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2018年高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用教学案理!

时间:2018-01-28


专题 12 函数模型及其应用

1.综合考查函数的性质; 2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题; 3.考查函数的最值.

1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式

f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数, a≠0) f(x)=bax+c
(a, b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度

f(x)=blogax+c
(a, b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

y=ax(a>1)

y=
logax(a>1) 单调递增

y= xn(n>0)
单调递 增 相对平 稳 随 n 值变化 而各有不同
n x

单调递增

越来越快 随 x 的增大逐渐

越来越慢 随 x 的增大逐渐 表现为与 x 轴平 行

图象的变化

表现为与 y 轴平 行

值的比较

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
-1-

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

【疑点清源】 1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质. (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题. (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题. (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

高频考点一、用函数图象刻画变化过程 例 1、 (1)设甲、 乙两地的距离为 a(a>0), 小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟, 在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原 地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )

(2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四 种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种

-2-

方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运 输量)逐步提高的是( )

【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图 象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情 况的答案. 【变式探究】 已知正方形 ABCD 的边长为 4, 动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动. 设 点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是( )

答案 D 解析 依题意知当 0≤x≤4 时,f(x)=2x;当 4<x≤8 时,f(x)=8;当 8<x≤12 时,f(x) =24-2x,观察四个选项知,选 D. 高频考点二 已知函数模型的实际问题

例 2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种 鸟类的飞行速度 v(单位: m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog3 (其中 a、 b 是实数). 据 10 统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速 度为 1m/s.
-3-

Q

(1)求出 a、b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0m/s,此时耗氧量为 30 个单位,

30 90 故有 a+blog3 =0,即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1m/s,故 a+blog3 =1, 10 10 整理得 a+2b=1. 解方程组?
? ?a+b=0, ?a+2b=1, ?

得?

? ?a=-1, ?b=1. ?

(2)由(1)知,v=-1+log3 .所以要使飞行速度不低于 2m/s,则有 v≥2,即-1+log3 10 10 ≥2,即 log3 ≥3,解得 Q≥270. 10 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2m/s,则其耗氧量至少要 270 个单位. 【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. 【变式探究】 某般空公司规定, 乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次 函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.

Q

Q

Q

答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y=30x-570,令 30x-570=0,解得 x=19. 高频考点三 构造函数模型的实际问题

例 3、某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利润(单位:万 元)为 y1=4.1x-0.1x ,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位: 辆),若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( A.10.5 万元 C.43 万元 答案 C B.11 万元 D.43.025 万元 )
2

-4-

【变式探究】(1)世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据 lg2≈0.3010,10
0.0075

≈1.017)(

)

A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8% (2)某位股民购进某支股票, 在接下来的交易时间内, 他的这支股票先经历了 n 次涨停(每 次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他 费用)为( )

A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 答案 (1)C (2)B 解析 (1)设每年人口平均增长率为 x, 则(1+x) =2, 两边取以 10 为底的对数, 则 40lg(1 +x)=lg2, 所以 lg(1+x)= lg2 0.0075 ≈0.0075, 所以 10 =1+x, 得 1+x≈1.017, 所以 x≈1.7%. 40
n
40

(2)设该股民购进这支股票的价格为 a 元,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%) =

a×1.1n 元,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n
=0. 99 ·a<a,故该股民这支股票略有亏损. 【举一反三】某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3km(不超过 3km 按 起步价付费);超过 3km 但不超过 8km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8km 时,超 过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 km. 答案 9
n

-5-

【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL,在停 止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路 交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过小 时才能开车.(精确到 1 小时) (2)某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都 要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上 一年增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( A.10B.11C.13D.21 答案 (1)5 (2)A 解析 (1)设经过 x 小时才能开车. 由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09, ∴0.75 ≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为 5. (2)设该企业需要更新设备的年数为 x, 设备年平均费用为 y, 则 x 年后的设备维护费用为 2+4+?+2x=x(x+1), 所以 x 年的平均费用为 y= 100 =x+ +1.5, 100+0.5x+x?x+1?
x x

