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2013年武警院校招生考试数学模拟4

时间:2013-06-04


2013 年武警院校招生考试数学模拟考试试卷(4)
一,选择题:本题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每个小题都给出四个选项中, 只有一个结论是正确的。把正确结论代写在题后括号内。 1. 函数 y ?

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域是( )
2

A C

[? 2, ?1) ? (1, 2]
[?2,1) ? (1, 2]

B D

(? 2, ?1) ? (1, 2)
(?2,1) ? (1, 2)

2. 复数 A

(1 ? i) 4 ? 2 等于( ) 1? i
2 ? 2i
B

? 2i

C

1? i

D

2i

3. 在等差数列{ an }中,公差 d=1, a4 ? a17 ? 8, 则 a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a20 ? ( ) A 40 B 45 C 50 D 55

4. 不等式 3≤ 5 ? 2x <9 的解集为( ) A

[?2,1) ? [4,7)

B [?2,1] ? [4,7)

C

(?2, ?1] ? [4,7)

D (?2,1] ? [4,7)

5. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行 ② CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60 度角 ④DM 与 BN 是异面直 线 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A ①②③ B ②④ C ③④ D ②③④
N D E A C M B F

6.四名篮球运动员和三名足球运动员站成一排, 任何两名足球运动员都不靠在一起的不同排 列数是( ) A

(4!)2
2 2

B

(4!) ? (3!)
2 2

C

3 A4 ? 4!

D

3 A5 ? 4!

7. 若圆 x ? y ? 4 和圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( ) A x + y=0 B x + y -2=0 C x- y -2=0 D x- y+ 2=0

8.在△ABC 中,若 2lg tan B ? lg tan A ? lg tan C ,则角 B 的取值范围是( ). A [

? ? , ) B 6 4

[ , ) 4 3

? ?

C

[ , ) 4 2

? ?

D

[ , ) 3 2

? ?

二, (35 分)本题共有 7 个小题,每个小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上。 9. 在函数 y ? sin x , y ? sin x , y ? sin(2 x ? 的函数的个数为___________. 10. 若平面向量 b 与向量 a ? (1, ?2) 的夹角是 180 度,且 b ? 3 5, 则 b =__________. 11.

2? 2? ), y ? cos(2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 3 3

?

?

?

?

( x ? 3 x )10 展开式中 x 4 项的系数为____________.

12. 已知直线 l1 // l2 ,A 是 l1 , l2 之间的一定点,并且点 A 到 l1 , l2 的距离分别为 h1 , h2 ,B 是直 线 l2 上一动点,作 AC 垂直 AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,则△ABC 面积的最小值为 ___________. 13. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M, N 两 a 2 b2

点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于__________. 14. 正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,棱长为 a ,E 是 AA1 的中点,在对角面 BB1D1D 上取一点 1 M,使 AM+ME 最小,则最小值为________. 15. 已知奇函数 f ( x ) 是定义在[-1,1]上的减函数,若 f (a2 ? a ?1) ? f (4a ? 5) ? 0 。则实 数 a 的取值范围是____________. 三,解答题:本大题共 7 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 . (10 分)若在三角形 ABC 中,∠A=

? a?b?c . ,b=1, S ?ABC ? 3, 求 sin A ? sin B ? sin C 3

17.

(10 分)已知正数列 {an } 中, a1 ? 1, 当 n≥2 时, an ?

an?1 1 ? an?12



(1) 求 a2 , a3 , a4 ; (2)证明 {

1 } 是等差数列,并求 {an } 的通项公式。 an 2

18. (10 分)在△ABC 中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2), 求: (1)BC 边上的中线 AM 的长; (2) cos ?ABC的值

19. (10 分)某战士射击中靶的概率为 0.99,若连续射击两次,求:

(1)两次都中靶的概率; (2)至少有一次中靶的概率。

20. (11 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以 2 a b 3

原点为圆心、以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切。 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设椭圆 C 的左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 1 1 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹方程。

21. (12 分)设 f ( x) ? 2(log 2 x) ? 2a log 2
2

1 1 ? b,已知x ? 时,f ( x)有最小值 ? 8, x 2

(1)求 a与b 的值; (2)在(1)的条件下,求 f ( x) ? 0 的解集 A; (3)设集合 B ? [t ?

1 1 , t ? ] ,且 A ? B ? ? ,求实数 t 的取值范围。 2 2

22. (12 分)如图,正三棱锥 S-ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,M 是 BC 的中点。 求: (1)

AM 的值; (2)二面角 S-BC-A 的大小; SM

(3)正三棱锥 S-ABC 的体积。
S

A M B

C


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