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山东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编:4 数列

时间:2011-05-11


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山东省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:数列 第 4 部分 数列
一、选择题: 选择题: 5. ( 山 东 省 济 南 市 2011 年 2 月 高 三 教 学 质 量 调 研 理 科 ) 已 知 {an } 为 等 差 数 列 , 若

a3 + a4 + a8 = 9 ,则 S9 =
A. 24 B. 27 C. 15 D. 54

5.B【解析】 a1 + 2d + a5 ? d + a9 ? d = 9, a1 + a5 + a9 = 9, a5 = 3,

S9 =

9 ( a1 + a9 ) 2

= 9a5 = 27.

8. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研文科 月高三教学质量调研文科)已知等比数列{an}的公比为正数,且 教学质量调研文科 2 a3·a7=4a 4,a2=2,则 a1=( A ) A. 1 B.

2

C. 2

D.

2 2

9. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟理科) 已知等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 月高考第一次模拟理科) 山东省青岛市

uuur uuuu r uuu r M 、N 、P 三点共线,O 为坐标原点, ON = a15 OM + a6 OP (直线 MP 不过点 O ), S 20 且 则
等于( B ) A . 15 B . 10 C . 40 D . 20 12.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟文科 月高三第一次模拟文科)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其 山东省济宁市 前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是 .. ( C A.d<0 C.S9>S5 ) B.a7=0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

7.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟文科 山东省济宁市 月高三第一次模拟文科)方程 lg | x |= A.0 B.1 ( C ) C.2

x + 2 的解的个数为
D.3

9.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟文科 山东省济宁市 月高三第一次模拟文科)已知 log 2 ( x + y ) = log 2 x + log 2 y ,则

x + y 的取值范围是
A. (0,1] B. [ 2,+∞)

( D ) C. (0,4] D. [ 4,+∞)

11. 山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟文科 (山东省济宁市 月高三第一次模拟文科)已知 f x) ( 是定义 R 在上的偶函数,(x) f 1 在[0,+ ∞]上为增函数,f(3)=0,则不等式 f( log 1 x)>0 的解集为 8 新课标教学网(www.xkbw.com)--海量教学资源欢迎下载!第- 1 -页 共 15 页 -1-

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( 1 A. (0,2) C. (2,+ ∞)

D ) 1 B. 2,1)∪(2,+ ∞) ( 1 D. (0,2)∪(2,+ ∞)

9. 山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试理科)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , (山东省淄博市 月高三下学期模拟考试理科) 年 月高三下学期模拟考试理科 且 S10 =



3

0

(1 + 2 x)dx , S 20 = 17 ,则 S30 为( A )
B. 20 C. 25 D. 30

A. 15

9. 山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试文科)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , (山东省淄博市 月高三下学期模拟考试文科) 年 月高三下学期模拟考试文科 且 S10 = 12 , S 20 = 17 ,则 S30 为( A ) A. 15
3

B. 20

C. 25

D. 30

6. (山东省烟台市 2011 年 1 月“十一五”课题调研卷理科)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 十一五”课题调研卷理科)

S3 = ∫ 4 xdx ,则公比 q 的值为( C ) 0 1 A.1 B. ? 2

C.1 或 ?

1 2

D. ?1 或 ?

1 2

7.(山东省烟台市 2011 年 1 月“十一五”课题调研卷文科)等差数列 {an } 中,若 a1 , a2011 为方 ( 十一五”课题调研卷文科) 程 x 2 ? 10 x + 16 = 0 的两根,则 a2 + a1006 + a2010 = ( B ) A.10 B.15 C.20 D.40