)

x

x

100 由基本不等式得 y=x+ +1.5≥2

x



100 +1.5

x

100 =21.5,当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号,所以选 A.

x

高频考点四、函数应用问题 例 4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部 还需另投入 16 万美元.设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销售收
-6-

400-6x,0<x≤40, ? ? 入为 R(x)万美元,且 R(x)=?7400 40000 - 2 ,x>40. ? x ? x (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利 润. 解 (1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40)
2

=-6x +384x-40, 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40) 40000 =- -16x+7360.

x

-6x +384x-40,0<x≤40, ? ? 所以 W=? 40000 - -16x+7360,x>40. ? x ? (2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32) +6104, 所以 Wmax=W(32)=6104; 40000 ②当 x>40 时,W=- -16x+7360,
2

2

x

40000 由于 +16x≥2

x

40000 ×16x=1600,

x

40000 当且仅当 =16x,

x

即 x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以 W 取最大值为 5760. 综合①②知, 当 x=32 时,W 取得最大值 6104 万元。 【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型.(2)分段函数主 要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分 别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. 【方法技巧】 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、 基本不等式等求得最值.
-7-

3.解函数应用题的五个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思. 高频考点五、构建函数模型解决实际问题 例 5、 (1)(2016·四川卷)某公司为激励创新, 计划逐年加大研发资金投入, 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据: lg 1.12≈0.05, lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)( A.2018 年 ) B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年

(2)为了降低能源损耗, 某体育馆的外墙需要建造隔热层, 体育馆要建造可使用 20 年的隔 热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元) 与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10,k 为常数),若不建隔热层, 3x+5 每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. ①求 k 的值及 f(x)的表达式; ②隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小?并求最小值. (1)解析 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元,则 y=130(1+12%) .
n n 20 依题意 130(1+12%) >200,得 1.12 > . 13 n

k

两边取对数,得 n·lg1.12>lg 2-lg 1.3 lg 2-lg 1.3 0.30-0.11 19 ∴n> ≈ = ,∴n≥4,∴从 2019 年开始,该公司投入的研发资 lg 1.12 0.05 5 金开始超过 200 万元. 答案 B (2)解 ①当 x=0 时,C=8,∴k=40, ∴C(x)= 40 (0≤x≤10), 3x+5

20×40 800 ∴f(x)=6x+ =6x+ (0≤x≤10). 3x+5 3x+5

-8-

∴隔热层修建 5 cm 厚时,总费用 f(x)达到最小,最小值为 70 万元. 【方法规律】(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法: ①构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法. ③构建 f(x)=x+ (a>0)模型,常用均值不等式、导数等知识求解. (2)解函数应用题的程序是:①审题;②建模;③解模;④还原. 【变式探究】 (1)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关 系 y=e
kx+b

a x

(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192

小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. (2)某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的 1 关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 2 35-2x (x∈N+,且1≤x≤6), ? ? q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)=?160 (x∈N+,且7≤x≤12). ? ? x ①写出 2017 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:万人)与 x 的函数关系式; ②试问 2017 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元? (1)解析 由已知条件,得 192=e 又 48=e
22k+b

b

=e ·(e )

b

11k 2

-9-

1
11k

1

? 48 ?2 ?1?2 1 ∴e =? ? =? ? = , ?192? ?4? 2
设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时,则 t=e 24. 答案 24 (2)解 ①当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N+时,f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 2 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x +40x,验证 x=1 也满足此式, 2 2 所以 f(x)=-3x +40x(x∈N+,且 1≤x≤12). ②第 x 个月旅游消费总额为 (-3x +40x)(35-2x) (x∈N+,且1≤x≤6), ? ? g(x)=? 160 2 (-3x +40x)· (x∈N+,且7≤x≤12), ? x ?
?6x -185x +1 400x (x∈N+,且1≤x≤6), ? 即 g(x)=? ? (x∈N+,且7≤x≤12). ?-480x+6 400
3 2 2 2 33k+b

3 ?1? 33k 11k 3 =192 e =192(e ) =192×? ? = ?2?

