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大庆实验中学文科数学得分训练试题5

时间:2013-06-04

2013 年大庆实验中学文科数学得分训练五
说明:1.本卷满分 150 分,考试时间为 2 小时。 一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 U = ?1, 2,3, 4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值为( A. ?4 2.在复平面内,复数 B. 4 C. ?6 D. 6 ( ( ) )

10.已知函数 f ( x) ? x ? 1 的定义域为 ?a, b? (a ? b) ,值域为 ?1, 5? ,则在平面直角坐标系内,点
2

③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ?2 , ? ? ? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 A.①② B.①③ C.②③

D.①②③ )

?

?



(a, b) 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为(
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

1 ? 2i 对应的点位于 ?i
C. ?1 D. ?9

11.在两个变量 x 与 y 的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 R 如下,其中 拟合效果最差的是( A.0.95 ) B.0.88 C.0.50 D. 0.30

2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x,3) ,且 a ⊥ b ,则实数 x 的值为 A. 9
2

B. 1

4. 抛物线 y ? 8x 的焦点坐标是





1 1 ) ( ,0 ) 32 A. B. 32 C. (2,0) D. (0,2) 2 5. 已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0 ,则命题 ?p 是( ) 2 2 A. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0. B. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0. ( 0,
C. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a 2 x b 12.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : a 的左、右焦点,点 P ( 0 , 2 ) ? 在 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. x ? y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C. 3x ? y ? 0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ( x) ? 1 ? D. 以上都不正确

D. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

sin x 1? x

( x ? R) 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=

.

6. 在如图所示正方体中, E在线段A1C1上,则EC与BD所成的角为( 点 A.



?

8

B.

? 4

C.

?

2
2 2

D.

?

3
2

?x ? 0 ? 14. 在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即 ? y ? ?n( x ? 4) ?
横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 的值为 , 经推理可得到

7.在平面直角坐标系内,若曲线 C : x ? y ? 2ax ? 4ay ? 5a ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围为( ) A. ?? ?,?2 ? B. ?? ?,?1? C. ?1,?? ? D. ?2,?? ? 8.如图所示, P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( x ? R , ? ? 0) 的图象的最高点,M ,N 是该图象与 x 点 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为( A. )

an 的表达式为

.

15. ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若

3 b ? a sin B ,则 A 的值为 2
.

.

? C. 4 D. 8 4 ? 9.对于函数 f ( x) lg x ? 2 ? 1 ,有如下三个命题: ( ) ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f (x) 在区间 (?? , 2) 上是减函数,在区间 ?2 , ? ? ? 上是增函数;
B.
-1-

? 8

16. 设数列{ an }的通项公式为 an ? n(n ? 1)(n ? 2), n ? N * , 则前 n 项和 S n =

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.公比为 q (q<1)的等比数列 比中项为 2 ,

?an ? 中, an ? 0 ( n ? N * ) a1a5 ? 2a3a5 ? a2 a8 ? 25, a3 与 a5 的等 ,

bn ? 9 ? 2 log2 an

(I)求数列

?an ?、 ?bn ? 的通项公式.

21.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3
2

? 1 ? ? ? ? bn bn ?1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . (II)若数列
18. 某中学一位高三班主任对本班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得 到的统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 18 7 25 学习积极性高 19 25 学习积极性一般 6 24 26 50 合计 (1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积 极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)有多大的把握认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关,请说明理由。

(I)求 h(x)=f(x)-ax 在 ?1, ??) 上的极小值;
(II)对一切 x ? ?0,??? , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明对一切 x ? ?0,??? ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

(请在 22\23\24 三题中任选一题作答,作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑) 22.如图, A 、 B 、 C 、 D 四点在同一圆上, AD 的延长线 与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC ? ED . (I)证明: CD // AB ;

附:K 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k0 )

(II)延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使 EF ? EG , 证明: A、B、G、F 四点共圆.
2 2
主视图

k0

19.一个多面体的三视图和直观图如下:(其中 M 为线 段 AF 中点, N 为线段 BC 上的点) (I) 求证: AF ? 平面 BMN ; (II)求多面体 B ? CDEF 的体积.
2

2 2
2
侧视图

2

D

C N
F M

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

E

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? y ? sin? ?
(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为

A
2
俯视图

B

? 极轴)中,点 P 的极坐标为( 4 , 2 ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值,及此时点 Q 的直角坐标.

20. 已知点 Q 位于直线 x ? ?3 右侧,且到点 F ? ?1,0? 与到直线 x ? ?3 的距离之和等于 4. (Ⅰ) 求动点 Q 的轨迹 C; (Ⅱ) 直线 l 过点 M ?1,0? 交曲线 C 于 A、B 两点,点 P 满足 FP ?

??? ?

??? ? 又 OE =( x0 ,0),其中 O 为坐标原点,求 x0 的取值范围;

? ? ? ? 1 ??? ???? ??? ??? ( FA ? FB) , EP?AB ? 0 , 2

24.设不等式

2x-1 ? 1的解集为 M .

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, ?PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求出此时直线 l 的方程; 若不能,请说明理由.

(I)求集合 M ; (II)若 a, b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小.

