)iE负交界的髫值l和2




将定义域(0,3)分成三个区间进行讨论。即分O<x<l,l≤省心,2≤ x<3三种情形来分类讨论。

1 1

8面丽

例l求二次函数y=x2-mx+2在【2,31上的最小值‰的表达 万方数据

r1●呵攀谱 L—_蠡轰。撬

“■■■■■—■—霸鼯矗豳女蠢≈{.^急


所以,实数n的取值范围是Ⅱ>}。
三、分类讨论的方法和步骤







和;第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。 3.由参数的变化引起的分类讨论 某些含参数的问题.由于参数的取值不同会导致所得结果 不同.或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 含参数问题。必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响.并 根据问题的需要对参数进行讨论,以解决问题。 例4问a为何值时,不等式(a2-3a+2)x2+(a—1)x+2>O的解 是一切实数. 解:(1)若矿-3a+2---0,解得a=l或a=2 庐l时,原不等式为2>0恒成立,所以a=l适合题意。 点。

(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论的对象和它的取 值范围: (2)确定分类标准,科学合理分类; (3)逐类进行讨论得出各类结果; (4)归纳各类结论。 例6设x---O是函 f(x)=(x2+ax+b)e。(菇∈R)的一个极值

a=2时,原不等式为茹+2>O,它的解不是一切实数.所以仁
2不适合题意。 (2)若a2—3a+2#0,必须有a2—3a+2>0且(口一1)2—4(矿一3口+
2)x2<0

(I)求n与b的关系式(用口表示b),并求八茗)的单调区间;

(Ⅱ)设a>O,g@)一(孑柑1)e棚,问是否存在§。。考2∈卜2,2】,
使得瞰喜。).g(毛)I≤1成立?若存在。求口的取值范围;若不存
在。说明理由。 解:(I矿’(鼻)=[石2+(o+2)茗+口+6]e。

解得口<一阜,或一l<a<l,或a>2,

由f’(0)--4).得6=吨
.‘,(x)=(x2+a藩-a)e5 f’(石)爿(菇2+(口+2)茗】B。铽@忱+2)e。,令f’(茹)=o,得茹l=0。勉= —俨2 由于x--K)是.厂(重)的极值点,故zI≠石2,即口≠一2

所以口的范围为口E(一∞,一旱)u(一1,1)u(2,+∞)。
由(1)(2)可知n∈(一∞,一菩L)U(一l,l】0(2,+∞)。
题日中给出的不等式属于概念形式.丽非具体到一元几次

当畎一2时,xl<x2,故以x)的单调增区间是(一∞,0】和卜驴2,+

不等式,故解题过程中需针对a2—3a+2=0.扛3a+2≠O两种情况
进行讨论,确定不等式为一元一次或一元二次.再进行解答。 例5设函数fix)=础22x+2.对于满足1<x<4的一切戈值都 有.厂(膏)>o,求实数a的取值范围。 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等 值域问题.需要先对开口方向进行讨论.再对其抛物线对称轴 的位置与闭区间的关系进行分类讨论,最后综合得解。

∞),单调减区间是【0,廿2】;
当口>一2时,戈。Ⅺ:,故.厂(并)的单调增区间是(一∞,-口一2】和 【0,+∞),单调减区间是【-俨2,0】;。

(II)当a>O时,—俨2<一2/(戈)在卜2,0】上单调递减,在【0。2】
上单调递增,因此,0)在卜2,21上的值域为叭0),max{,(-2)},

以2)】-【川,(4+口)e2】

懈:当-a>O时以省)铷(算一上)2+2一上

递减,所以傅域是[一(孙1)e4-(抽1)]
所以,n只须满足{竺肛叶1)≤l 【一叶I矿。叶l,每l
解得O<a≤2

而g(菇)一(a2-a+1)e-*2=一【(口一下1)2+÷k越在【-2,2】上单调
因为在【一2,213=。‰(并)-gI。@)=一叶(扛D十1)=(a-1)2≥O

...肾-
kl’节“2≥o
蹦1“

或降“.



k})=2一}>0
成立

女f上≥4 抓4)=16a-8+2≥0

即当口E(o,2】时,存在毛、&∈【一2,2】使得搬专。)_献&)I≤1
分类讨论的思想是一种重要的解题策略.对于培养学生思

.?.上≥l或导<口<1或中

即痧};

维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问 题的能力无疑具有很大的帮助。然而并不是问题中一出现含参 数问题就一定得分类讨论.如果能结合利用数形结合的思想、 函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论。从而达到 迅速、准确解题的目的。

a<OIt寸,黜鬈蒜。翮o;
当脚时次茗)=一2x+2以1)=0以4)=-6,.?.不合题意

万方数据

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高中数学中应用分类讨论思想解题的探讨
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 邱仁斌 广州市美术中学,广东,广州,510000 学周刊C版 LEARNING WEEK 2010,(8) 0次

相似文献(10条) 1.期刊论文 陈新娟 分类讨论思想在解题中的应用 -考试周刊2008(17)
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想.将事物进行分类,然 后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法.分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的,又叫做逻辑划分.不论从宏观 上还是从微观上对研究对象进行分类,它都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想.因此分类讨论既是一种逻辑方法,也是一种数学思想.