(ⅰ)当 1≤x≤6,且 x∈N+时,

g′(x)=18x2-370x+1 400,
140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). (ⅱ)当 7≤x≤12,且 x∈N+时,

g(x)=-480x+6 400 是减函数,
∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2017 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125 万元.

1. (2016·浙江卷)设函数 f(x)=x +3x +1, 已知 a≠0, 且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a) ,

3

2

2

- 10 -

x∈R,则实数 a=________,b=________.

2.【2016 高考上海理数】已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? log 2 ( (1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x ) ? 0 ;

1 ? a) . x

(2) 若关于 x 的方程 f ( x) ? log2 [(a ? 4) x ? 2a ? 5] ? 0 的解集中恰好有一个元素, 求a 的取值范围; (3)设 a ? 0 ,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差 不超过 1,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) x ? ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? . (2) ?1, 2? ? ?3, 4? . (3) ? , ?? ? . 【解析】 (1)由 log 2 ?

1 2

? ?

1? 4?

?2 ?3

? ?

1 ?1 ? ? 5 ? ? 0 ,得 ? 5 ? 1 , x ?x ?

解得 x ? ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? . (2)

? ?

1? 4?

1 ? a ? ? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 , ? a ? 4? x2 ? ? a ? 5? x ?1 ? 0 , x

当 a ? 4 时, x ? ?1 ,经检验,满足题意. 当 a ? 3 时, x1 ? x2 ? ?1 ,经检验,满足题意.
- 11 -

当 a ? 3 且 a ? 4 时, x1 ?

1 , x2 ? ?1 , x1 ? x2 . a?4

x1 是原方程的解当且仅当

1 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ; x1
1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 . x2

x2 是原方程的解当且仅当

于是满足题意的 a ? ?1, 2? . 综上,的取值范围为 ?1, 2? ? ?3, 4? . (3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减. 函数 f ? x ? 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值与最小值分别为 f ? t ? , f ? t ? 1? .

?1 ? ? 1 ? f ? t ? ? f ? t ? 1? ? log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ? 1 即 at 2 ? ? a ?1? t ?1 ? 0 ,对任意 ?t ? ? t ?1 ? ?1 ? t ? ? ,1? 成立. ?2 ?
2 因为 a ? 0 ,所以函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 在区间 ? ,1? 上单调递增, t ?

?1 ? ?2 ?

1 时, y 2

有最小值

3 1 3 1 2 a ? ,由 a ? ? 0 ,得 a ? . 4 2 4 2 3

故的取值范围为 ? , ?? ? .

?2 ?3

? ?

? x3 ? 3x, x ? a 3.【2016 年高考北京理数】设函数 f ( x) ? ? . ??2 x, x ? a
①若 a ? 0 ,则 f ( x ) 的最大值为______________; ②若 f ( x ) 无最大值,则实数 a 的取值范围是________. 【答案】 2 , (??, ?1) . 【解析】如图,作出函数 g ( x) ? x ? 3x 与直线 y ? ?2 x 的图象,它们的交点是
3

- 12 -

A(?1, 2), O(0,0), B(1, ?2) ,由 g '( x) ? 3x2 ? 3 ,知 x ? 1 是函数 g ( x) 的极小值点,
①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?

? x3 ? 3x, x ? 0 ??2 x, x ? 0

,由图象可知 f ( x ) 的最大值是 f (?1) ? 2 ;
3

②由图象知当 a ? ?1 时, f ( x ) 有最大值 f (?1) ? 2 ;只有当 a ? ?1 时, a ? 3a ? ?2a ,

f ( x) 无最大值,所以所求的取值范围是 (??, ?1) .

