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广西南宁二中2011届高三年级11月月考理科数学试题

时间:2010-12-09


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南宁二中 2011 届高三年级 11 月月考

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷 (非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A 、B 互斥,那么 P(A +B )=P(A)+P (B ) 如果事件 A 、B 相互独立,那么 P(A · B )=P (A )· P (B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
k 率 Pn ( k ) = C n P k (1 ? P) n? k

(K=0,1,2,…n) 其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径 共 60 分)

球的表面积公式 球的体积公式

S = 4πR 2 4 V = π R3 3

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A = { x || gx ≤ 0}, B = { x | 2 x ≤ 1}, 则CU ( A ∪ B) = A. ( ?∞,1) 2.复数 B. (1, +∞) C. ( ?∞,1] D. [1, +∞ ) ( ) ( )

i 在复平面中所对应的点到原点的距离为 1+ i 1 2
B.

A.

2 2

C.1

D. 2 ( )

3.若 p :| x + 1 |> 2, q : x > 2, 则?p是?q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设向量 a与b 的模分别为 6 和 5,夹角为120° ,则 | a + b | 等于 A.

r

r

r

r

( D. 31



2 3

B. ?

2 3

C. 91

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5 . 若 函 数 f ( x ) = x ln x 的 图 象 在 x=1

处 的 切 线 为 l , 则l 上 的 点 到 圆

x2 + y2 + 4x ? 2 y + 4 = 0
上的最近距离是 A. 2 2 B. ( )

2 ?1

C. 2 2 ? 1

D.1 ( )

6.设数列 {an }满足 : a2 = 3, an+1 =

1 + an (n ≥ 1),则a2011 = 1 ? an
C.-2 D. ?

A.

1 2

B.3

1 3

7.某大学的包括甲、乙两人在内的 4 名大学生自愿参加 2010 年广州亚运会的服务,这 4 名大学生 2 人被分配在田径服务项目上, 另 2 个分配在球类服务项目上。 如这样的分配 是随机的,则甲、乙两人被分配在同一服务项目上的概率是 ( ) A.

2 3

B.

1 3

C.

3 4

D.

1 4

8.二次函数 y = n( n + 1) x2 ? (2 n + 1) x + 1,当n 依次取 1,2,3,4,…,n,…时图像在 x 轴上截得的线段的长度的总和为 A.1 B.2 9 .设椭圆 ( C.3 D.4 )

x2 y 2 1 + 2 =1( a > 0, b > 0) 的离心率 e = , 右焦点F (e,0), 方程ax 2 + bx ? c = 0 2 a b 2
( B.圆 x 2 + y 2 = 2 上 D.以上三种情况都有可能 )

的两个根分别为 x1 , x2 , 则点P( x 1 , x2 ) 在 A.圆 x 2 + y 2 = 2 内 C. x 2 + y 2 = 2 外

10.如图,在一个田字形区域 A、 B、C、D 中涂色,要求同一 区域涂同一颜色,相邻区域涂不同颜色(A 与 C、B 与 D 不相邻) ,现有 4 种颜色可供选择,则不同的涂色方案有 ( ) A.48 种 B.60 种 C.72 种

D.84 种

11.如图,圆 O 过正方体六条棱的中点 A, (i = 1,2,3,4,5,6) ,此圆被正方体六条棱的中点 分成六段弧,记弧 ? A1 Ai+1 在圆 O 中所对的圆心角为 ai (i = 1,2,3,4,5), 弧 ? A6 A1 所对的圆 心角为 a6 , 则 sin

a1 a +a a a + a6 cos 3 5 ? cos 2 sin 4 等于 4 4 4 4





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A.

6? 2 4 6+ 2 4

B.

2? 6 4 6+ 2 4

C.

D. ?

12.已知函数 f(x)的定义域为 [ ?2, +∞ ) ,部分对应值如下表, f '( x )为f ( x ) 的导函数, 函数 y = f '( x ) 的图象如右图所示:

x
f (x)

-2 1

0 -1

4 1

A. ( , )

6 4 7 3

B. ( , )

3 7 5 3

C. ( , )

2 6 3 5

D. ( ?1, )

1 2

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸相应位置上。 13.若 a < b < 0, 则 14.在 ( x ?