-2-

大庆实验中学高三文科数学得分训练试题(五 )答案
选择 BACAB CDBAC DA 13. 2 14. 6, an ? 6n
5? n

15. 60°或 120°

16. S n ?

1 n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 4

17. 解: (1) a3 ? 4 , a5 ? 1

?????????????2 分

?????????????6 分 an ? 2 , bn ? 2n ? 1 1 1 1 1 (2) ?????????????8 分 ? ( ? ) bn bn?1 2 2n ? 1 2n ? 1 n Tn ? ?????????????12 分 2n ? 1 12 19 , 18. (1) ?????????5 分 25 50 2 (2)根据 K ? 11.538>10.828 所以,我们有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的 态度”有关系.??????????12 分 19.(1)略 ?????????????6 分 (2)取 CF 中点 P ,连结 BP ,则 BP ? 平面 CDEF ,

2k 2 ? 4 ,所以,AB 中点 P 的坐标为: k2 x ? xB 2 2 xP ? A ? 1 ? 2 , yP ? k ? xF ? 1? ? ? . 所 以 , 直 线 EP 的 方 程 为 k 2 k 2 3 2 1? 2 ? y ? ? ? ? x ? 1 ? 2 ? 令 y ? 0 得到点 E 的横坐标为 xE ? ?1 ? 2 .因为 ? k 2 ? 1 ,所 4 k k k? k ? 11 以, xE ∈( ? ,-3) .????9 分 3 (3)不可能.要使 ?PEF 成为以 EF 为底的等腰三角形,需且只需 2 xP ? xE ? xF ,即:
由(*)式得: x A ? xB ?

1 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 1 ,解得: k 2 ? 。另一方面,要使直线 l 满足(2)的条件,需要 2 k ? k ? ?3 ? k 2 ? ? ,1? ,所以,不可能使 ?PEF 成为以 EF 为底的等腰三角形。????12 分 ?4 ? a ?1 21.(1) h/ ( x) ? ln x ? 1 ? a ,令 h / ( x) ? 0 , x ? e 1 ? a ? 1 , ?1,??? 为增函数,无极值;

1 8 VB ?CDEF ? S CDEF ? BP ? ??????????12 分 3 3 20. 解: (Ⅰ)设 Q ? x, y ? ,则 QF ? x ? 3 ? 4 ? x ? ?3? ,即:

2? a ? 1 ,

?1, e ?为减函数; ?e
a ?1

a ?1

,?? 为增函数;极小值为 h(ea?1 ) ? ?ea ?1
?????????????4 分

?

? x ? 1?

2

? y 2 ? x ? 3 ? 4 ? x ? ?3? ,化简得: y2 ? ?4x ? ?3 ? x ? 0? .
??? ?

2 所以,动点 Q 的轨迹为抛物线 y ? ?4x 位于直线 x ? ?3 右侧的部分.????3 分

(Ⅱ)因为 FP ?

??? ??? ? ? ??? ? ? ? 1 ??? ???? ( FA ? FB) ,所以,P 为 AB 中点;又因为 EP?AB ? 0 ,且 OE =( x0 ,0), 2

所以,点 E 为线段 AB 垂直平分线与 x 轴焦点。

由题可知:直线 l 与 x 轴不垂直,所以可设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,
2 2 2 2 代入轨迹 C 的方程得到: k x ? 4 ? 2k x ? k ? 0
2 2 2 2 设 f ? x ? ? k x ? 4 ? 2k x ? k ,要使得 l 与 C 有两个不同交点,需且只需

?

?

?

?

? ?3 ? x ? 0? (*)

3 (2)? x ? 0 ,原不等式等价于 a ? 2 ln x ? x ? . x 3 ( x ? 3)( x ? 1) / 令 g ( x) ? 2 ln x ? x ? ,则 g ( x ) ? , x x2 所以 g (x) 的最小值为 g (1) ? 4 ,即 a ? 4 ?????????????8 分 x 2 (3)原不等式等价于 x ln x ? x ? , e e x 2 令 F ( x) ? x ln x, G ( x ) ? x ? , e e 1 1 1 则可求 F (x) 的最小值为 F ( ) ? ? ; G (x) 的最大值为 G (1) ? ? , e e e
所以原不等式成立. 22.(1)? EC ? ED ,? ?EDC ? ?ECD ?????????????12 分 ?????????????5 分

? ? ? ? 4 ? 2k ? ? 4k 4 ? 0 ? ? 4 ? 2k 2 3 ? ?3 ? ?0 2 解之得: ? k ? 1 .????6 分 ? ?2k 2 4 ? f ? ?3 ? ? 0 ? ? f ? 0? ? 0 ?
2 2

又 ?EDC ? ?EBA ,所以 ?ECD ? ?EBA ,所以 CD // AB (2)? ?EBG ? ?EAF , ? ?FAE ? ?GBE .

? ?ADC ? ?ABC ? ? ? ?DFA ? ?ABG ? ? ,

-3-

所以 A,B,G,F 四点共圆. 23.(1) P(0,4) ,所以 P ? l
2

?????????????10 分 ?????????????4 分

2 sin( ? ? ) ? 4 x 3 2 ? y ? 1 ,设 Q( 3 cos? , sin ? ) ,所以 d ? (2) C : ? 2. 3 2 3 1 最小值为 2 ,当 Q (? , ) . ?????????????10 分 2 2 24.(1) M ? (0,1) ?????????????5 分 (2) (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ,又 a, b ? (0,1) ,所以 ab ? 1 ? a ? b
?????????????10 分

?

-4-


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