【2015 高考天津,理 8】已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2,

函数

g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范
围是( )

(A) ?

?7 ? , ?? ? ?4 ?

(B) ? ??,

? ?

7? ? 4?

(C) ? 0, ?

? ?

7? 4?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

【答案】D 【解析】由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2

- 13 -

? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 0? x?2 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方


f ( x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x) ? f (2 ? x) 的
图象的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8

5

10

15

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 () 3 )? x 【2015 高考浙江, 理 10】 已知函数 f ( x) ? ? , 则 f(f ?lg( x 2 ? 1), x ? 1 ?
的最小值是 . 【答案】 0 , 2 2 - 3 .

?

,f ( x )

? 【2015 高考四川,理 13】某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位: C )

满足函数关系 y ? e

kx?b

? ( e ? 2.718 ? 为自然对数的底数,k、b 为常数) 。若该食品在 0 C 的

? ? 保鲜时间设计 192 小时,在 22 C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 C 的保鲜时间是

小时。 【答案】24 【解析】

?eb ? 192 48 1 11k 1 ? ,? e22 k ? ? , e ? ,所以 x ? 33 时, 由题意得: ? 22 k ?b 192 4 2 e ? 48 ? ?
- 14 -

1 y ? e33k ?b ? (e11k )3 ? eb ? ?192 ? 24 . 8
【2015 高考上海,理 10】设 f
?1

? x ? 为 f ? x ? ? 2 x?2 ?


x , x ? ?0, 2? 的反函数,则 2

y ? f ? x ? ? f ?1 ? x ? 的最大值为
【答案】4
x?2 【解析】由题意得: f ( x) ? 2 ?

1 x ?1 在 [0, 2] 上单调递增,值域为 [ , 2] ,所以 f ? x ? 在 2 4

1 1 [ , 2] 上单调递增,因此 y ? f ? x ? ? f ?1 ? x ? 在 [ , 2] 上单调递增,其最大值为 4 4

f (2) ? f ?1 (2) ? 2 ? 2 ? 4.
? 2x ? a ? x ? 1? ? 【2015 高考北京,理 14】设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
①若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

②若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 【答案】(1)1,(2)

1 ? a ? 1或a ? 2 . 2

②若函数 g(x ) ? 2x ?

a 与 x 轴有无交点,则函数 h(x ) ? 4(x ? a)(x ? 2a)与 x 轴
a

(x ? a)(x ? 2a)在 x ? 1 与 x 有两个交点,当 a ? 0 时 g(x )与 x 轴有无交点,h(x ) ? 4
轴有无交点, 不合题意; 当 h(1) ? 2 ? a ? 0 时, a ? 2 ,h(x )与 x 轴有两个交点,x ? 和 x ? 2a ,由于 a ? 2 ,两交点横坐标均满足 x ? 1 ;综上所述的取值范围

1 ? a ? 1或 2

a ? 2.
ab , ) 是 | f ( x) | 在 【2015 高考浙江, 理 18】 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) , 记M(
- 15 -

区间 [?1,1] 上的最大值. (1)证明:当 | a |? 2 时, M (a, b) ? 2 ; (2)当 a , b 满足 M (a, b) ? 2 ,求 | a | ? | b | 的最大值. 【答案】 (1)详见解析; (2)3. 【解析】 (1)由 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? b ?

a 2

a a2 ,得对称轴为直线 x ? ? ,由 | a |? 2 ,得 2 4

|?


a |? 1 ,故 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调,∴ M (a, b) ? max{| f (1) |,| f (?1) |} ,当 a ? 2 时, 2

f (1) ? f (?1) ? 2a ? 4 ,得 max{ f (1), f (?1)} ? 2 ,即 M (a, b) ? 2 ,当 a ? ?2 时,由

f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 4 ,得 m ax{ ( f1 ? ),
时,

? ( 1 )} f 2 ? ,即 M (a,b) ? 2 ,综上,当 | a |? 2

M (a, b) ? 2 ; (2)由 M (a, b) ? 2 得 |1 ? a ? b |?| f (1) |? 2 , |1 ? a ? b |?| f (?1) |? 2 ,

| b | ?? 故 | a ? b |? 3 ,| a ? b |? 3 , 由 | a| ?