1 1 与 的大小关系为 a?b a

。 (用数字作答)

2 8 ) 的展开式中,第三项系数是 2 x

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x2 y2 15.点 P 是双曲线 C1 : 2 ? 2 =1( a > 0, b > 0) 和圆 C 2 : x 2 + y 2 = a 2 + b 2 的一个交点,且 a b 2∠ PFF 1 2 = ∠P F 2F 1 , 其中 F1 、F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为


? x ≤ my + n ? 16.直线 l : x = my + n( n > 0)过点A(4,4 3) ,若可行域 ? 3 x ? y ≥ 0 的外接圆的直径为 ?y ≥ 0 ?
16 3 ,则实数 n 的值为 3


三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x ) = sin( x + (I)求 f ( x ) 的值域; (II)记 ?ABC 的内角 A、 B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 f ( B ) = 1, b = 1, c = a 的值。

π x ) + 2sin 2 , x ∈ [0, π ] 6 2

3 ,求

18. (本小题满分 10 分) 由于近几年民用车现增长过快,造成交通拥堵现象日益严重,现有 A、B、C 三辆 车从同一地点同时出发,开往甲、乙、丙三地,已知 A、 B、C 这三辆车在驶往目的地 的过程中,出现堵车的概率依次为

1 1 1 , , , 且每辆车是否被堵互不影响。 3 4 3

(I)求这三辆车恰有一辆车被堵的概率; (II)用ξ 表示这三辆车中被堵的车辆数,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC— A1 B1 C1 中,点 D 是棱 AB 的中点, BC=1, AA1 = (I)求证: BC1 / / 平面ADC ; 1 (II)求二面角 D—A1 C—A 的大小。

3。

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y = ?2 的距离小 1`。 (I)求曲线 C 的方程; (II)过点 P(2,2)的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 AP = λ PB ,I 当 ?AOB 的 面积为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求 λ 的值。

uuur

uuur

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21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标上有一点列 P 1( x 1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ),L , P n(x n , yn ),L , 对一切正整数 n , 点 Pn 在函数 y = 3 x + 差数列 {xn } 。 (Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ) 设抛物线列 C1 , C2 , C3 ,L ,Cn ,L 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 抛物线 Cn 的 顶点为 Pn , 且过点 Dn (0, n 2 + 1) , 记与抛物线 Cn 相切于点 Dn 的直线的斜率为 K n , 求

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,-1 为公差的等 4 2

1 1 1 + +L + 的值。 k1k 2 k 2 k3 kn ?1k n

(Ⅲ)设 s = { x | x = 2 xn , n ∈ N * }, T = { y | y = 4 yn , n ∈ N * } ,等差数列 {an } 的任一项

an ∈ S ∩ T ,其中 a1是S ∩ T 中的最大数, ?265 < a10 < ?125 ,求数列 {an } 的
通项公式。

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22. (本小题满分 14 分) 设 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) 是函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x (a > 0) 的两个极值点。 (Ⅰ)若 x1 = ?1, x2 = 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若| x1 | + | x2 |= 2 2, 求b 的最大值; ( Ⅲ ) 设 函 数 g ( x) = f ′( x) ? a( x ? x1 ), x ∈ ( x1 , x2 ), 当x2 = a 时 , 求 证 :

| g ( x) |≤

1 a (3a + 2) 2 . 12

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参考答案

一、选择题 1—6BBADCC 二、 13.

7—12BAADBD

1 1 < a? b a

14.112 15. 3 + 1 16.8 三、解答题 17.解: (1) f ( x ) = sin( x +

π x 3 1 ) + 2sin 2 = sin x + cos x + 1 ? cos x 6 2 2 2
………………3 分

=

3 1 π sin x ? cos x + 1 = sin( x ? ) + 1. 2 2 6
π π 5π ∈ [? , ] 6 6 6
………………5 分

Q x ∈ [0, π ],∴ x ? 1 ∴ f ( x ) ∈[ ,2] 2

(II)由 f ( B) = 1, 得 sin( B ?

π π ) = 0, 故 B = 6 6

………………6 分

解法一:由余弦定理 b 2 = a2 + c2 ? 2 a cos B , 得 a 2 ? 3a + 2 = 0, 解得a = 1或2 解法二:由正弦定理 ………………10 分

b c = , sin B sin C

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得 sin C =

3 π 2π ,C = 或 2 3 3

………………6 分

π π 时, A = , 从而a = b2 + c 2 = 2 ………………8 分 3 2 2π π π 当C = 时, A = , 又B = , 从而a = b = 1 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2…………10 分 4 18.解: (I) p = …………4 分 9
当C = (Ⅱ)依题意得ξ 可取 0、1、2、3,计算得

2 3 2 1 × × = 3 4 3 3 4 7 1 P(ξ = 1) = , P(ξ = 2) = , P(ξ = 3) = 9 36 36 P(ξ = 0)=
ξ 的分布列: ξ
P …………8 分 0 1 2 3