6.(山东省潍坊三县 2011 届高三阶段性教学质量检测理科)已知各项均不为零的数列 {an } ,定 ( 届高三阶段性教学质量检测理科) 义向量 cn = ( an , an +1 ) , bn = ( n, n + 1) , n ∈ N* . 下列命题中真命题是( A ) A. 若 ?n ∈ N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 B. 若 ?n ∈ N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ∈ N* 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ∈ N* 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 7.(山东省潍坊三县 2011 届高三阶段性教学质量检测文科)已知各项均不为零的数列 {an } ,定 ( 届高三阶段性教学质量检测文科) 义向量 cn = ( an , an +1 ) , bn = ( n, n + 1) , n ∈ N* . 下列命题中真命题是 ( A ) A. 若 ?n ∈ N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等差数列

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B. 若 ?n ∈ N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ∈ N* 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ∈ N* 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 二、填空题: 填空题:

三、解答题: 解答题: 20. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研理科 月高三教学质量调研理科)(本小题满分 12 分) 教学质量调研理科 已知 {an } 为等比数列,a1 = 1, a5 = 256 ;S n 为等差数列 {bn } 的前 n 项和,b1 = 2, 5S5 = 2 S8 . (1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn = a1b1 + a2b2 + L anbn ,求 Tn . 20. 【解析】 (1) 设 {an } 的公比为 q ,由 a5 = a1q ,得 q = 4. 所以 an = 4 .
4 n ?1

设 {bn } 的公差为 d ,由 5S5 = 2 S8 得 d = 所以 bn = b1 ( n ? 1) d = 3n ? 1. (2)

3 3 a1 = × 2 = 3 , 2 2

Tn = 1× 2 + 4 × 5 + 4 × 8L + 4n ?1 ( 3n ? 1) ①

4Tn =

4 × 2 + 42 × 5 + L + 4n ( 3n ? 1) ②

②-①得: 3Tn = ?2 ? 3 4 + 42 + ... + 4n ?1 + 4n ( 3n ? 1) = 2 + ( 3n ? 2 ) ? 4n. 新课标教学网(www.xkbw.com)--海量教学资源欢迎下载!第- 3 -页 共 15 页 -3-

(

)

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所以 Tn = ? n ?

? ?

2? n 2 ??4 + . 3? 3

20. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟理科) (本小题满分 12 分)已知数列 {bn } 满足 月高考第一次模拟理科)

1 1 7 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2 1 (Ⅰ)求证:数列 {bn - } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2 bn+ 1 =
(Ⅱ)如果对任意 n ? N ,不等式 20. (本小题满分 20. 本小题满分 12 分) ( 解: (Ⅰ) 对任意 n ∈ N ,都有 bn +1 =
* *

12k ? 2n 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 + n - 2Tn 1 1 1 1 1 bn + ,所以 bn +1 ? = (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 = 3 ,公比为 …………2 分 2 2

则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? 所以 bn ?

1 2

1 1 1 1 = 3 × ( )n ?1 , bn = 3 × ( ) n ?1 + …………4 分 2 2 2 2 1 2
n ?1

(Ⅱ) 因为 bn = 3 × ( )

+

1 2

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1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 + n = 6(1 ? 1 ) + n …………6 分 所以 Tn = 3(1 + + 2 + ... + n ?1 ) + = 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 2n ? 7 * 因为不等式 ≥ 2n ? 7 ,化简得 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立…………7 分 (12 + n ? 2Tn ) 2n
设 cn =

2n ? 7 2(n + 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn +1 ? cn = ? = n +1 …………8 分 n 2 2n +1 2n 2

当 n ≥ 5 , cn +1 ≤ cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ≤ n < 5 , cn +1 > cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 = c4 < c5 = ,所以, n = 5 时, cn 取得最大值 …………11 分 16 32 32 2n ? 7 3 * 所以, 要使 k ≥ 对任意 n ∈ N 恒成立, k ≥ …………12 分 n 2 32
20. 月高考第一次模拟文科) 20.(山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟文科)(本小题满分 12 分)数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn , a1 = t ,点 ( S n , an +1 ) 在直线