0 ?| a ?b |, ab ? | b | ? 3 ,当 a ? 2 ,b ? ?1 , 得 | a| ? | a ? b | , ab ? 0 ?

时, | a | ? | b |? 3 ,且 | x2 ? 2 x ? 1| 在 [ ?1,1] 上的最大值为,即 M (2, ?1) ? 2 ,∴ | a | ? | b | 的 最大值为 3. (2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长 率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A. )

p+q
2

(p+1)(q+1)-1 B. 2 D. (p+1)(q+1)-1

C. pq

【答案】D 【解析】 设年平均增长率为 x, 则有(1+p)(1+q)=(1+x) , 解得 x= (1+p)(1+q) -1. (2014·陕西卷)如图 1?2,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )
2

图 1?2
- 16 -

A.y= C.y=

1 3 3 x- x 125 5

2 3 4 B.y= x - x 125 5

3 3 3 1 x -x D.y=- x3+ x 125 125 5

【答案】A 【解析】设该三次函数的解析式为 y=ax +bx +cx+d.因为函数的图像经过点(0,0), 所以 d=0,所以 y=ax +bx +cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故 b =0,所以 y=ax +cx,代入点(-5,2)得-125a-5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处
?-125a-5c=2, ? 2 的切线平行于 x 轴,y′=3ax +c,得当 x=-5 时,y′=75a+c=0.联立? ? ?75a+c=0,
3 3 2 3 2

1 ? ?a=125, 1 3 解得? 故该三次函数的解析式为 y= x - x. 125 5 3 c=- . ? ? 5
3

(2013·陕西卷) 设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有( A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] D.[x-y]≤[x]-[y]

)

C.[x+y]≤[x]+[y] 【答案】D

【解析】 可取特值 x=3.5, 则[-x]=[-3.5]=-4, -[x]=-[3.5]=-3, 故 A 错. [2x] =[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故 B 错.再取 y=3.8,则[x+y]=[7.3]=7,而[3.5]+[3.8] =3+3=6,故 C 错.只有 D 正确. (2013·重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x -a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 )

B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【答案】A 【解析】因为 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b) >0,所以 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选 A.

1. 某家具的标价为 132 元, 若降价以九折出售(即优惠 10%), 仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是( A.118 元 ) B.105 元

- 17 -

C.106 元

D.108 元

解析:选 D 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得 a=108. 2.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为 每件( ) B.110 元 D.190 元

A.100 元 C.150 元

解析:选 D 设售价提高 x 元,利润为 y 元,则依题意得 y=(1 000-5x)×(20+x)=- 5x +900x+20 000=-5(x-90) +60 500.故当 x=90 时,ymax=60 500,此时售价为每件 190 元. 3.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常 数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N )人去进行新开发的产品 B 的生产.分流 后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保 证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( A.15 C.17 解析:选 B B.16 D.18 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,每年创造的 )
* 2 2

产值为(100-x)(1+1.2x%)t,
? ?0<x<100,x∈N , 则由? ??100-x??1+1.2x%?t≥100t, ?
*

50 解得 0<x≤ . 3 因为 x∈N ,所以 x 的最大值为 16. 4.世界人口在过去 40 年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据 lg 2≈0.301 0,10
0.007 5 *

≈1.017)(

) B.1.6% D.1.8%

A.1.5% C.1.7%

5.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y =ae .假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ,则 m 的值为 8 ( ) A.7 B.8
- 18 nt

a

C.9 1 5n 解析:选 D 根据题意知 =e , 2 1 1 nt nt 令 a=ae ,即 =e , 8 8 1 1 5n 15n 因为 =e ,故 =e , 2 8 比较知 t=15,m=15-5=10.