2.期刊论文 王荣合 分类讨论在数学教学中的应用 -学生之友(初中版)上2010(4)
分类思想是我们数学中一种非常重要,也是很常见的思想.在中考中,常有这样一类考题,题目中除了明显的已知条件外,还有一些不易想到的隐含条件 ,造成解题"陷阱",让学生解题时往往出现解题答案不完整,甚至出现错误的结果,导致中考得分率低.因此,命题者经常利用分类讨论柬加大试卷区分度.分 类讨论不仅是中学数学中一种重要的数学思想,又是一种重要的解题方法.只要同学们能在平时认真积累,充分挖掘隐含条件,注重分类讨论,相信是能跨越 陷阱的.分类讨论就是根据研究对象的本质属性的差异,将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想.对事物进行分类.然后对划分的每一类分别进 行研究和求解的方法叫分类讨论.

3.期刊论文 徐翠英 浅谈初中数学中的分类讨论思想 -时代教育(教育教学版)2010(3)
分类讨论是一种重要的逻辑思维方法,也是一种重要的数学思维方法,它贯穿与整个中学数学,数学分类讨论思想主要是根据数学研究对象本质属性的 相同点和不同点对研究对象进行分类讨论.在素质教育和课改的要求下培养学生的思维能力已经成了对教师能力的一个重要考验,培养和发展学生的数学 分类讨论思维能力应贯穿在我们的整个教学过程中.

4.期刊论文 田德祥 浅谈中学数学中的分类讨论思想方法 -科学咨询2010(21)
在解答某些数学问题时,当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准加以分类,并逐类求解,然后综合各类结果得到整个问 题的解答,这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、各个击破,再 积零为 整的思想与归类整理的方法.

5.学位论文 刘彩萍 高考数学中数学思想方法的研究及启示 2010
目前题海战术依然广泛存在于中学教学之中,教育要立足于人的潜能和综合素质的提高。在新课改的浪潮中,注重能力考查已成为高考命题中的核 心课题。只有深刻领会数学的本质及内涵,从数学思想的高度来指导解题,才能提升能力,提高学生的综合数学素养,这些数学思想方法经常是蕴藏在 教材和习题中,需要仔细发掘。在这种背景下,本文对高考恢复以来的高考数学试卷中所蕴含的数学思想方法进行研究。<br>   本文采用理论研究和实证研究相结合的方法,为了揭示数学思想方法的核心概念,采用文献研究法,以现代教学论、教育心理学、教学设计原理等为依 据,进行分析论证和理论概括。为了研究高中典型数学思想方法在高考数学题中体现的类型、形式、方式、程度等,在理论分析的基础上,做了实证研 究。主要内容分以下五个部分:<br>   第一章为绪论,主要是提出问题和理论研究。第二章主要是高中典型数学思想方法介绍。第三章以1978年至2001年全国高考数学试卷、2002年至2009年 江苏高考数学试卷为研究对象,对1978年高考恢复以来数学思想方法在高考数学题中的体现情况作一大致划分,得出如下结论:1978~1983年,初级阶 段的六年,1984~1999年,探索稳定的十六年,2000~2009年,深化创新的十年。<br>   第四章对近十年(2000~2009)江苏高考数学思想方法在高考数学题中体现的类型、形式、方式及程度(广度、跨度、难度)进行了深入研究统计,得出结 论:(1)体现的类型:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想特殊化一般化思想、化归思想及类比思想这六种高中典型数学思想方法在近十年江 苏高考数学试卷中都有所体现,其中数形结合、分类讨论、函数与方程思想体现的更充分。(2)体现的形式:六种典型数学思想方法在填空题、选择题、 解答题中基本都有体现,其中数形结合、分类讨论、函数与方程在解答题中体现的更多。(3)体现的方式:大部分数学思想方法都是内蕴在数学试题中 ,需要仔细挖掘才得以显现。(4)体现的程度:从广度、跨度、难度三个方面加以研究统计,体现了一定的广度、跨度和难度。在此基础上,对数学思想 方法在近十年(2000~2009)上海高考数学试卷中的体现与江苏高考作比较研究,并得出结论:数学思想方法在上海与江苏高考数学题中体现的类型、方 式大致相仿,但从广度、跨度、难度来看,上海试卷体现的更充分,尤其是数形结合思想体现的更广泛。<br>   第五章是研究后的体会和思考。研究过程中需要认真钻研大量高考试题,提炼出隐含在其中的数学思想方法,并进行统计整理,在此过程中,由于时间 仓促及自身水平的局限性,难免出现疏漏及研究不深入,因此提出了后续研究的一些课题。

6.期刊论文 邵晓明.Shao Xiaoming 分类讨论思想在高中物理解题中的应用 -物理教学探讨2006,24(23)
在数学上,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想."物以类聚,人以群分".所谓分类讨论 ,就是将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解;或当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每 一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论就是"化整为零,各个击破,再积零为整"的策略.