y = 2 x + 1 上, n ∈ N ? .
(Ⅰ)当实数 t 为何值时,数列 {a n } 是等比数列? (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 bn = log 3 an +1 , Tn 是数列 { 20. (本小题满分 20. 本小题满分 12 分) ( 解: (Ⅰ)由题意得 an +1 = 2 S n + 1 , an = 2 S n ?1 + 1 ( n ≥ 2) ……1 分 两式相减得 a n +1 ? a n = 2 a n , 即 a n +1 = 3a n ( n ≥ 2) ,……4 分 所以当 n ≥ 2 时, {a n } 是等比数列, 要使 n ≥ 1 时, {a n } 是等比数列,则只需 (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 an = 3
n ?1

1 } 的前 n 项和,求 T2011 的值. bn ? bn +1

a 2 2t + 1 = = 3 ,从而 t = 1 . ……7 分 a1 t

, bn = log 3 an +1 = n ,……9 分

1 1 1 1 = = ? ……10 分 bn ? bn +1 (n + 1)n n n + 1 T2011 = 1 1 1 1 1 1 1 2011 + ??? + = (1 ? ) + ( ? ) + ??? + ( ? )= …12 分 b1b2 b2011b2012 2 2 3 2011 2012 2012
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19.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟理科 山东省济宁市 月高三第一次模拟理科)(本题满分 12 分 ) 已知 x ,

f ( x) , 3 ( x ≥ 0) 成等差数列. 又数列 {a n }( a n > 0)中, a1 = 3, 此数列的前 2

n 项的和 Sn( n ∈ N + )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n = f ( S n ?1 ) . (1)求数列 {a n } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是

1 a n +1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an

20.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟文科 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正 山东省济宁市 月高三第一次模拟文科) 数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21 , a5 + b3 = 13 . 新课标教学网(www.xkbw.com)--海量教学资源欢迎下载!第- 6 -页 共 15 页 -6-

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(Ⅰ)求 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn 。 bn

20. (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意有 q > 0

?1 + 2d + q 4 = 21, ? 且? 解得 d = 2 , q = 2 . 2 ?1 + 4d + q = 13, ?
所以 an = 1 + ( n ? 1) d = 2n ? 1 , bn = q (Ⅱ)
n ?1

= 2n ?1 .

an 2 n ? 1 = n ?1 . bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 + 2 + L + n ? 2 + n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n = 2 + 3 + + L + n ?3 + n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n = 2 + 2 + + 2 + L + n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 Sn = 1 + 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 = 2 + 2 × ?1 + + 2 + L + n ? 2 ? ? n ?1 2 ? 2 ? 2 2 1 n ?1 2n ? 1 2n + 3 = 2 + 2 × 2 ? n ?1 = 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 1?
18. 山东省淄博市 2011 年 3 月高三下学期模拟考试理科) ( 月高三下学期模拟考试理科) (本题满分 12 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 = 7 ,且 a1 + 3 ,

3a2 , a3 + 4 构成等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = ln a3 n +1,n = 1, L, 2, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18.解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ( q > 1) ,

由已知,得

?a1 + a2 + a3 = 7, ? , ……………………………………2 分 ? (a1 + 3) + (a3 + 4) = 3a2 ? ? 2

即?

?a1 (1 + q + q 2 ) = 7 ?a1 + a2 + a3 = 7 ? , 也即 ? 2 ?a1 (1 ? 6q + q ) = ?7 ?a1 ? 6a2 + a3 = ?7 ?

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解得 ?

