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高等代数教学大纲

时间:2010-09-07


《高等代数》教学大纲 高等代数》
第一部分 课程性质与目的要求 一、 课程性质:
《高等代数》是我系数学与应用数学专业的一门必修课。 二、 课程目的要求 高等代数是现代数学的基础知识,是学习其它数学学科和其它现代科学学科的必备基 础,在这些学科中已成为不可缺少的重要工具,尤其在本世纪,计算机技术、通讯信息技 术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域,这些学科均需要代数学的发展。 高等代数也是高师数学与应用数学专业的一门重要基础课程,既是中学代数的继续和 提高,对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用,又是输送更高层次优秀人才的专 业知识保证。 本课程的目的要求: 1.本课程的目的要求: (1)使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论,着重培养学生 解决问题的基本技能。 (2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法,提高其抽象思 维、逻辑推理和代数运算的能力。 (3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系,培养其辩 证唯物主义观点。 (4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力,训练其对特殊实例的观察、分 析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。 (5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识,以便能够居高临下地掌握 和处理高级中学数学教材,进一步提高中学数学教学质量。 (6) 根据教学的实际内容的需要,对大纲所列各章内容,分别提出了具体的目的要 求,教学时必须着重抓住重点内容进行教学。 本课程的主要内容: 2、本课程的主要内容: 本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及 行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ一矩阵、欧几里得空间及 群环域等代数基本概念。 教学重点与难点: 3、教学重点与难点: 本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。多项式理论以一元多项式的因 式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式方程的一些必要的知识,为后继课提供准备; 线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组,线性空间与线性变换理论。本课程的难点 有行列式的 Laplace 定理的展开定理,线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不 变子空间的直和,λ一矩阵和 Jordan 标准形的推导等。 5、教材的选用: 、教材的选用: 本课选用的教材是才让东主等编译的《高等代数》。

第二部分 教学时数 本课程学分为 10 学分。

课程内容及学时分配
本课程讲授时间为一学年共 168 学时,第一学期 60 学时,第二学期 108 学时。 第一章 行列式(18 学时)

1、教学内容:定义了 n 阶行列式,给出行列式的七个性质和 Gramer 法则、Laplace 、教学内容: 定理。 2、 教学目的和要求 、 教学目的和要求:通过本章学习,使学生熟练掌握计算行列式的三种方法:利 用定义、利用性质、降阶,并会运用 Gramer 法则求线性方程组的解。 3、教学重点 、教学重点:重点讲授 n 阶行列式的定义和一些计算技巧及关于 Gramer 法则应用 要强调解方程组的前提条件。 4、教学难点:Laplace 定理,行列式乘法规则。 、教学难点: 5、各节教学时间分配及进度安排 、各节教学时间分配及进度安排: §1 行列式的概念(4 学时) (一) n 级排列,逆序数,偶(奇)排列,对换 (二) 排列的奇偶性 (三)一般行列式的定义 §2 行列式的性质(6 学时) §3 行列式的展开定理(4 学时) §4 Cramer 法则(2 学时)

§5 结式(2 学时) 第二章 线性方程组(18 学时)

1、教学内容 、 教学内容:通过引入向量和矩阵两种工具,本章完整地解决了一般线性方程组的 存在及如何求解问题。 2、教学目的及要求 、教学目的及要求:使学生掌握 n 维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。 3、教学重点 、教学重点:以线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 4、教学难点 、教学难点:线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。 5、各节教学时间分配及进度安排: 、各节教学时间分配及进度安排: §1 向量的线性关系(4 学时) (一) 一些概念:线性组合、向量组等价、线性相关(无关) (二) 线性相关性的判定

(三) 极大线性无关组及向量组的秩 §2 矩阵的秩(2 学时)

§3 矩阵的初等变换(4 学时) §4 齐次线性方程组 (4 学时) §5 一般线性方程组(4 学时) 第三章 多项式(24 学时)

1、教学内容 、 教学内容:介绍本章的重要定理:因式分解及唯一性定理和复系数、实系数多项 式因式分解定理,并把有理系数多项式的因式分解问题归纳为整系数多项式的因式分解来 讨论。 2、 教学目的及要求 : 通过本章学习,使学生掌握带余除法、因式分解定理、复系 、 教学目的及要求: 数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。 3、教学重点 、教学重点:以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。 4、教学难点 、教学难点:有理系数多项式为难点。 5、各节教学时间分配及进度安排: 、各节教学时间分配及进度安排: §1 一元多项式的概念与运算(2 学时) (一) 数集 (二) 数域 (三) 一元多项式的概念与运算 §2 多项式的整除性(4 学时) §3 最大公因式(4 学时) (一) 最大公因式的定义及唯一性 (二) 最大公因式的存在性及求法 (三) 互素的概念 (四) 最大公因式、互素概念的推广 §4 多项式的因式分解(2 学时) (一) 不可约多项式及其性质 (二) 因式分解唯一性定理 §5 重因式(2 学时) (一) 重因式、单因式、微商等

(二) 重因式的判别及求法 (三) 去掉因式重数的方法 §6 多项式的根(2 学时) §7 复系数与实系数多项式的多项式(2 学时) (一) 复数域上多项式的分解 (二) 实数域上多项式的分解 §8 有理系数多项式(2 学时) (一) 有理系数多项式的根 1)本原多项式及 Gauss 引理 2)确定整系数多项式有理根的范围 3)求有理系数多项式根的方法 (二) Eisenstein 判别法 §9 多元多项式(2 学时) (一) 基本概念 (二) 多元多项式中单项式的排列次序 (三) 两个结论(关于乘积首项和次数) §10 对称多项式(2 学时) 第四章 矩阵运算(16 学时)

