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渝皖琼2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积学案北师大版必修2

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7 .2 学习目标 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积.2. 掌握求几何体体积的基本技巧. 知识点一 柱、锥、台体的体积公式 几何体 柱体 圆柱、 棱柱 圆锥、 棱锥 圆台、 棱台 体积公式 V 柱体=Sh S—柱体底面积,h—柱体的高 V 锥体= Sh S—锥体底面积,h—锥体的高 V 台体= (S 上+S 下+ S上·S下)h S 上、S 下—台体的上、下底面面积,h—高 1 3 1 3 锥体 台体 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V=Sh V= (S′+ S′S+S)h 1 3 V= Sh. 1 3 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) 类型一 多面体的体积 1 例 1 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 1 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. (1)证明 由题知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,QA 平面 PDAQ, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 则 PQ⊥QD. 又 DC∩QD=D,DC,QD 平面 DCQ, 所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解 设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, 1 3 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高. 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 2 a, 2 2 PD, 2 1 3 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法:规则几何体直接代入公式求解. (2)等积法: 如四面体的任何一个面都可以作为底面, 只需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. 跟踪训练 1 如图, 在三棱柱 ABC-A 若 E, F 分别为 AB, AC 的中点, 平面 EB1C1F 1B 1C1 中, 将三棱柱分成体积为 Vl,V2 的两部分,那么 V1 : V2 =________. 答案 7∶5 解析 设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh. 2 因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 S 1 ? 1 V1 = h?S+ S+ 3 ? 4 5 12 AEF 1 = S, 4 S? 7 S· ?= Sh, 4? 12 V2 =Sh- V1 = Sh,故 V1 : V2=7:5 . 类型二 旋转体的体积 例 2 体积为 52 cm 的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的 9 倍,求截得这个圆台的圆 锥的体积. 解 由底面面积之比为 1∶9 知,体积之比为 1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为 1∶26, ∴小圆锥的体积为 2 cm , 故原来圆锥的体积为 54 cm . 反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面,将已知条件尽量归结到轴截面中求解,分析题中 给出的数据,列出关系式后求出有关的量,再根据几何体的体积公式进行运算、解答. (1)求台体的体积,其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解. (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想,作出截面图,将空间问题平面化,是解 决此类问题的关键. 跟踪训练 2 设圆台的高为 3,如图,在轴截面中母线 AA1 与底面直径 AB 的夹角为 60°,轴 截面中的一条对角线垂直于腰,则圆台的体积为________. 3 3 3 考点 题点 答案 21π 解析 设上,下底面半径,母线长分别为 r,R,l. 作 A1D⊥AB 于点 D,则 A1D=3,∠A1AB=60°, 又∠BA1A=90°, ∴∠BA1D=60°, 3 ∴AD= = 3, tan 60° ∴R-r= 3. A1D BD=A1D·tan 60°=3 3, ∴R+r=3 3.∴ R=2 3,r= 3,而 h=3. 1 1 2 2 2 2 ∴V 圆台= π h(R +Rr+r )= π ×3×[(2 3) +2 3× 3+( 3) ]=21π . 3 3 ∴圆台的体积为 21π . 类型三 几何体体积的求法 命题角度 1 等体积法 例 3 如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,E 为 AA1 的中点,F 为 CC1 上一点,求 三棱锥 A1-D1EF 的体积. 考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积 解 由V三棱锥A -D EF=V三棱锥F-A D E, 1 1 1 1 1 1 S? A D E= EA1 ? A1 D1= a 2, 1 1 2 4 又三棱锥 F-A1D1E 的高为 CD=a, 1 1 1 ?V三棱锥F-A D E= ? a ? a 2= a 3, 1 1 3 4 12 1 ?V三棱锥 A -D EF= a 3 . 1 1 12 反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理. (2)利用等体积法可求点到面的距离. 跟踪训练 3 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在三棱锥 A1-ABD 中,求 A 到平 面 A1BD 的距离 d. 4 考点 题点 解 在三棱锥 A1-ABD 中,AA1 是三棱锥 A1-ABD 的高,AB=AD=AA1=1,A1B=BD=A1D= 2. 1 1 1 1 3

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