?a1 = 1 ?q = 2

………………………………………………………………………5 分
n ?1

故数列 {an } 的通项为 an = 2
3n



………………………………………………6 分
3n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3n +1 = 2 , 又 bn +1 ? bn = 3 ln 2 ,

∴ bn = ln a3 n +1 = ln 2

= 3n ln 2 ,

…………8 分

∴ {bn } 是以 b1 = 3ln 2 为首项,以 3ln 2 为公差的等差数列 ∴ Tn = b1 + b2 + L + bn 即 Tn =

……………10 分

=

n? b1+bn ? n(3 ln 2 + 3n ln 2 ) 3n(n + 1) ln 2 ? ? ? ? = = 2 2 2

3n(n + 1) ln 2 . ……………………………………………………………12 分 2

20. 山东省淄博市 2011 年 3 月高三下学期模拟考试文科) 本题满分 12 分) ( 月高三下学期模拟考试文科) ( 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 = 7 ,且 a1 + 3 ,

3a2 , a3 + 4 构成等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = ln a3 n +1,n = 1, L, 2, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

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18. (山东省烟台市 2011 年 1 月“十一五”课题调研卷理科)(本小题满分 12 分) 十一五”课题调研卷理科) 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 bn=2-2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20. (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn = an ? bn ( n =1,2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和.求 Tn . 18.解: (1)由 bn = 2 ? 2 S n ,令 n = 1 ,则 b1 = 2 ? 2 S1 ,又 S1 = b1 所以 b1 =

2 3

………………………………………………………………2 分

当 n ≥ 2 时,由 bn = 2 ? 2 S n ,可得 bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn 即

bn 1 = bn ?1 3

………………………………………………………………………4 分

所以 {bn } 是以 b1 = 于是 bn = 2 ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列, 3 3

1 3n

……………………………………………………………………6 分

(2)数列 {an } 为等差数列,公差 d =

1 (a7 ? a5 ) = 3 ,可得 an = 3n ? 1 2

……7 分

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从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ?

1 3n

1 1 1? ? 1 ∴Tn = 2 ? 2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + L + (3n ? 1) ? n ? , 3 3 3 ? ? 3 1 1 1 1 ? ? 1 Tn = 2 ? 2 ? 2 + 5 ? 3 + L + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ? 3 3 3 3 ? ? 3 2 1 1 1 1 ? ? 1 ∴ Tn = 2 ? 2 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + L + 3 ? n ? (3n ? 1) n +1 ? 3 3 3 3 3 ? ? 3 Tn = 7 1 3n ? 1 ? ? n . n?2 2 2?3 3
………………11 分

………………………………………………………12 分

20. (山东省烟台市 2011 年 1 月“十一五”课题调研卷文科)(本小题满分 12 分) 十一五”课题调研卷文科)
1 1 1 将函数 f ( x) = sin x ? sin ( x + 2π) ? sin ( x + 3π) 在区间 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到 4 4 2

大的顺序排成数列 {an }(n ∈ N *). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn = 2n an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式.
1 1 1 1 20. 解: (1)化简 f ( x) = sin x ? sin ( x + 2 π) ? sin ( x + 3π ) = ? sin x 4 4 2 4

其极值点为 x = kπ +

π ( k ∈ Z ) ,…………………………………………………2 分 2 π 为首项, 2

它在 (0, +∞) 内的全部极值点构成以

π 为公差的等差数列,…………………………………………………………4 分 an = π 2n ? 1 + (n ? 1) ? π = π (n ∈ N *) .…………………………………………6 分 2 2 π (2n ? 1) ? 2n …………………………………………………8 分 2

(2) bn = 2n an =

π ∴Tn = [1 ? 2 + 3 ? 22 + L + (2n ? 3) ? 2n ?1 + (2n ? 1) ? 2n ] 2 π 2Tn = [1 ? 22 + 3 ? 23 + L + (2n ? 3) ? 2n + (2n ? 1) ? 2n +1 ] 2

相减,得
π ?Tn = [1 ? 2 + 2 ? 22 + 2 ? 23 + L + 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n +1 ] 2

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∴Tn = π[(2n ? 3) ? 2n + 3] ……………………………………………………………12 分

19. (山东省潍坊三县 2011 届高三阶段性教学质量检测理科)(本小题满分 12 分) 届高三阶段性教学质量检测理科) 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an +1 = 2an + an an +1 , 且 a2 + a4 = 2a3 + 4 ,
2 2

其中 n ∈ N* . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,令 bn = an ,其中 n ∈ N ,试比较
2
?