D.10

6.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线

a y=aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m min 甲桶中的水只有 L,则 m 的
4 值为( A.5 ) B.8 C.9 D.10

解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等, 1 nt 5n ∴函数 y=f(t)=ae 满足 f(5)=ae = a, 2

t
1 1 ?1?5 可得 n= ln ,∴f(t)=a·? ? , 5 2 ?2? 因此,当 k min 后甲桶中的水只有 L 时, 4

a

k

k

?1?5 1 ?1?5 1 f(k)=a·? ? = a,即? ? = , 2 ? ? 4 ?2? 4
∴k=10,由题可知 m=k-5=5. 答案 A 7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过 1 滤一次可使杂质含量减少 ,至少应过滤________次才能达到市场要求(已知 lg 2≈0.301 0, 3 lg 3≈0.477 1). 解析 设过滤 n 次才能达到市场要求,

n n 1 ? 1? ?2? 则 2%?1- ? ≤0.1%,即? ? ≤ , ? 3? ?3? 20
2 所以 nlg ≤-1-lg 2,所以 n≥7.39,所以 n=8. 3 答案 8 8.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八
- 19 -

月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是______.

9.如图所示, 已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀, 其中 AE=4 米, CD=6 米. 为 合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM,使点 P 在边 DE 上.

(1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解:(1)作 PQ⊥AF 于 Q, 所以 PQ=(8-y)米,

EQ=(x-4)米.
又△EPQ∽△EDF, 所以 =

EQ EF x-4 4 ,即 = . PQ FD 8-y 2

1 所以 y=- x+10, 2 定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米,

x? 1 ? 2 则 S(x)=xy=x?10- ?=- (x-10) +50, 2 2 ? ? S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为 x=10,所以当 x∈[4,8]时, S(x)单调递增.
所以当 x=8 米时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,为 48 平方米. 10.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍

- 20 -

1 伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1). 1 1 10 10 则 a(1-x) = a,即(1-x) = , 2 2 2 . 2

?1? 解得 x=1-? ? 10 . ?2? ?1? 即每年砍伐面积的百分比为 1-? ? 10 . ?2?
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 m ,则 a(1-x) = a, 2 2
1

1

m 1 ?1? ?1? 即? ? 10 =? ?,所以 = , 2 2 10 2 ? ? ? ?
解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2

m

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
n

?1? ?1? 所以? ? 10 ≥? ?, 2 ? ? ?2?


n 3 ≤ , 10 2

解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年. 11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种 鸟类的飞行速度 v(单位: m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog3 (其中 a、 b 是实数). 据 10 统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a、b 的值;
- 21 -

Q

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?

12.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特 定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,b,c 是常 数),如图 3 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间 为( )
2

A.3.50 分钟 解析

B.3.75 分钟 C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关

0.7=9a+3b+c, ? ? ? ?7a+b=0.1, 系式,联立方程组得?0.8=16a+4b+c,消去 c 化简得? ?9a+b=-0.3, ? ? ?0.5=25a+5b+c,

a=-0.2, ? ? 解得?b=1.5, ? ?c=-2.
1? 2 15 225? 45 1? 15?2 13 2 所以 p=-0.2t +1.5t-2=- ?t - t+ ?+ -2=- ?t- ? + ,所以当 t= 2 16 ? 16 4? 5? 5? 16 15 =3.75 时,p 取得最大值,即最佳加工时间为 3.75 分钟. 4 答案 B

- 22 -

? 1? 13.设函数 f(x)=?1- ?(x>0). ?
x?
(1)作出函数 f(x)的图象; 1 1 (2)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值;

a b

(3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围. 解 (1)如图所示.

- 23 -


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