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普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)1

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 (上海卷, 含答案)
一、填空题(56 分) 1、函数 f ( x ) ?

1 的反函数为 f ?1 ( x) ? x?2

。 。

2、若全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 1} {x | x ? 0} ,则 CU A ?

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? 3、设 m 为常数,若点 F (0,5) 是双曲线 m 9
4、不等式



x ?1 ? 3 的解为 x



s? 5 、 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与 直 线 ? c o ?
为 。

1 夹角大小 的

6、在相距 2 千米的 A 、 B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 ,则 A 、 C 两 点之间的距离是 千米。 。 。
x P(ε=x) 1 ? 2 ! 3 ?

7、若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 8、函数 y ? sin(

?

? x) cos( ? x) 的最大值为 2 6

?

9、马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表

请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能 肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ? 10、行列式 。 。

a b ( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是 c d

11、在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? 12、随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 数相同,结果精确到 0.001 ) 。

。 (默认每月天

13、 设 g ( x) 是定义在 R 上、 以 1 为周期的函数, 若 f ( x) ? x ? g ( x) 在 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] , 则 f ( x ) 在区间 [?10,10] 上的值域为 。

14、已知点 O (0, 0) 、 Q0 (0,1) 和 R0 (3,1) ,记 Q0 R0 的中点为 P 1 ,取 Q0 P 1 和 PR 1 0 中的一条,记 其端点为 Q1 、R1 ,使之满足 (| OQ1 | ?2)(| OR1 | ?2) ? 0 ;记 Q1R1 的中点为 P 2 ,取 Q 1P 2和P 2R 1

中的一条,记其端点为 Q2 、 R2 ,使之满足 (| OQ2 | ?2)(| OR2 | ?2) ? 0 ;依次下去,得到点

P 1, P 2,

, Pn ,

,则 lim | Q0 Pn |?
n ??



二、选择题(20 分) 15、若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是〖答〗 ( )

A

a 2 ? b2 ? 2ab

B

a ? b ? 2 ab

C

1 1 2 ? ? a b ab

D

b a ? ?2 a b
16、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为〖答〗 ( )

A

y ? ln

1 | x|

B

y ? x3

C

y ? 2|x|
5

D

y ? cos x

17 、 设 A 空 间 中 给 定 的 1 , A2 , A 3 , A4 ,是 A 5

个 不 同 的 点 , 则 使 ) D 10 ) ,则 { An }

M 1A ?
A 0

M2 ? A

M 3?A
B 1

4

M 的个数为〖答〗 ( M ? A 0 成立的点 5 ?M A
C 5

18、设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积( i ? 1, 2, 为等比数列的充要条件为〖答〗 ( A B C D )

{an } 是等比数列。
a1 , a3 , a1 , a3 , a1 , a3 , , a2n?1, , a2n?1, , a2n?1,
或 a2 , a4 , 和 a2 , a4 , 和 a2 , a4 ,

, a2n , , a2n , , a2n ,

是等比数列。 均是等比数列。 均是等比数列,且公比相同。

三、解答题(74 分) 19、 (12 分) 已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i( i 为虚数单位) , 复数 z2 的虚部为 2 ,z1 ? z2 是实数,求 z2 。

20、 (12 分)已知函数 f ( x) ? a ? 2x ? b ? 3x ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。 ⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。

21、 (14 分)已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O 1 是 AC 1 1和B 1D 1 的交点。 ⑴ 设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角的大小为 ? ,二面角 A ? B1D1 ? A 1 的大小为 ? 。 求证: tan ? ? 2 tan ? ; ⑵ 若点 C 到平面 AB1D1 的距离为
B 4 ,求正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的高。 3 A D

C

A1 B1 O1 C1

D1

22、 (18 分)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N ) ,
*

将集合

{x | x ? an , n ? N *} {x | x ? bn , n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列
c1 , c2 , c3 , , cn ,


⑴ 求 c1 , c2 , c3 , c4 ; ⑵ 求证:在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 , ⑶ 求数列 {cn } 的通项公式。

, a2n ,



23、 (18 分) 已知平面上的线段 l 及点 P , 在 l 上任取一点 Q , 线段 PQ 长度的最小值称为点 P

到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 ⑴ 求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; ⑵ 设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ⑶ 写 出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} , 其 中

l1 ? AB, l2 ? CD ,
A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2 分,②6
分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) 。

2011 年上海高考数学试题(理科)答案 一、填空题

16 ; 1、 ? 2 ; 2、{x | 0 ? x ? 1} ; 3、 4、x ? 0 或 x ?

1 x

1 2 5 3 ; 5、arccos ; 6、 6 ; 7、 ?; 2 5 3

8、

15 2? 3 ;9、 2 ;10、 6 ;11、 ;12、 0.985 ;13、 [?15,11] ;14、 3 。 2 4

二、选择题 15、 D ;16、 A ;17、 B ;18、 D 。 三、解答题 19、解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ………………(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,………………(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i 20 、 解 : ⑴ 当 ………………(12 分)

a ? 0, b ? 0


2







x1 , x2 ? R, x1 ? x2





2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2x1 ? 2x ) ? b(3x ? 3x1 )

∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x ) 在 R 上是减函数。 ⑵

f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2x ? 2b ? 3x ? 0

3 x a a ,则 x ? log1.5 ( ? ) ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 x ? log1.5 ( ? ) 。 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? 21、解:设正四棱柱的高为 h 。 ⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1 B1C1 D1于 A 1 ,∴ AB1 与底面 A 1B 1C1 D 1 所成的角为 ?AB 1A 1 ,即 A

D

?AB1 A1 ? ?
B

∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO 1 1 ?B 1D 1, ∴ ?AO1 A 1 是二面角 A ? B 1D 1?A 1 的平面角,即 ?AO 1A 1 ??
A1

C

D1 O1 C1



tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1O1 A1B1

B1

⑵ 建立如图空间直角坐标系,有 A(0,0, h), B1 (1,0,0), D1 (0,1,0), C(1,1, h)

z A B C D

AB 1 ? (1,0, ?h), AD 1 ? (0,1, ?h), AC ? (1,1,0)
设平面 AB1D1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ∵ ?

? ? n ? AB1

? ? n ? AB1 ? 0 ?? ,取 z ? 1 得 n ? (h, h,1) ?n ? AD1 ?n ? AD1 ? 0 ? ?

A1 B1 x O1 C1

D1

y

| n ? AC | h?h?0 4 ∴ 点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d ? ? ? ,则 h ? 2 。 2 2 |n| h ? h ?1 3

22、⑴

c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;

* ⑵ ① 任 意 n ? N , 设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 , 则 k ? 3n ? 2 , 即

a2n?1 ? b3n?2
② 假设 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ? N * (矛盾) ,∴ 2

a2n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 , ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

, a2n ,



b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7
y 1 A -1 B 1

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,……

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? ,k ? N*。 ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )
23、解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

O -1

x

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) 2 2





x?3





d(

P ? ,

。 l) m ? i |P n

Q|

5

⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ?
② 选择 A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} {( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} {( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} {( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y

y C 3 A

C

3

A
y 2.5

B -1 O 1 x
A D

D -1 O

B 1 x
D -2
B=C 1 2

x


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