1 3

4 9

7 36

1 36

1 4 7 1 11 Eξ = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = …………10 分 3 9 36 36 12
19. (1)证明:连结 AC1 交 A1 C 于点 G,连结 DG, 在正三棱柱 ABC— A1 B1 C1 中, 四边形 ACC1 A1 是平行四边形, ∴AC=GC1 , ∵AD=DB, ∴DG//BC1 ………………2 分 ∵DG ? 平面 A1 DC, BC1 ? 平面 A1 DC, ∴BC1 //平面 A1 DC ………………4 分 (II)解法一:过 D 作 DE⊥AC 交 AC 于 E,过点 D 作 DF⊥A1 C 交 A1 C 于 F, 连结 EF。 ∵平面 ABC⊥面平 ACC1 A1 ,DE ? 平面 ABC, 平面 ABC∩平面 ACC1 A1 =AC , ∴DE⊥平 ACC1 A1 , ∴EF 是 DF 在平面 ACC1 A1 内的射影。 ∴EF⊥A1 C, ∴∠DFE 是二面角 D—A1 C—A 的平面角,………………8 分
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在直角三角形 ADC 中, DE =

AD ? DC 3 = AC 4

同理可求: DF =

A1 D ? DC 39 DE 2 13 = ,∴ sin DFE = = . A1C 8 DF 13
………………12 分

π 2 13 ∴∠ DFE ∈ (0, ),∴ ∠DFE = arcsin . 2 13

解法二:过点 A 作 AO⊥ BC 交 BC 于 O,过点 O 作 OE⊥BC 交 B1 C1 于 E。 因为平面 ABC⊥平面 CBB1 C1 所以 AO⊥平面 CBB1 C1 ,分别以 CB、OE、OA 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系,如图所示,因为 BC、1, AA1 =

3,

△ABC 是等边三角形,所以 O 为 BC 的中点,则

O (0,0,0), A(0,0,

3 1 3 1 3 1 ), C( ,0,0), A1 (0, 3, ), D( ,0, ), C1 (? , 3,0) 2 2 2 4 4 2
………………6 分

设平面 A1 DC 的法向量为 n = ( x , y , z ),

uuur ? ? n ? CD = 0, 则 ? uuuur ? ? n ? A1C = 0.
uuur 3 3 uuuur 1 3 Q CD = ( ,0, ), A1C = ( ? , ? 3, ? ), 4 4 2 2 ?3 3 z = 0, ? x+ ?4 4 ∴? ?? 1 x ? 3 y ? 3 z = 0. ? ? 2 2
取x =

3, 得平面A1D C的一个法向量为n = ( 3,1, ?3).

………………8 分

可求平面 ACA1 的一个法向量为 n1 = ( 3,0, ?1) 设二面角 D—A1 C—A 的大小为 θ , 则 cos θ = cos < n, n1 >=

………………10 分

6 13 × 2
3 13 . 13

=

3 13 . 13
………………12 分

Qθ ∈ (0, π ),∴ θ = arccos
20. (本小题满分 12 分)

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解: (Ⅰ)Q 点 M 到点 F(1,0)的距离比它到直线 l : y = ?2 的距离小于 1,

∴ 点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ′ : y = ?1 的距离相等 ∴ 点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l ′ 为准线的抛物线,
所以曲线 C 的方程为 x 2 = 4 y ……2 分 (Ⅱ)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 = k( x ? 2),即y = kx + 2(2 ? 2 k ) 代入 x 2 = 4 y得x 2 ? 4kx + 8(k ? 1) = 0 (*)…………3 分

? = 16( k 2 ? 2 k + 2) > 0对k ∈ R 恒成立,所以,直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交点
设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B (x2 , y 2 ) 则 x1 + x2 = 4k , x1 x2 = 8( k ? 1)

Q| AB | = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 )2 = (1 + k ) 2 [(x 2 + x1 ) 2 ? 4 x2 x1 ] = 4 (1 + k 2 )( k 2 ? 2 k + 2)
……5 分 点 0 到直线 m 的距离 d =

| 2 ?2 k | 1+ k2

…………6 分

∴ S?ABO =

1 | AB | ?d = 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k + 2 = 4 ( k ? 1)4 + (k ? 1)2 2

Q S?ABO = 4 2, ∴4 ( k ? 1) 4 + ( k ?1) 2 = 4 2,

∴ ( k ? 1) 4 + (k ? 1) 2 ? 2 = 0,(k ? 1) 2 = 1或( k ? 1) 2 = ?2 (舍去) ∴ k = 0或k = 2 …………8 分
当 k = 0时 ,方程(*)的解为 ±2 2 若 x1 = 2 2, x2 = ?2 2, 则λ =

2 ?2 2 ?2 2 ? 2

= 3 ? 2 2 …………9 分

若 x1 = ?2 2, x2 = 2 2, 则λ =

2 ? ?2 2 2 2?2

(

) = 3 +2

2 …………10 分

当 k = 2 ,方程(*)的解为 4 ± 2 2

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若 x1 = 4 + 2 2, x2 = 4 ? 2 2 , 则λ =