Tn +1 + 12 与[ 4Tn

2 log 2 bn +1 + 2 的大小,并加以证明. 2 log 2 bn ? 1
2 2 19.解: (Ⅰ)因为 a n +1 = 2a n + a n a n +1 ,即 ( a n +1 + a n )(2a n ? a n +1 ) = 0

又 an > 0 ,所以有 2a n ? a n +1 = 0 ,所以 2a n = a n +1 所以数列 {an } 是公比为 2 的等比数列. …………………………………………3 分

由 a 2 + a 4 = 2a3 + 4 得 2a1 + 8a1 = 8a1 + 4 , 解得 a1 = 2 .
? n 故数列 {a n } 的通项公式为 an = 2 ( n ∈ N ) . ……………………………………….6 分

(II)因 bn = an = 2
2

2n

= 4n ,所以 b1 = 4,

bn +1 =4 bn

即数列 {bn } 是首项为 4 ,公比是 4 的等比数列. 所以 Tn =

4 n (4 ? 1) ,……………………………………….……………………………………7 分 3

Tn+1 + 12 4 n+1 + 8 3 = = 1+ n n 4(4 ? 1) 4 ?1 则 4Tn

2 log 2 bn +1 + 2 4n + 6 7 = = 1+ 4n ? 1 4n ? 1 . 又 2 log 2 bn ? 1

……………………………………8 分

Tn+1 + 12 2 log 2 bn +1 + 2 3 7 4(3n + 1 ? 7 ? 4 n?1 ) ? = n ? = 4Tn 2 log 2 bn ? 1 4 ? 1 4n ? 1 (4 n ? 1)(4n ? 1)
法一:数学归纳法 新课标教学网(www.xkbw.com)--海量教学资源欢迎下载!第- 11 -页 共 15 页 - 11 -

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猜想 7 ? 4

n ?1

> 3n + 1

0 ①当 n = 1 时, 7 ? 4 = 7 > 3 × 1 + 1 = 4 ,上面不等式显然成立;

②假设当 n = k 时,不等式 7 ? 4

k ?1

> 3k + 1 成立

k k ?1 当 n = k + 1 时, 7 × 4 = 4 × 7 × 4 > 4(3k + 1) = 12k + 4 > 3k + 4 = 3( k + 1) + 1 .

综上①②对任意的 n ∈ N 均有 7 ? 4 法二:二项式定理:因为 n ∈ N 所以 7 ? 4
n ?1
?

?

n ?1

> 3n + 1 ……………………………………….10 分

,

0 1 2 1 = 7 ? (1 + 3) n ?1 = 7 ? (Cn ?1 + Cn ?1 ? 3 + Cn ?1 ? 32 + L + Cn ?1 ? 3n ?1 )

> 7 ? (1 + 3n) > 1 + 3n .
即对任意的 n ∈ N 均有 7 ? 4
n 又 4 ? 1 > 0, 4n ? 1 > 0 , ? n ?1

> 3n + 1 .

……………………………………..10 分



Tn +1 + 12 2 log 2 bn +1 + 2 ? <0 4Tn 2 log 2 bn ? 1

Tn +1 + 12 2 log 2 bn +1 + 2 < 2 log 2 bn ? 1 . 所以对任意的 n ∈ N 均有 4Tn
?

………………………….12 分

18. (山东省潍坊三县 2011 届高三阶段性教学质量检测文科)(本小题满分 12 分) 届高三阶段性教学质量检测文科)
1 1 1 将函数 f ( x) = sin x ? sin ( x + 2π) ? sin ( x + 3π) 在区间 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到 4 4 2

大的顺序排成数列 {a n } n ∈ N*

(

)

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn = 2 a n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式.
n

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