7.学位论文 曹琳 竞赛数学中的不定方程问题 2008
变数个数多于方程个数且取整数值的方程(或方程组)称为不定方程(或不定方程组).不定方程(又称丢番图方程)是数论中一个十分重要的研究课题 .这一研究方向与代数、组合数学、计算机科学等学科有着密切的联系.它的研究成果不仅对数学各个分支的发展起着重要的作用,而且对其它非数学 学科(如物理学,经济学)的研究有重大的应用价值.因此,不定方程一直是众多数学工作者趋之若鹜的研究对象. 本文试图对不定方程问题进行综合处理,分类讨论,初步探讨其在竞赛数学中的应用. 首先,在介绍不定方程理论研究背景的基础上,探讨了不定方程问题与竞赛数学的联系,并论述了在竞赛数学中研究不定方程问题的必要性. 然后,对在数学竞赛中所遇到的不定方程问题的基本理论以及基本方法从九个方面进行了综合处理和分类讨论. 最后,针对不定方程理论研究的前沿成果转化为具体的不定方程问题及其在竞赛数学中的应用,提出了一些见解.

8.期刊论文 邓加林 关于"分类讨论思想"的教学体会 -考试周刊2010(21)
分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用.因此,有关分类讨论的思想的数 学命题在高考试题中占有重要地位.所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属 性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果,得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为"分类讨论的 思想".

9.学位论文 王桂龙 明清山东方言概数表示法研究 2008
概数表示法对于语言表达的准确性和生动性具有重要的意义。在明清时期的山东方言中这一特殊称数法的运用也是非常丰富和活泼的。本文主要以

《金瓶梅词话》、《金瓶梅》、《醒世姻缘传》、《聊斋俚曲集》这四种山东方言特点突出的明清白话文献著作为研究对象,对其中的概数表示法进行 了全面的整理、归纳和分析、研究,力求描写出概数表示法在明清时期山东方言中存在和使用的基本状况,探求现代汉语在这一特殊称数法上对近代汉 语的继承和发展情况。 本文的写作主要分为五章: 第一章,对概数表示法的含义、性质及所属范畴作出界定,通过对不同语言学家对概数表示法作出的不同解释和界定进行比较分析,最后采用的概 数定义为:概数,与确数相对,表示大致在某个区间内的一个数,这个区间由确数决定,区间范围由数助词或其他方法表示。 第二至第四章,是文章的主体部分,即对具体概数表示法的分类讨论。第二章为几种自然数连用表示概数的方法;第三章论述了通过前后添加具有 概数意义的词语表示概数的几种方法,如概数助词“来”、“把”、“数”,数词“几”、“多”等;第四章为对几种具有概数意义的格式和句式的讨 论。 第五章对几种概数表示法套用的情况进行了简单的分析和说明。 最后一部分是本文的总结,通过对具体概数表示方法的分析和讨论,得出这一特殊称数法在明清时期山东方言中表现出的一些特点,如丰富多样性 、特殊性和不平衡性等。

10.学位论文 郑月楠 车辆碰撞事故仿真与再现的研究 2006
本文以车辆为研究对象,在做出合理假定的基础上,应用动能定理、动量定理、动量矩定理等有关力学理论,对不同的碰撞类型建立了相应的碰撞 模型,并对车辆碰撞前后的速度作了分类讨论。 为了再现汽车碰撞后的运动过程,运用运动学理论,在考虑附加惯性矩等因素的作用下,建立了车辆在制动和未制动两种状态下的两车轮运动仿真 模型。并在更加完善的四车轮运动模型基础上,以VB语言为工具开发了一套车辆碰撞后运动仿真软件。同时,以车辆实际停止位置为目标,在软件中引 入了一套基于计算机迭代的参数优化方法,提高了该软件仿真计算的精度。 通过将上述软件应用于实际事故案例分析,得到了与实际情况相符的较好效果,能够较准确的再现事故发生的过程,具有一定的应用价值。

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xzk-c201008116.aspx 授权使用:浙江大学(wfzjdx),授权号:5cd08c5b-7ea7-4f20-a5e8-9e9601090e78 下载时间:2011年2月26日


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