2 ? 4 +2 2

( (

4 ? 2 2? 2

) = 3 +2 ) = 3 ?2

2 …………11 分

若 x1 = 4 ? 2 2, x2 = 4 + 2 2 , 则λ =

2 ? 4 ?2 2 4+ 2 2 ?2

2 …………12 分

所以, λ = 3 + 2 2或λ = 3 ? 2 2 21. (本小题满分 12 分)

5 3 + ( n ? 1) × (?1) = ? n ? , 2 2 13 5 3 5 ∴ yn = 3 xn + = ?3n ? ,∴ Pn ( ?n ? , ? 3n ? ). …………1 分 4 4 2 4
解: (Ⅰ)Q xn = ? (Ⅱ)Q Cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn

∴ 设C n 的方程为 y = a( x +

2n + 3 2 12 n + 5 ) ? . …………2 分 2 4

把 Dn (0, n 2 + 1) 代入上式,得 a = 1.

∴ Cn 的方程为 y = x 2 + (2n + 3) x + n 2 + 1. …………3 分 Q kn = y ′ |x =0 = 2n + 3 …………4 分
∴ 1 kn ?1k n = 1 1 1 1 = [ ? ] …………5 分 (2n + 1)(2n + 3) 2 (2n + 1) (2n + 3)


=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L = [( ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] k1 k2 k2 k3 k n?1kn 2 5 7 7 9 2n + 1 2n + 3
1 1 1 1 1 ( ? )= ? . …………7 分 2 5 2n + 3 10 4n + 6

(Ⅲ) S = {x | x = ?(2n + 3), n ∈ N * } ,

T = { y | y = ?(12n + 5), n ∈ N * } = { y | y = ?2(6n + 1) ? 3, n ∈ N * }

∴ S ∩T = T …………9 分
T 中最大数 a1 = ?17.

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设 {an } 公差为 d ,则 a10 = ?17 + 9d ∈ (?265, ?125) 由此得 ?

248 < d < ?12. 9

又Q an ∈ T .

∴ d = ?12m ( m ∈ N * ),∴ d = ?24, ∴ an = 7 ? 24n (n ∈ N * )
22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)Q f ( x ) = ax 3 + bx 2 ? a 2 x (a > 0)

∴ f ′( x ) = 3ax2 + 2bx ? a 2 (a > 0) …………1 分
依题意有 ?

? 3a ? 2b ? a 2 = 0 ? f ′( ?1) = 0 ? ,∴ ? ( a > 0) 2 ? f ′(2) = 0 ?12a + 4b ? a = 0 ?

解得 ?

?a = 6 ,∴ f ( x) = 6x 3 + 9x 2 ? 36 x …………3 分 ?b = ?9

(Ⅱ)Q f ′( x ) = 3ax2 + 2bx ? a 2 (a > 0) 依题意, x1 , x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两个根,且 | x1 | + | x2 |= 2 2

∴ ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 + 2 | x1x2 |= 8. ∴ ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 + 2 | x1x2 |= 8

∴ (?

2b 2 a a ) ? 2 ? ( ? ) + 2 | ? |= 8,∴ b2 = 3 a2 (6 ? a). …………5 分 3a 3 3
…………6 分

Q b 2 ≥ 0,∴ 0 < a ≤ 6.

设 p ( a) = 3a 2 (6 ? a ), 则p ′( a) = ?9a 2 + 36 a. 由 p ′( a) > 0得0 < a < 4,由p′( a) < 0得a > 4. 即:函数 p ( a) 在区间 (0,4] 上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,

∴当a = 4 时, p ( a) 有极大值为 96,

∴ p( a) 在(0,6] 上的最大值是 96,

∴ b 的最大值为 4 6. …………8 分
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(Ⅲ)证明:Q x1 , x2 是方程 f ′( x ) = 0 的两根,

∴ f ′( x) = 3a( x ? x1 )(x ? x2 )
a 1 , x2 = a , ∴x1 = ? . …………9 分 3 3 1 1 1 ∴| g ( x ) |=| 3a ( x + )( x ? a) ? a( x + ) |= | a ( x + )[3( x ? a) ? 1]| 3 3 3 1 Q x1 < x < x2 ,即 ? < x < a. 3 1 ∴| g ( x ) |= a ( x + )(? 3 x + 3 a + 1) …………10 分 3 Q x1 ? x2 =

1 3a + 1 a 3a3 1 ∴| g ( x ) |= ?3a( x + )( x ? ) = ?3a( x ? ) 2 + + a 2 + a …………12 分 3 3 2 4 3 ≤ 3a3 1 a(3a + 2) 2 + a2 + a = . 4 3 12

∴| g ( x) |≤

a (3a + 2) 2 成立…………14 分 12

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