1、教学内容 、 教学内容:引入矩阵和初等变换的概念、基本运算,对逆矩阵和分块矩阵进行了 详尽描述。 2、教学目的及要求:使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。 、教学目的及要求: 3、教学重点 、教学重点:矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。 4、教学难点 、教学难点:理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 矩阵的加法和数乘(2 学时) §2 矩阵的乘法(2 学时) §3 逆矩阵(4 学时) §4 初等矩阵(4 学时) §5 几种特殊矩阵(2 学时)

§6 矩阵的分块(2 学时) 第五章 矩阵的相似对角形(14 学时)

1、教学内容 、 教学内容:相似矩及其基本性质、矩阵的特征根与特征向量、矩阵与对角形矩阵 相似的充要条件,以及矩阵化为对角形的方法、实对称矩阵的对角形。 2、 教学目的及要求 : 使学生熟练掌握求矩阵的特征根与特征向量,以及矩阵化为 、 教学目的及要求: 对角形的方法、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对角形的方法等。 3、教学重点 、 教学重点:求矩阵的特征根与特征向量,以及矩阵化为对角形的方法、利用正交 矩阵把实对称矩阵化为对角形的方法。 4、教学难点 、 教学难点:矩阵与对角形矩阵相似的充要条件、利用正交矩阵把实对称矩阵化为 对角形的方法。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 相似矩阵(2 学时) §2 特征根与特征向量(4 学时) §3 与对角形矩阵相似的条件(4 学时) §4 用正交矩阵化实对称矩阵为对角形(4 学时) 第六章 二次型(16 学时)

1、教学内容 、 教学内容:通过二次型和正定二次型的概念的讲解,全面讨论二次型化标准形的 方法和正定二次型的判定。 2、 教学目的及要求 、 教学目的及要求:使学生掌握用非退化线性替换,化二次型为标准形及判断二 次型的正定性。 3、教学重点 、教学重点:以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。 4、教学难点 、教学难点:化标准形和正定性的判别为难点。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 二次型及其矩阵表示(2 学时) (一) 二次型及二次型矩阵 (二) 替换前后二次型矩阵的关系 §2 化二次型为平方和(4 学时) (一) 配方法 (二) 初等变换法

§3 二次型的标准形(6 学时) (一) 二次型的秩 (二) 实二次型的标准形 (三) 复二次型的标准形 §4 实二次型的分类(4 学时) (一) 正定二次型及其性质 (二) 正定性的判别 (三) 与正定二次型平行的几个类型 第七章 线性空间(18 学时)

1、教学内容 、 教学内容:通过介绍基本概念,引出基变换和坐标变换,对线性空间和子空间进 行了详尽地分析。 2、 教学目的及要求 、 教学目的及要求:以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念,让学生搞清 线性空间的基本结构,会进行一些基本运算。 3、教学重点 、教学重点:以线性空间维数和基的求解为重点。 4、教学难点 、教学难点:难点为对同构和直和的理解。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 线性空间的概念(2 学时) §2 基和维数(4 学时) §3 向量的坐标(4 学时) §4 子空间(4 学时) §5 子空间的直和 (4 学时) 第八章 线性变换(18 学时)

1、教学内容:引入线性变换后,研究线性变换与矩阵的关系,矩阵对角化的方法并 、教学内容: 引入了线性变换的值域与核。 2、 教学目的及要求 、 教学目的及要求:通过研究线性变换,要求学生在理解概念的基础上熟练掌握 线性变换在某基下的矩阵的求解。 3、教学重点 、 教学重点:以线性变换在不同基下矩阵的关系,矩阵的对角化及不变子空间为重 点。 4、教学难点 、 教学难点:线性变换在不同基下对应不同的矩阵,线性变换的值域与核,线性空

间按特征值分解成不变子空间的直和,为本章难点。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 线性变换的概念(2 学时) §2 线性变换的运算(4 学时) §3 线性变换的矩阵(8 学时) (一) 线性变换在一组基下的矩阵 1) 线性变换与其在一组基下矩阵的关系 2) 坐标变换公式 (二)线性变换在不同基下的矩阵 1) 线性变换在不同基下的矩阵的关系 2) 相似矩阵的性质 §4 两个线性空间的线性变换(4 学时) 第九章 欧几里得空间(16 学时)

1、教学内容 、 教学内容:在线性空间引入内积,得到欧几里待空间,进而对欧几里得空间的结 构及变换进行了讲解。 2、教学目的及要求 、教学目的及要求:使学生掌握欧氏空间的度量性质,正交变换和对称变换。 3、教学重点:以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。 、教学重点: 4、教学难点 、教学难点:标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。 5、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排: §1 欧氏空间的概念(4 学时) §2 标准正交基(6 学时) §3 欧氏空间的线性变换(6 学时) 第十章 群、环、域简介(10 学时) 1、教学内容 、 教学内容:在引入群定义、性质后,又介绍子群和群的同构,并简要介绍了环和 域。 2、 教学目的及要求 、 教学目的及要求:使学生对群、环、域有初步了解,为近世代数的学习打基 础。 3、教学重点 、教学重点:重点掌握群的定义和性质。 4、各节教学时间分配进度安排: 、各节教学时间分配进度安排:

§1 群(4 学时) §2 环与域(6 学时)

三、教学参考书
1、 张禾瑞、郝炳新的《高等代数》, 2、复旦大学的《高等代数》。


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